가환대수학에서 정수적 원소(整數的元素, 영어: integral element)는 어떤 부분환에 계수를 갖는 일계수 다항식의 근으로 나타낼 수 있는 가환환 원소이다.

가환환 ${\displaystyle S}$의 부분환 ${\displaystyle R\subseteq S}$ 및 ${\displaystyle s\in S}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 ${\displaystyle s}$를 ${\displaystyle R}$의 ${\displaystyle S}$에 대한 정수적 원소라고 한다.

• ${\displaystyle p(s)=0}$인 일계수 다항식 ${\displaystyle p\in R[x]}$가 존재한다.
• ${\displaystyle R}$와 ${\displaystyle \{s\))$로 생성되는 부분환 ${\displaystyle R[s]}$는 ${\displaystyle R}$의 유한 생성 가군이다.
• ${\displaystyle R[s]\subseteq {\tilde {R))}$이며 ${\displaystyle R}$-유한 생성 가군을 이루는 부분환 ${\displaystyle {\tilde {R))\subseteq S}$가 존재한다.
• ${\displaystyle sM\subseteq M}$이며 ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{S}(M)\cap R[s]=\{0\))$인 ${\displaystyle R}$-유한 생성 가군 ${\displaystyle M}$이 존재한다.

여기서

• ${\displaystyle R[s]=\operatorname {eval} _{x\mapsto s}(S[x])=\{p(s)\colon p\in S[x]\}\subseteq S}$이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{S}(M)=\{a\in S\colon aM=\{0_{M}\}\))$은 ${\displaystyle M}$의 소멸자이다.

가환환 ${\displaystyle S}$의 부분환 ${\displaystyle R\subseteq S}$에 대한 정수적 폐포(整數的閉包, 영어: integral closure)는 ${\displaystyle R}$에 대한 정수적 원소들의 집합이다. 이는 ${\displaystyle S}$의 부분환을 이룬다.

가환환 ${\displaystyle S}$는 그 전분수환 ${\displaystyle \operatorname {Frac} S}$의 부분환이다. 만약 ${\displaystyle S}$의 ${\displaystyle \operatorname {Frac} S}$ 속에서의 정수적 폐포가 ${\displaystyle S}$라면, ${\displaystyle S}$를 정수적으로 닫힌 가환환(整數的으로 닫힌 可換環, 영어: integrally closed commutative ring)이라고 한다.

가환환 ${\displaystyle S}$의 부분환 ${\displaystyle R\subseteq S}$이 주어졌으며, ${\displaystyle S}$가 ${\displaystyle R}$ 위에서 정수적으로 닫혀 있다고 하자, ${\displaystyle R}$-가군 ${\displaystyle S/R}$의 소멸자 ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(S/R)\subseteq R}$를 ${\displaystyle R}$의 ${\displaystyle S}$ 속의 도수(導手, 영어: conductor 콘덕터^[*], 독일어: Führer 퓌러^[*], 프랑스어: conducteur 콩뒤크퇴르^[*]) ${\displaystyle {\mathfrak {f))(S/R)}$라고 한다.^[1]:79

${\displaystyle {\mathfrak {f))(S/R)=\operatorname {Ann} _{R}(S/R)=\{r\in R\colon rS\subseteq R\))$

이는 소멸자이므로 ${\displaystyle R}$의 아이디얼을 이루며, ${\displaystyle R}$의 아이디얼이자 ${\displaystyle S}$의 아이디얼이 되는 가장 큰 집합이다.

${\displaystyle R}$가 정역이며, ${\displaystyle S}$가 ${\displaystyle R}$의 ${\displaystyle \operatorname {Frac} R}$ 속의 정수적 폐포라고 하고, ${\displaystyle S/R}$가 ${\displaystyle R}$-유한 생성 가군이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle R}$의 소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p))\in \operatorname {Spec} R}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle {\mathfrak {p))\subseteq {\mathfrak {f))(S/R)}$
• 국소화 ${\displaystyle R_{\mathfrak {p))}$는 ${\displaystyle S}$ 속에서 정수적으로 닫힌 국소환이다.
• ${\displaystyle (S/R)\otimes _{R}R_{\mathfrak {p))=0}$이다. 즉, ${\displaystyle S\otimes _{R}R_{\mathfrak {p))=R_{\mathfrak {p))}$이다.

