완비 원순서 집합

순서론에서 완비 원순서 집합(영어: complete preordered set, 약자 cpo)은 모든 사슬이 상한을 갖는 원순서 집합이다.

정의

원순서 집합 $(P,\lesssim )$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 $P$ 를 완비 원순서 집합이라고 한다.

모든 사슬의 상한이 존재한다.
모든 정렬 사슬의 상한이 존재한다.
최소 원소를 가지며, 모든 상향 집합의 상한이 존재한다.
최소 원소를 가지며, 표준적인 매장 $\downarrow \colon P\to \operatorname {Ideal} (P)$ 는 (얇은 작은 범주 사이의 함자로 여겼을 때) 왼쪽 수반 함자를 갖는다.
임의의 순서 보존 함수 $f\colon P\to P$ 의 고정점 집합 ${\displaystyle \{a\in P\colon a\sim f(a)\))$ 은 최소 원소를 갖는다.^[1]^{:20–21, Exercise O-2.20, Exercise O-2.21(iv)}

완비 원순서 집합에서, 주 순서 아이디얼 $\downarrow \colon P\to \operatorname {Ideal} (P)$ 의 왼쪽 수반 함자는 순서 아이디얼의 상한

\bigvee \colon \operatorname {Ideal} (P)\to P

{\displaystyle {\bigvee }\dashv {\downarrow ))

이다.

보다 일반적으로, 순서수 $\alpha$ 가 주어졌을 때, 원순서 집합 $(P,\lesssim )$ 이 다음 조건을 만족시키면, $P$ 를 $\alpha$ -완비 원순서 집합(영어: $\alpha$ -complete preordered set)이라고 한다.

두 완비 원순서 집합 $P$ , $Q$ 사이의 함수 $f\colon P\to Q$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 완비 원순서 집합의 사상이라고 한다.

사슬의 상한을 보존한다. 즉, 임의의 사슬 $C\subseteq P$ 에 대하여, $f\left(\bigvee C\right)=\bigvee f(C)$
최소 원소를 보존하며, 상향 집합의 상한을 보존한다. 즉, ${\displaystyle f(\bot _{P})=\bot _{Q))$ 이며, 임의의 상향 집합 $D\subseteq P$ 에 대하여 $f\left(\bigvee D\right)=\bigvee f(D)$ .
정의역과 공역 위에 스콧 위상을 부여하였을 때, 연속 함수이다.

완비 원순서 집합의 사상은 항상 순서 보존 함수이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

모든 완비 원순서 집합은 닫힌 원순서 집합이다. 따라서 초른 보조정리를 적용할 수 있다.

격자 $L$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

즉, 완비 원순서 집합은 완비 격자의 개념을 일반화한다.

완비 원순서 집합 $(P,\lesssim )$ 위의 순서 보존 함수 $f\colon P\to P$ 의 고정점 집합 ${\displaystyle \{a\in P\colon a\sim f(a)\))$ 은 완비 원순서 집합이다. 이는 타르스키 고정점 정리를 일반화한다.

완비 원순서 집합 $(P,\lesssim )$ 위의 순서 보존 함수들의 집합 ${\displaystyle (f_{i}\colon P\to P)_{i\in I))$ 가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

\forall i\in I\forall a\in P\colon a\leq f_{i}(a)

그렇다면, ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I))$ 는 최소 공통 고정점을 갖는다.^[1]^{:21, Exercise O-2.22}

완비 원순서 집합과 그 사상의 범주 $\operatorname {Cpo}$ 는 데카르트 닫힌 범주를 이룬다.

↑ ^가 ^나 Gierz, Gerhard; Hofmann, Karl; Keimel, Klaus; Lawson, Jimmie; Mislove, Michael; Scott, Dana S. (2003). 《Continuous lattices and domains》. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications (영어) 93. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511542725. ISBN 978-0-521-80338-0. MR 1975381. Zbl 1088.06001.

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