Pole wektorowe – funkcja, która każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowuje pewną wielkość wektorową^[1]. Formalnie definicja pola wektorowego odwołuje się do teorii miary i teorii przestrzeni Hilberta.

Niech ${\displaystyle (X,\mu )}$ będzie przestrzenią z miarą. Rozważmy rodzinę przestrzeni Hilberta ${\displaystyle (H_{x})_{x\in X))$^[a]. Elementy produktu ${\displaystyle \prod _{x\in X}H_{x))$ nazywamy polami wektorowymi.

Rodziną fundamentalną pól ${\displaystyle \mu }$-mierzalnych nazywamy rodzinę ${\displaystyle \Gamma =(h^{\alpha })_{\alpha \in \mathrm {A} ))$ spełniającą warunki:

1. funkcja ${\displaystyle X\ni x\mapsto (h^{\alpha }(x)|h^{\beta }(x))_{x}\in \mathbb {C} }$ jest ${\displaystyle \mu }$-mierzalna dla ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathrm {A} .}$
2. ${\displaystyle {\mbox{lin))\{(h^{\alpha }(x))_{\alpha \in \mathrm {A} }\}=H_{x))$^[b] dla każdego ${\displaystyle x\in X.}$

Pole wektorowe

${\displaystyle h\in \prod _{x\in X}H_{x))$

nazywamy mierzalnym, gdy wszystkie funkcje ${\displaystyle x\mapsto (h^{\alpha }(x)|h^{\beta }(x))_{x))$ są ${\displaystyle \mu }$-mierzalne.

Pola ${\displaystyle \mu }$-mierzalne stanowią podprzestrzeń liniową produktu ${\displaystyle \prod _{x\in X}H_{x))$^[c].

Przykładami pól wektorowych znanymi z fizyki są:

• pole grawitacyjne – pole wektorów natężenia pola grawitacyjnego,
• pole elektryczne – pole wektorów natężenia pola elektrycznego,
• pole magnetyczne – pole wektorów indukcji magnetycznej,
• pole prędkości i potencjał zespolony przepływu – określa prędkość przepływu płynu w każdym punkcie przestrzeni.

Teoretycznym badaniem pól fizycznych zajmuje się dział fizyki zwany teorią pola. W teorii tej pola przedstawiane są jako funkcje matematyczne.

Dywergencją pola wektorowego ${\displaystyle \mathbf {A} ({\vec {r)))=[A_{x}({\vec {r))),A_{y}({\vec {r))),A_{z}({\vec {r)))]}$ określonego w punktach ${\displaystyle {\vec {r))=(x,y,z)}$ przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3))$ nazywa się pole skalarne ${\displaystyle \phi ({\vec {r)))}$ równe sumie odpowiednich pochodnych cząstkowych, obliczonych na składowych ${\displaystyle A_{x},A_{y},A_{z))$ wektora ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \phi ({\vec {r)))={\mbox{div))\,\mathbf {A} ({\vec {r)))={\frac {\partial A_{x}({\vec {r)))}{\partial x))+{\frac {\partial A_{y}({\vec {r)))}{\partial y))+{\frac {\partial A_{z}({\vec {r)))}{\partial z)).}$

Pole skalarne będące dywergencją pola wektorowego jest różne od zera w punktach, gdzie są źródłami pola wektorowego (np. pole elektrostatyczne ma dywergencję różną od zera w punktach, gdzie znajdują się ładunki elektryczne). Powyższa definicja jest słuszna w układzie współrzędnych kartezjańskich. Definicje w innych układach współrzędnych omówiono w artykule Dywergencja.

Rotacją pola wektorowego ${\displaystyle \mathbf {A} (x,y,z)}$ nazywa się pole wektorowe takie że

${\displaystyle \mathbf {B} (x,y,z)={\mbox{rot))\mathbf {A} =\left({\frac {\partial A_{z)){\partial y))-{\frac {\partial A_{y)){\partial z))\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial A_{x)){\partial z))-{\frac {\partial A_{z)){\partial x))\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial A_{y)){\partial x))-{\frac {\partial A_{x)){\partial y))\right)\mathbf {k} .}$

Rotacja przypisuje polu wektorowemu inne pole wektorowe. Jeśli rotacja ${\displaystyle {\mbox{rot))\mathbf {A} (x,y,z)}$ jest różne od zera w punkcie ${\displaystyle (x,y,z),}$ to oznacza że wokół tego punktu pole wektorowe ${\displaystyle \mathbf {A} (x,y,z)}$ wiruje.

Powyższa definicja jest słuszna w układzie współrzędnych kartezjańskich. Definicje w innych układach współrzędnych omówiono w artykule Rotacja.

• dywergencja pola
• gradient pola
• pole skalarne
• pole tensorowe
• rotacja pola
• teoria pola

• Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976. Brak numerów stron w książce