${\displaystyle R}$-가군 ${\displaystyle S/R}$는 ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ 위의 가군층으로 여길 수 있으며, 그 지지 집합은 다음과 같이 도수 ${\displaystyle {\mathfrak {f))(S/R)}$로부터 정의되는 (자리스키 위상에서의) 열린집합 ${\displaystyle V({\mathfrak {f))(S/R))}$의 여집합이다.

${\displaystyle \operatorname {supp} (S/R)=\((\mathfrak {p))\in \operatorname {Spec} R\colon (S/R)\otimes _{R}R_{\mathfrak {p))\neq 0\}=\((\mathfrak {p))\in \operatorname {Spec} R\colon {\mathfrak {p))\not \subseteq {\mathfrak {f))(S/R)\}=(\operatorname {Spec} R)\setminus V({\mathfrak {f))(S/R))}$

정역 ${\displaystyle R}$가 다음 조건을 만족시킨다면, N-1환이라고 한다.

• ${\displaystyle R}$의 ${\displaystyle \operatorname {Frac} R}$ 속의 정수적 폐포 ${\displaystyle S}$는 ${\displaystyle R}$-유한 생성 가군이다.

정역 ${\displaystyle R}$가 다음 조건을 만족시킨다면, N-2환이라고 한다.

• ${\displaystyle \operatorname {Frac} R}$의 모든 유한 확대 ${\displaystyle L/\operatorname {Frac} R}$에 대하여, ${\displaystyle R}$의 ${\displaystyle L}$ 속의 정수적 폐포는 ${\displaystyle R}$-유한 생성 가군이다.

뇌터 가환환 ${\displaystyle R}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 뇌터 가환환을 나가타 환(영어: Nagata ring)이라고 한다.^[2]:264

• 임의의 소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p))\in \operatorname {Spec} R}$에 대하여, 몫환 ${\displaystyle R/{\mathfrak {p))}$는 N-2환이다.
• 임의의 정역 ${\displaystyle S}$ 및 환 준동형 ${\displaystyle R\to S}$에 대하여, 만약 이를 통하여 ${\displaystyle S}$가 ${\displaystyle R}$-유한 생성 가군을 이룬다면, ${\displaystyle S}$는 N-2환이다.

정역 ${\displaystyle R}$ 및 그 분수체 ${\displaystyle K=\operatorname {Frac} R}$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle K}$-단위 결합 대수 ${\displaystyle A}$에 대하여, ${\displaystyle A}$ 속의 ${\displaystyle R}$-정환(整環, 영어: order, 독일어: Ordnung) ${\displaystyle {\mathcal {o))\subseteq A}$는 다음 조건들을 만족시키는 ${\displaystyle A}$의 부분환이다.

• ${\displaystyle {\mathcal {o))}$는 ${\displaystyle K}$-단위 결합 대수이다.
• ${\displaystyle {\mathcal {o))}$는 ${\displaystyle R}$-자유 가군이다. (즉, ${\displaystyle R}$-격자를 이룬다.)
• ${\displaystyle K{\mathcal {o))=A}$이다.

${\displaystyle A}$ 속의 ${\displaystyle R}$-정환들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다.

${\displaystyle A}$가 가환환일 때, ${\displaystyle A}$ 속의 ${\displaystyle R}$-정환 ${\displaystyle {\mathcal {o))\subset A}$의 모든 원소는 ${\displaystyle R}$-정수적 원소이다. 따라서, 최대 ${\displaystyle R}$-정환이 존재하며, 이는 ${\displaystyle R}$의 ${\displaystyle A}$ 속의 정수적 폐포이다. (이는 ${\displaystyle A}$가 비가환환일 때 성립하지 않는다. 이 경우 모든 정환은 극대 정환에 속하지만, 최대 정환은 일반적으로 존재하지 않는다.)

