양자장론

파인만 도형의 예 (전자와 양전자의 쌍소멸로 인한 중간자 생성)

대칭 시공간 병진 대칭 로런츠 군 푸앵카레 군 등각 대칭 이산 대칭 전하 켤레 대칭 (C) 반전성 (P) 시간 역전 대칭 (T) 기타 게이지 이론 초대칭 대칭 깨짐 자발 대칭 깨짐 골드스톤 보손 힉스 메커니즘 변칙

도구 기본 개념 전파 인자 윅 정리 (표준 순서) LSZ 축약 공식 상관 함수 양자화 정준 양자화 경로 적분 산란 이론 산란 행렬 만델스탐 변수 섭동 이론 파인만 도형 질량껍질 가상 입자 조절과 재규격화 파울리-빌라르 조절 차원 조절 최소뺄셈방식 재규격화군 유효 이론 (유효 작용) 게이지 이론 공변미분 파데예프-포포프 유령 BRST 대칭 워드-다카하시 항등식

이론 장난감 모형 사승 상호작용 콜먼-와인버그 모형 시그마 모형 베스-추미노 모형 게이지 이론 양자 전기역학 양-밀스 이론 양자 색역학 전기·약 이론 표준 모형 대통일 이론 대통일 이론 페체이-퀸 이론 시소 메커니즘 최소 초대칭 표준 모형 테크니컬러

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v t e

관련 기사 시리즈의 일부
양자역학
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t))|\psi (t)\rangle ={\hat {H))|\psi (t)\rangle }$ 슈뢰딩거 방정식
개론 수학적 공식화 역사
배경 고전역학 초기 양자론 브라-켓 표기법 해밀토니언 간섭
기본 상보성 결어긋남 얽힘 에너지 준위 측정(measurement) 비국소성(nonlocality) 양자수 상태(state) 중첩 Symmetry 터널링 불확정성 파동 함수 붕괴
실험 벨 부등식 데이비슨-거머 이중슬릿 엘리추르–바이드만(Elitzur–Vaidman) 프랑크-헤르츠 레게트-가르그 부등식(Leggett–Garg inequality) 마하-젠더(Mach–Zehnder) 포퍼(Popper) 양자 지우개(quantum eraser) 지연선택 슈뢰딩거의 고양이 슈테른-게를라흐 휠러의 지연된 선택(Wheeler's delayed-choice)
공식화 개요 하이젠베르크 상호작용 묘사 행렬 Phase-space 슈뢰딩거 합계 기록(경로 적분)
방정식 디랙 클라인-고든 파울리(Pauli) 뤼드베리 슈뢰딩거
해석 베이지안 정합적 역사 코펜하겐 드 브로이-봄 앙상블 숨은 변수 국소적 다세계 객관적 붕괴 양자 논리 관계적 트랜잭션(transactional)
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과학자 아하로노프Aharonov 벨 베테 블래킷 블로흐 봄 보어 보른 보스 드브로이 콤프턴 디랙 데이비슨 디바이 에렌페스트 아인슈타인 에버렛 포크 페르미 파인먼 글라우버 구츠윌러Gutzwiller 하이젠베르크 힐베르트 요르단 크라머르스 파울리 램 란다우 라우에 모즐리 밀리컨 오너스 플랑크 라비 라만 뤼드베리 슈뢰딩거 시몬스Simmons 조머펠트 폰 노이만 바일 빈 위그너 제이만 차일링거
v t e

산란 이론에서 산란 행렬(散亂行列, 영어: scattering matrix) 또는 S행렬이란 산란 과정을 겪는 소립자^[1] 또는 계의 초기 상태와 나중 상태를 연관짓는 유니터리 행렬이다. 기호는 S. 이를 이용하여 산란 단면적이나 붕괴율 따위를 계산할 수 있다. 양자장론에서는 산란 행렬을 파인먼 도형으로 계산할 수 있다.

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 복소수 힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H))}$
• 자기 수반 작용소 ${\displaystyle H_{0}\colon \operatorname {dom} H_{0}\to {\mathcal {H))}$, ${\displaystyle \operatorname {dom} H_{0}\subseteq {\mathcal {H))}$. 이를 자유 해밀토니언(영어: free Hamiltonian)이라고 하자.
• 자기 수반 작용소 ${\displaystyle H\colon \operatorname {dom} H\to {\mathcal {H))}$, ${\displaystyle \operatorname {dom} H\subseteq {\mathcal {H))}$. 이를 상호 작용 해밀토니언(영어: interacting Hamiltonian)이라고 하자.

