Macierz nilpotentna
Macierz nilpotentna – macierz kwadratowa, której pewna potęga jest równa macierzy zerowej.
Przykład
[edytuj | edytuj kod]Przykładem macierzy nilpotentnej jest macierz
bowiem kolejne potęgi tej macierzy są równe:
Własności
[edytuj | edytuj kod]- Jeśli jest nilpotentna, to najmniejsza liczba naturalna taka, że nie przekracza stopnia
- Wielomian charakterystyczny macierzy nilpotentnej jest postaci stąd wszystkie jej wartości własne są równe zeru.
- Macierz nilpotentna jest osobliwa, a jej ślad jest równy zeru.
- Każda macierz trójkątna, która na głównej przekątnej ma zera, jest macierzą nilpotentną.
- każda wielokrotność macierzy nilpotentnej też jest nilpotentna. Każda potęga macierzy nilpotentnej też jest nilpotentna.
Postać Jordana
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie macierzą kwadratową stopnia postaci:
tzn. przekątna „sąsiadująca” z główną przekątną tej macierzy zawiera wyłącznie jedynki.
W szczególności
Wówczas dowolną macierz nilpotentną można sprowadzić do następującej postaci Jordana:
dla pewnych
Sprowadzenie macierzy nilpotentnej do powyższej postaci Jordana jest możliwe dla dowolnego ciała[a].
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]- macierz idempotentna
- mnożenie macierzy
- nilpotentność
Uwagi
[edytuj | edytuj kod]- ↑ W ogólnym przypadku, tj. dla dowolnych macierzy kwadratowych wymagane jest ciało algebraicznie domknięte.
Text is available under the CC BY-SA 4.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.