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체

정역 ${\displaystyle S}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 정수적으로 닫힌 가환환이다.
• 임의의 소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p))\in \operatorname {Spec} S}$에 대하여, 국소화 ${\displaystyle S_{\mathfrak {p))}$는 정수적으로 닫힌 국소환이다.
• 임의의 극대 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {m))\subseteq S}$에 대하여, ${\displaystyle S_{\mathfrak {m))}$은 정수적으로 닫힌 국소환이다.

뇌터 정역 ${\displaystyle R}$에 대하여 다음 두 조건들이 서로 동치이다.

• 정수적으로 닫힌 가환환이다.
• 다음 두 조건이 성립한다.
  • ${\displaystyle R}$는 높이가 1인 소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p))}$들에 대한 국소화 ${\displaystyle R_{\mathfrak {p))\subseteq \operatorname {Frac} R}$들의 (분수체 ${\displaystyle \operatorname {Frac} R}$ 속에서의) 교집합이다.

    ${\displaystyle R=\bigcap _((\mathfrak {p))\in \operatorname {Spec} R}^{\operatorname {ht} {\mathfrak {p))=1}R_{\mathfrak {p))\subseteq \operatorname {Frac} R}$

  • 임의의 높이가 1인 소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p))\in \operatorname {Spec} R}$에 대하여, ${\displaystyle R_{\mathfrak {p))}$는 이산 값매김환이다.

크룰 차원이 1인 뇌터 국소 정역 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m)))}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle R}$는 정수적으로 닫힌 가환환이다.
• ${\displaystyle {\mathfrak {m))}$은 주 아이디얼이다.
• ${\displaystyle R}$는 이산 값매김환이다.
• ${\displaystyle R}$는 데데킨트 정역이다.
• ${\displaystyle R}$는 정칙 국소환이다.

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 가환환 ${\displaystyle S}$
• ${\displaystyle S}$의 부분환 ${\displaystyle R\subseteq S}$. 또한, ${\displaystyle S}$의 모든 원소는 ${\displaystyle R}$-정수적 원소이다.
• ${\displaystyle R}$-소 아이디얼들의 사슬 ${\displaystyle ({\mathfrak {p))_{i})_{1\leq i\leq k))$ 및 ${\displaystyle S}$-소 아이디얼들의 사슬 ${\displaystyle ({\mathfrak {q))_{i})_{m\leq i\leq n))$ (${\displaystyle 1\leq m\leq n\leq k}$). 또한, ${\displaystyle m\leq i\leq n}$에 대하여 ${\displaystyle {\mathfrak {q))_{i}\mid {\mathfrak {p))_{i))$이다. 즉, ${\displaystyle {\mathfrak {q))_{i}\cap R={\mathfrak {p))_{i))$이다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}&&&&{\mathfrak {q))_{m}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q))_{n}&&&&&\qquad \subseteq S\\{\mathfrak {p))_{1}&\subseteq \cdots \subseteq &{\mathfrak {p))_{m-1}&\subseteq &{\mathfrak {p))_{m}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {p))_{n}&\subseteq &{\mathfrak {p))_{n+1}&\subseteq \cdots \subseteq &{\mathfrak {p))_{k}&\qquad \subseteq R\end{matrix))}$

또한, 다음 두 조건 가운데 하나가 성립한다고 하자.

• ${\displaystyle S}$는 정역이며, ${\displaystyle R}$는 (${\displaystyle \operatorname {Frac} R}$ 속에서) 정수적으로 닫힌 정역이다.
• ${\displaystyle m=1}$이다.

그렇다면, 코언-사이던버그 정리(영어: Cohen–Seidenberg theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle {\mathfrak {q))_{i}\mid {\mathfrak {p))_{i}\forall 1\leq i\leq k}$가 되게 소 아이디얼 사슬 ${\displaystyle \((\mathfrak {q))_{i}\))$를 연장시킬 수 있다. 즉, 다음이 성립하는 ${\displaystyle S}$-소 아이디얼 ${\displaystyle \((\mathfrak {q))_{i}\}_{i\in \{1,\dots ,m-1,n+1,\dots ,k}\))$가 존재한다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}\exists {\mathfrak {q))_{1}&\subseteq \cdots \subseteq &\exists {\mathfrak {q))_{m-1}&\subseteq &{\mathfrak {q))_{m}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q))_{n}&\subseteq &\exists {\mathfrak {q))_{n+1}&\subseteq \cdots \subseteq &\exists {\mathfrak {q))_{k}&\qquad \subseteq S\\{\mathfrak {p))_{1}&\subseteq \cdots \subseteq &{\mathfrak {p))_{m-1}&\subseteq &{\mathfrak {p))_{m}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {p))_{n}&\subseteq &{\mathfrak {p))_{n+1}&\subseteq \cdots \subseteq &{\mathfrak {p))_{k}&\qquad \subseteq R\end{matrix))}$

