Grupa (czwórkowa) Kleina – najmniejsza niecykliczna grupa (abelowa). Oznacza się ją tradycyjnie symbolami ${\displaystyle V_{4))$ lub ${\displaystyle K_{4}.}$

Liczebnik w nazwie i oznaczeniach wskazuje liczbę jej elementów (tj. jej rząd) i jest bezpośrednim tłumaczeniem oryginalnej nazwy Vierergruppe (dosł. „czterogrupa”, „grupa czwórkowa”) nadanej przez Felixa Kleina^[1], który jako pierwszy opisał jej własności w pracy Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade („Wykłady o ikosaedrze i rozwiązywaniu równań piątego stopnia”) wydanej w 1884 roku^[2].

Wszystkie elementy grupy są samoodwrotne. Wyjąwszy element neutralny dowolne dwa elementy grupy dają w złożeniu pozostały trzeci element. Przyjmuje się, że grupa dwuścianu drugiego stopnia ma strukturę grupy Kleina.

Grupę Kleina definiuje działanie ${\displaystyle \circ }$ określone na zbiorze czterech (różnych) elementów ${\displaystyle V_{4}=\{e,a,b,c\))$ dane jak w tabeli niżej^[3], gdzie element ${\displaystyle e}$ jest elementem neutralnym.

Tabliczka działania grupy ${\displaystyle V_{4))$

${\displaystyle \circ }$	${\displaystyle e}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$
${\displaystyle e}$	${\displaystyle e}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$
${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle e}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle b}$
${\displaystyle b}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle e}$	${\displaystyle a}$
${\displaystyle c}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle e}$

Można ją opisać również za pomocą dwóch generatorów ${\displaystyle a,b}$ oraz trzech relacji ${\displaystyle a^{2}=e,}$ ${\displaystyle b^{2}=e}$ i ${\displaystyle (ab)^{2}=e;}$ innymi słowy grupa Kleina ma prezentację postaci

${\displaystyle V_{4}=\langle a,b\mid a^{2}=b^{2}=(ab)^{2}=e\rangle .}$

Wśród innych grup o tożsamej (tj. izomorficznej) z nią strukturze można wymienić (kolejne wymienione elementy odpowiadają odpowiednio wspomnianym na początku elementom ${\displaystyle e,a,b,c}$):

• iloczyn prosty ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2))$ (z dodawaniem modulo 2):

  ${\displaystyle (0,0),\;(0,1),\;(1,0),\;(1,1);}$

• grupa symetrii rombu na płaszczyźnie (który nie jest kwadratem):

  identyczność, symetria względem przekątnej dłuższej, symetria względem przekątnej krótszej i obrót o ${\displaystyle 180^{\circ };}$

• podgrupa permutacji grupy symetrycznej ${\displaystyle S_{4}{:))$

  ${\displaystyle \operatorname {id} ,\;(12)(34),\;(13)(24),\;(14)(23).}$

Można ją również skonstruować na zbiorze ${\displaystyle \((\overline {1)),{\overline {3)),{\overline {5)),{\overline {7))\))$ z operacją mnożenia modulo 8^[a]. W tym wypadku ${\displaystyle a}$ odpowiada ${\displaystyle {\overline {3)),}$ ${\displaystyle b}$ opisuje ${\displaystyle {\overline {5))}$ i wreszcie ${\displaystyle c=ab}$ to istotnie ${\displaystyle {\overline {3))\cdot {\overline {5))={\overline {15))\equiv {\overline {7)).}$

Każdy jej nietrywialny element jest rzędu dwa^[1] (nie jest więc grupą cykliczną^[b]); grupa jest przemienna (abelowa), co można zauważyć w przedstawionej wyżej tabliczce działania^[c].

Grupa Kleina jest jedną z dwóch istotnie (tj. algebraicznie) różnych grup czteroelementowych^[d]; druga z nich jest grupą cykliczną^[b].

Z teorii Galois wynika, że właśnie obecność grupy Kleina wśród podgrup grupy symetrycznej czwartego stopnia opisującej symetrie wielomianów czwartego stopnia jednej zmiennej zapewnia rozwiązywalność równania czwartego stopnia z jedną niewiadomą przez pierwiastniki (zob. grupa rozwiązalna)^[e].

• Felix Klein: Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade. Lipsk: B.G. Teubner, 1884. (niem.).
• Bolesław Gleichgewicht: Algebra. Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2004. ISBN 978-83-89020-35-2.

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Vierergruppe, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-09-05].