Hej i Witaj w Wikipedii! Zauważyłem twe zapytanie/wątpliwości w Dyskusja:Aksjomaty i konstrukcje liczb i tamżesz odpowiedziałem. Czy to co piszę ma sens / jest jasne? Zapewne należałoby rzecz wygładzić/wyjaśnić w samym artykule. Kiedyś. Best, Andrzej (Stotr (dyskusja) 15:10, 18 lut 2008 (CET))[odpowiedz]

Hej, przepraszam za opóźnienie w odpowiedzi ale jakoś przegapiłem Twoje pytanie.... Nie znam się w ogóle na arytmetyce drugiego rzędu (aP) ani PA i musiałbym sprawdzić w literaturze/książkach (co uczynię jeśli będę pamiętał) ale chyba właśnie Twierdzenie Goodsteina jest takim przykładem: jest ono niedowodliwe w PA. Natomiast nie jestem pewien jak to jest z dowodliwością w aP :-( Twierdzenie to jest dowodliwe w ZF ale... Zaraz zapytam Alefa - on to wszystko wie. Best, Andrzej (Stotr (dyskusja) 20:33, 22 lut 2008 (CET))[odpowiedz]

Zapytałeś Stotra o jakis przyklad zdania wyrazalnego w logice pierwszego rzedu, dowiedlne w aksjomatyce Peano, ale nie w arytmetyce Peano?.

Ale co znaczy "dowiedlne"? Rozumiemy pojęcie "dowód w języku pierwszego rzędu", i też "dowód w języku pierwszego rzędu z aksjomatów PA". Dzięki twierdzeniu Gödla o zupełności wiemy (przynajmniej wierzymy) że nasze aksjomaty logiczne są dokładnie to, co potrzebujemy. (Każda książka o logice matematycznej ma swoją własną aksjomatykę, ale wszystkie są równoważne.)

W języku drugiego rzędu nie mamy kanonicznego pojęcia "dowodu". Nie mamy twierdzenia o zupełności; nawet wiemy, że żadny (rozstrzygalny) układ aksjomatów/reguł nie będzie zupełny. (Można to udowodnić z pomocą twierdzenia Gödla o niezupełności.)

Kanoniczne pojęcie dowiedlności, jeśli chodzi o jezyk drugiego rzędu, jest to, co powiedział Stotr: możemy udowodnić coś o prawdzie drugiego rzędu w jezyku pierwszego rzędu na bazie aksjomatów ZFC, albo innych aksjomatów teorii mnogości, teorii typów [type theory?], itd. Właściwie to nie jest kanoniczne, istnieją różne (nierównoważne, nawet co dotyczy zdania w języku arytmetyki) systemy aksjomatów teorii mnogości.

Alef (dyskusja) 22:42, 22 lut 2008 (CET)[odpowiedz]