여기서 ${\displaystyle {\mathfrak {q))_{i}\mid {\mathfrak {p))_{i))$라는 것은 ${\displaystyle ({\mathfrak {q))_{i})\cap R={\mathfrak {p))_{i))$임을 뜻한다.

즉, 정수적 확대에 대하여 소 아이디얼의 사슬을 위로 연장할 수 있으며(영어: going up), 추가 조건 아래 소 아이디얼의 사슬을 아래로도 연장할 수 있다(영어: going down).

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• ${\displaystyle R}$는 크룰 차원이 1인 가환 뇌터 축소환이다. ${\displaystyle K=\operatorname {Frac} R}$는 그 전분수환이다.
• ${\displaystyle L}$은 가환환이며, 단사 함수인 환 준동형 ${\displaystyle \iota \colon K\hookrightarrow L}$이 주어져 있다. 또한, 덧셈 몫군 ${\displaystyle L/K}$는 유한군이다.
• ${\displaystyle S\subseteq L}$은 ${\displaystyle R}$의 ${\displaystyle L}$ 속의 정수적 폐포이다.

크룰-아키즈키 정리(Krull-[秋月]定理, 영어: Krull–Akizuki theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle S}$ 역시 크룰 차원이 1인 가환 뇌터 환이다.
• ${\displaystyle S}$의 임의의 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a))\subseteq S}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle {\mathfrak {a))}$가 영 아이디얼이 아니라면, 덧셈 몫군 ${\displaystyle (S/{\mathfrak {a)))/(R/(R\cap {\mathfrak {a))))}$는 유한군이다. (그러나 덧셈 몫군 ${\displaystyle S/R}$는 유한군이 아닐 수 있다. 즉, 이는 ${\displaystyle {\mathfrak {a))}$가 영 아이디얼일 때 성립하지 못할 수 있다.)
• 만약 ${\displaystyle R}$가 추가로 데데킨트 정역이라면, ${\displaystyle S}$ 역시 데데킨트 정역이다.

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• ${\displaystyle R}$는 가환 뇌터 축소환이다. ${\displaystyle K=\operatorname {Frac} R}$는 그 전분수환이다.
• ${\displaystyle S}$는 ${\displaystyle R}$의 ${\displaystyle K}$ 속의 정수적 폐포이다.
• ${\displaystyle R}$는 ${\displaystyle n}$개의 극소 소 아이디얼 (소 아이디얼들의 포함 관계에 대한 극소 원소, 즉 높이가 0인 소 아이디얼)들을 갖는다.

모리-나가타 정리([森]-[永田]定理, 영어: Mori–Nagata theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle S}$는 ${\displaystyle n}$개의 크룰 정역들의 직접곱이다.

이는 크룰-아키즈키 정리의 고차원 가환환에 대한 부분적 일반화이다.

코언-사이던버그 정리는 어빈 솔 코언과 에이브러햄 사이던버그(영어: Abraham Seidenberg, 1916~1988)가 증명하였다.

크룰-아키즈키 정리는 볼프강 크룰과 아키즈키 야스오(일본어: 秋月 康夫, 1902~1984)가 증명하였다.

모리-나가타 정리는 모리 요시로(일본어: 森 誉四郎)^[3]와 나가타 마사요시^[4] 가 증명하였다.

• 정규 스킴
• 대수적 정수

• “Integral extension of a ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Conductor of an integral closure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Order”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Integrally closed”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Integral closure”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Number field order”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Maximal order”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Stankewicz, Jim (2009년 7월 2일). “Dedekind domains, Krull-Akizuki and the Picard group”. 《Rigorous Trivialities》 (영어).