Stała grawitacji (oznaczenie: G) – stała fizyczna służąca do opisu pola grawitacyjnego. Jako pierwszy wyznaczył ją Henry Cavendish[1], używając do tego wagi skręceń (eksperyment Cavendisha). Obecnie używana wartość została opublikowana w 2018 roku przez Komitet Danych dla Nauki i Techniki (CODATA) i wynosi[2]:
![{\displaystyle G=6{,}67430(15)\cdot 10^{-11}\operatorname {\frac {m^{3)){kg\cdot s^{2))} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/673fdd8a0d11e24db3e984d9402167052f627283)
gdzie: s – sekunda, m – metr, kg – kilogram.
W astronomii użytecznie jest wyrazić stałą grawitacji jako:
![{\displaystyle G=4{,}3\cdot 10^{-3}\operatorname {\frac {pc}{M_{\odot ))} \left(\operatorname {\frac {km}{s)) \right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b57a9b775149df739d5fdd30dee7d54e60b5e4f1)
gdzie
to masa Słońca, zaś pc – parsek.
Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia Newtona, dwa ciała punktowe (tzn. takie, że ich wzajemna odległość jest większa od ich własnych rozmiarów) o masach
i
odległe o
działają na siebie z siłą, której wartość wynosi:
![{\displaystyle F=G\,{\frac {m_{1}\,m_{2)){r^{2))}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e1660c2942cb3a303060ff7db43e0fb09bd9e9c)
Wzór ten można stosować również dla ciał o symetrii sferycznej. Wówczas
oznacza odległość pomiędzy środkami tych ciał.
W fizyce kwantowej
Dla elektronów oddziaływanie grawitacyjne można uważać za egzotyczne ultrasłabe kulombowskie przyciągające oddziaływanie elektromagnetyczne (elektrostatyczne) 20. rzędu w stałej struktury subtelnej
Jak łatwo sprawdzić, zachodzi związek, który to wyraża[3]
![{\displaystyle G={\frac {4}{3{\sqrt[{38}]{2)))){\frac {\hbar c}{m_{e}^{2))}\alpha ^{21}=1{,}30923\cdot {\frac {\hbar c}{m_{e}^{2))}\alpha ^{21}=6{,}67433\cdot 10^{-11}\operatorname {\frac {m^{3)){kg\,s^{2))} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c57efb03a7ca571a966b98df40fa8c1fc4dab728)
lub inaczej wprost
![{\displaystyle {\frac {Gm_{e}^{2)){r^{2))}={\frac {4}{3{\sqrt[{38}]{2)))){\frac {e^{2)){4\pi \varepsilon _{0}r^{2))}\alpha ^{20},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b048221b16c5dbc50563a132e78310f9c5d107a)
definiujący też tzw. silną stałą grawitacji dla elektronu
![{\displaystyle G_{s}={\frac {4}{3{\sqrt[{38}]{2)))){\frac {\hbar c}{m_{e}^{2))}=4{,}98811\cdot 10^{34}\operatorname {\frac {m^{3)){kg\,s^{2))} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/142992b9e86e8924f4d4ee77b27e49072e68ba7b)
Kładąc
gdzie
jest zredukowaną komptonowską długoscią fali, i przepisując równość w języku energii
![{\displaystyle {\frac {Gm_{e}^{2))((\bar {\lambda ))_{C))}={\frac {4}{3{\sqrt[{38}]{2)))){\frac {\hbar c}((\bar {\lambda ))_{C))}\alpha ^{21},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c4e46111bfaab63598ce8da7bdf6da8c774758e)
otrzymujemy energię grawitacyjną oddziaływania dwóch elektronów względem nieskończoności w odległości równej zredukowanej komptonowskiej długości fali w postaci poprawki promienistej typu przesunięcia Lamba w elektrodynamice kwantowej jako
![{\displaystyle E_{G}({\bar {\lambda ))_{C})=-{\frac {4}{3{\sqrt[{38}]{2))))\alpha ^{21}m_{e}c^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b01f98dfb39d9fe369dd8373c4fa43c6b60bad9)
tzn. względem energii spoczynkowej elektronu.
Wynik ten można otrzymać w ramach kwantowej teorii cząstek elementarnych w teorii wszechświata pięciowymiarowego[4].
Daje ona odwrócone spektrum Rydberga cząstek elementarnych o masach
![{\displaystyle G={\frac {1}{2n^{2))}{\frac {\hbar c}{m_{n}^{2))},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a7ca38b6b43f2520ba507bdb248e42dc1119271)
tzn. dla elektronu jako bardzo niskoenergetycznego wzbudzenia próżni
![{\displaystyle n\approx \left({\frac {1}{\alpha ))\right)^{\frac {21}{2)){\sqrt {\frac {3{\sqrt[{38}]{2))}{8))}\approx 16894315429949215866880.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d499d4f2238d1a87e339297d4790df0709e6b9c)
Podobne, choć trochę odchylone od wartości CODATA i bardziej skomplikowane, wyrażenie znaleziono też z prostych rozważań geometrycznych jako[5]:
![{\displaystyle G=4\pi ^{2}\alpha ^{2}e^{-{\frac {1}((\sqrt {2))\alpha ))}{\frac {\hbar c}{m_{e}^{2))}=6{,}6202087\cdot 10^{-11}\operatorname {\frac {m^{3)){kg\,s^{2))} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84de8aed454fa5dcede0fdc587d58579c72067da)
ustanawiające równanie nieliniowe na przybliżoną wartość stałej struktury subtelnej:
![{\displaystyle {\frac {1}{3{\sqrt[{38}]{2))))\alpha ^{19}=\pi ^{2}e^{-{\frac {1}((\sqrt {2))\alpha ))))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d80d058b6b11b945b2938bb9b4256c0495acdf86)
dające rozwiązanie:
wobec wartości CODATA
Można też zauważyć, że z bardzo dobrym przybliżeniem
![{\displaystyle G={\frac {\varphi ^{2)){2)){\frac {\hbar c}{m_{e}^{2))}\alpha ^{21}=6{,}67323\cdot 10^{-11}\operatorname {\frac {m^{3)){kg\,s^{2))} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f482d122815072bc0d6998ae805837c501a6231c)
gdzie
to tzw. złota liczba. Wzór ten może być jeszcze poprawiony do perfekcyjnej
wartości CODATA przez minimalnie podwyższający czynnik kolimujący z długim lecz bardzo łatwym do zapamiętania "odliczającym" ułamkiem
![{\displaystyle G=2^{1/4321}{\frac {\varphi ^{2)){2)){\frac {\hbar c}{m_{e}^{2))}\alpha ^{21}=6{,}67430\cdot 10^{-11}\operatorname {\frac {m^{3)){kg\,s^{2))} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6b4806340d59c4459b6495bfb309adafec15bfc)