복소수 힐베르트 공간 위의 임의의 자기 수반 작용소 ${\displaystyle A}$에 대하여, 그 스펙트럼의 분해를 통해 ${\displaystyle {\mathcal {H))}$를

${\displaystyle {\mathcal {H))={\mathcal {H))_((\text{ac)),A}\oplus {\mathcal {H))_((\text{sc)),A}\oplus {\mathcal {H))_((\text{pp)),A))$

로 분해할 수 있다. 여기서

• ${\displaystyle {\mathcal {H))_((\text{ac)),A))$는 완전 연속 스펙트럼(영어: purely continuous spectrum)에 대응한다.
• ${\displaystyle {\mathcal {H))_((\text{sc)),A))$는 특이 연속 스펙트럼(영어: singular continuous spectrum)에 대응한다.
• ${\displaystyle {\mathcal {H))_((\text{pp)),A))$는 순수 점 스펙트럼(영어: purely point spectrum)에 대응한다.

마찬가지로, 위 부분 공간들에 대한 사영 작용소

${\displaystyle \operatorname {proj} _((\text{ac)),A},\operatorname {proj} _((\text{sc)),A},\operatorname {proj} _((\text{pp)),A}\colon {\mathcal {H))\to {\mathcal {H))}$

를 정의할 수 있다.

또한, 자기 수반 작용소에 대한 보렐 범함수 미적분학(영어: Borel functional calculus)을 통해, ${\displaystyle x\mapsto \exp(\mathrm {i} tx)}$는 유계 함수이므로, 임의의 ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$에 대하여 유니터리 작용소

${\displaystyle \exp(\mathrm {i} tH_{0})\colon {\mathcal {H))\to {\mathcal {H))}$

${\displaystyle \exp(\mathrm {i} tH)\colon {\mathcal {H))\to {\mathcal {H))}$

를 정의할 수 있다.

이제, ${\displaystyle H_{0))$와 ${\displaystyle H}$에 대한 파동 연산자(波動演算子, 영어: wave operator)는 (만약 존재한다면) 다음과 같은 극한이다.^{[2]:Definition 1.1}

${\displaystyle \operatorname {W} _{\pm }(H,H_{0})\colon {\mathcal {H))\to {\mathcal {H))}$

${\displaystyle \operatorname {W} _{\pm }(H,H_{0})=\lim _{t\to \infty }\exp(\pm \mathrm {i} Ht)\exp(\mp \mathrm {i} H_{0}t)\operatorname {proj} _((\text{ac)),H_{0))}$

여기서 극한은 점별 (노름) 수렴 위상에 대한 것이다. 부호가 −인 경우는 들어오는 파동, +인 경우는 나가는 파동에 해당한다. 만약 ${\displaystyle W_{\pm }(H,H_{0})}$의 치역이 ${\displaystyle {\mathcal {H))_((\text{ac)),H))$라면 파동 연산자를 완비 파동 연산자(完備波動演算子, 영어: complete wave operator)라고 하며,^{[2]:Definition 1.2} 이는 ${\displaystyle {\mathcal {H))_((\text{ac)),H_{0))}$와 ${\displaystyle {\mathcal {H))_((\text{ac)),H))$ 사이의 복소수 힐베르트 공간 동형 사상(전단사 유니터리 작용소)을 정의한다.

${\displaystyle H_{0))$와 ${\displaystyle H}$에 대한 산란 연산자(散亂演算子, 영어: scattering operator) 또는 산란 행렬은 다음과 같다.^[2]

${\displaystyle \operatorname {S} (H,H_{0})\colon {\mathcal {H))\to {\mathcal {H))}$

${\displaystyle \operatorname {S} (H,H_{0})=\operatorname {W} _{+}^{*}(H,H_{0})\operatorname {W} _{-}(H,H_{0})}$

만약 ± 파동 연산자가 둘 다 완비 파동 연산자라면, 이는 전단사 유니터리 변환

${\displaystyle (\operatorname {S} (H,H_{0})\upharpoonright {\mathcal {H))_((\text{ac)),H_{0)))\colon {\mathcal {H))_((\text{ac)),H_{0))\to {\mathcal {H))_((\text{ac)),H))$

를 정의한다.

간혹 T 연산자를 ${\displaystyle \operatorname {T} (H,H_{0})=-\mathrm {i} (\operatorname {S} (H,H_{0})-\operatorname {proj} _((\text{ac)),H_{0)))}$ 로 정의한다. 즉, ${\displaystyle {\mathcal {H))_((\text{ac)),H_{0))}$에 제한하면, ${\displaystyle \operatorname {S} =\mathrm {i} T}$이다. 이는 산란 과정 가운데 관측할 수 있는 부분 (초기 상태와 다른 부분)을 나타낸다.

파동 연산자는 (만약 존재한다면) 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

${\displaystyle \operatorname {W} _{\pm }(H,H_{0})H_{0}=H\operatorname {W} _{\pm }(H,H_{0})}$

산란 연산자는 (만약 존재한다면) 자유 해밀토니언 연산자와 가환한다.

