스콧 위상
일반위상수학 및 순서론에서 스콧 위상(영어: Scott topology)은 임의의 원순서 집합 위에 정의할 수 있는 위상의 하나이다.
정의
[편집]원순서 집합 의 부분 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 스콧 열린집합(영어: Scott-open set)이라고 한다.
- 다음 두 조건을 만족시킨다.
- 스콧 닫힌집합의 여집합이다.
마찬가지로, 원순서 집합 의 부분 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 스콧 닫힌집합(영어: Scott-closed set)이라고 한다.
- 다음 두 조건을 만족시킨다.
- 스콧 열린집합의 여집합이다.
원순서 집합 의 스콧 열린집합들의 집합은 위의 위상을 이룬다. 이를 의 스콧 위상이라고 한다.
성질
[편집]스콧 위상에 대한 연속 함수
[편집]두 원순서 집합 , 사이의 함수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 스콧 연속 함수(영어: Scott-continuous function)라고 한다.
스콧 연속 함수는 항상 증가함수이다.
함자성
[편집]스콧 위상은 원순서 집합과 스콧 연속 함수의 범주 와 위상 공간의 범주 사이의 함자
를 정의한다.
곱과의 호환
[편집]위 함자는 연속 dcpo의 범주 와 콜모고로프 공간의 범주 사이로 제한시켰을 때, 유한 곱을 보존한다. 보다 일반적으로, 임의의 dcpo 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:197, Theorem II-4.13
같이 보기
[편집]각주
[편집]- ↑ Gierz, Gerhard; Hofmann, Karl; Keimel, Klaus; Lawson, Jimmie; Mislove, Michael; Scott, Dana S. (2003). 《Continuous lattices and domains》. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications (영어) 93. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511542725. ISBN 978-0-521-80338-0. MR 1975381. Zbl 1088.06001.
외부 링크
[편집]- “Scott topology”. 《nLab》 (영어).
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