Zastosowanie liczb zespolonych w analizie obwodów elektrycznych
Zastosowanie liczb zespolonych – umożliwia uproszczoną analizę obwodów elektrycznych prądu przemiennego. Możliwe jest to dzięki algebraizacji równań różniczkowo-całkowych poprzez odwzorowanie przebiegów prądu i napięcia w postaci funkcji symbolicznej. Stwarza to możliwość analizy obwodu prądu przemiennego z wykorzystaniem metod używanych podczas analizy obwodów prądu stałego, a więc metody potencjałów węzłowych, metody prądów oczkowych, twierdzenia Thevenina-Nortona itd.
Liczby zespolone mogą być wykorzystywane tylko do analizy obwodów liniowych, w których wszystkie źródła energii dostarczają sinusoidalnych prądów i napięć o tej samej częstotliwości. Innymi słowy, liczby zespolone nie mogą być wykorzystane do analizy przebiegów odkształconych.
Wersor rotacyjny
[edytuj | edytuj kod]Funkcja symboliczna budowana jest przy użyciu wersora rotacyjnego oraz sprzężonego z nim wersora Moduł tego wersora równy jest jeden, zaś argument zależny jest od czasu. Obrazem wersora na płaszczyźnie liczb zespolonych jest wektor jednostkowy obracający się z prędkością kątową ω w kierunku matematycznie dodatnim, zaś w przypadku wersora sprzężonego – w kierunku matematycznie ujemnym.
- Uwaga: W inżynierii elektrycznej jednostka urojona często oznaczana jest literą j zamiast rozpowszechnionej i, by uniknąć pomyłki z wartością chwilową natężenia prądu zmiennego, również oznaczaną przez małą literę i.
Funkcja symboliczna
[edytuj | edytuj kod]Funkcja symboliczna wyrażana jest jako iloczyn liczby zespolonej oraz opisanego powyżej wersora rotacyjnego. Można to zapisać jako:
Obrazem funkcji symbolicznej na płaszczyźnie liczb zespolonych jest wektor o długości i kącie początkowym α, obracający się z prędkością kątową ω w kierunku matematycznie dodatnim.
Uproszczenie analizy obwodów elektrycznych prądu przemiennego, możliwe jest właśnie ze względu na wyjątkowe właściwości funkcji symbolicznej. Pochodna funkcji symbolicznej wyprzedza ją o kąt 90° a jej całka opóźnia się o kąt 90°. Operacje te więc można uprościć zastępując – niezbędne przy analizie obwodów prądu przemiennego – całkowanie na dzielenie poprzez czynnik a różniczkowanie na mnożenie przez czynnik
Odwzorowanie przebiegów prądu i napięcia w postaci funkcji symbolicznej
[edytuj | edytuj kod]W łatwy sposób można uzasadnić słuszność odwzorowywania przebiegów prądu i napięcia pod postacią funkcji symbolicznej. Dla przykładowego przebiegu sinusoidalnego prądu na odbiorniku danego wzorem: zbudować można funkcję symboliczną Jeżeli funkcję symboliczną oraz funkcję do niej sprzężoną przedstawi się w postaci trygonometrycznej:
oraz
to po dodatkowych przekształceniach zauważyć można związek:
Ponieważ z własności liczb zespolonych wynika, że
stąd:
I dla napięcia analogicznie:
Dodatkowym atutem takiego przyporządkowania jest fakt, że nie tylko możliwe jest odwzorowanie przebiegu prądu lub napięcia poprzez funkcję symboliczną, ale także odtworzenie przebiegu sinusoidalnego z funkcji symbolicznej.
Zespolone wartości skuteczne
[edytuj | edytuj kod]W powyższych wzorach przykładowy przebieg zawierał czynnik który odpowiadał zespolonej wartości maksymalnej. Aby przejść z odwzorowania przebiegów sinusoidalnych promieniami wirującymi na odwzorowanie funkcji symbolicznych nieruchomymi wektorami (zatrzymanymi w chwili ) wprowadza się zespolone wartości skuteczne oznaczane poprzez oraz gdzie:
To właśnie wartości skuteczne zespolone używane są w ostatecznych obliczeniach z wykorzystaniem metod używanych podczas analizy obwodów prądu stałego – nawet ich oznaczenia sugerują brak powiązania obliczeń z dziedziną czasu.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Text is available under the CC BY-SA 4.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.