${\displaystyle \operatorname {S} (H,H_{0})H_{0}=H_{0}\operatorname {S} (H,H_{0})}$

위그너 정리에 따라, 만약 ${\displaystyle \operatorname {W} _{\pm }(H,H_{0})}$가 둘 다 완비라면,

${\displaystyle \operatorname {S} (H,H_{0})\upharpoonright {\mathcal {H))_((\text{ac)),H_{0))}$

는 ${\displaystyle {\mathcal {H))_((\text{ac)),H_{0))\to {\mathcal {H))_((\text{ac)),H_{0))}$ 유니터리 작용소이다.

르베그 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H))=\operatorname {L} ^{2}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {C} )}$ 위의 다음과 같은 두 자기 수반 작용소를 생각해보자.

${\displaystyle H_{0}=\Delta +V_{0}(x)}$

${\displaystyle H_{0}=\Delta +V_{0}(x)+V(x)}$

${\displaystyle V_{0},V\in \operatorname {L} ^{\infty }(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} ^{n))V(x)(1+x^{2})^{k/2}<\infty }$

여기서 ${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$는 어떤 실수이며, ${\displaystyle \textstyle \Delta =-\sum _{i=1}^{n}\partial ^{2}/\partial x_{i}^{2))$는 라플라스 연산자이다.

위와 같은 경우, 다음 조건 아래 완비 과거·미래 파동 연산자 및 산란 연산자가 존재한다.

• ${\displaystyle k>n}$^{[2]:Theorem 1.7}
• ${\displaystyle V_{0}=0}$이며, ${\displaystyle k>1}$^{[2]:Theorem 2.4}

반면, 예를 들어 ${\displaystyle V_{0}=0}$, ${\displaystyle V(x)=(1+x^{2})^{-2))$일 때는 파동 연산자가 존재하지 않는다.^[2]:§3.1

하이젠베르크 묘사를 쓰자. 민코프스키 공간에서 질량 간극을 갖는 양자장론의 경우 점근적인 초기 및 나중 상태는 포크 공간을 이룬다. 따라서 초기 상태의 포크 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H))_{\text{I))}$와 나중 상태의 포크 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H))_{\text{F))}$를 다음과 같이 적을 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal {H))_{\text{I))=\operatorname {span} \{\left|k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =a_{i}^{\dagger }(k_{1})\cdots a_{i}^{\dagger }(k_{n})\left|I,0\right\rangle _{\text{I))\))$

${\displaystyle {\mathcal {H))_{\text{F))=\operatorname {span} \{\left|p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle =a_{f}^{\dagger }(p_{1})\cdots a_{f}^{\dagger }(p_{n})\left|F,0\right\rangle _{\text{F))\))$

이들은 자유 해밀토니언 ${\displaystyle H_{0))$의 고유 벡터 기저를 정의한다.

따라서 산란 연산자 ${\displaystyle S}$는 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle \left\langle \beta \right|_{\text{I))S\left|\alpha \right\rangle _{\text{I))=S_{\alpha \beta }=\left\langle \beta |_{\text{F))|\alpha \right\rangle _{\text{I))}$.

양자장론에서는 산란 연산자를 보통 상관함수를 통한, LSZ 축약 공식이라는 점근적 급수로 나타낼 수 있다. 상관함수는 파인먼 도형으로 계산할 수 있다.

또한, 양자장론에서 산란 연산자는 보통 다음 조건들을 만족시킨다.

• ${\displaystyle S\left|0\right\rangle =\left|0\right\rangle }$ (진공에서의 항등성)
• ${\displaystyle S\left|k\right\rangle =\left|k\right\rangle }$ (단입자 상태에서의 항등성)

이는 물론 물리학적으로 하나의 입자만이 존재하면 산란이 일어나지 않음을 뜻한다.

산란 행렬의 개념은 1937년에 존 휠러가 도입하였다.^[3]

• Yafaev, Dmitry R. (1995). 《Mathematical scattering theory: the general theory》. Translations of Mathematical Monographs (영어). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0951-8. 
• Yafaev, Dmitry R. (2010). 《Mathematical scattering theory: analytic theory》. Mathematical Surveys and Monographs (영어) 158. American Mathematical Society. doi:10.1090/surv/158. 
• Baumgärtel, Hellmut; Wollenberg, Manfred (1983). 《Mathematical Scattering Theory》. Operator theory: advances and applications (영어) 9. ISBN 978-3-0348-5442-9. 
• Simon, Barry (1978). 〈An overview of rigorous scattering theory〉 (PDF). Nuttal, J. 《Atomic scattering theory: mathematical and computational aspects》 (영어). University of West Ontario. 1–24쪽. 
• Reed, Michael; Simon, Barry (1979). 《Scattering Theory》. Methods of Modern Mathematical Physics (영어) 3. Academic Press. 

• 파인먼 도형
• LSZ 축약 공식
• 윅의 정리
• S행렬이론