환론에서 소멸자(消滅子, 영어: annihilator)는 가군의 주어진 부분 집합을 모두 0에 대응시키는 환 원소들로 구성된 아이디얼이다.

환 ${\displaystyle R}$의 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}M}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq M}$의 소멸자 ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}S}$는 다음과 같은 ${\displaystyle R}$의 부분 집합이다.

${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}S=\{r\in R\colon rS=\{0\}\))$

마찬가지로, 환 ${\displaystyle R}$의 오른쪽 가군 ${\displaystyle M_{R))$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq M}$의 소멸자 ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}S}$는 다음과 같은 ${\displaystyle R}$의 부분 집합이다.

${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}S=\{r\in R\colon Sr=\{0\}\))$

환 ${\displaystyle R}$ 위의 왼쪽 가군 또는 오른쪽 가군 ${\displaystyle M}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}M=\{0\))$이라면, ${\displaystyle M}$을 충실한 가군(영어: faithful module)이라고 한다.

왼쪽 가군의 부분 집합의 소멸자는 왼쪽 아이디얼을 이룬다. 마찬가지로, 오른쪽 가군의 부분 집합의 소멸자는 오른쪽 아이디얼을 이룬다. 왼쪽 또는 오른쪽 가군 ${\displaystyle M}$의 부분 가군 ${\displaystyle N\subseteq M}$이 주어졌을 때, ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}N}$은 양쪽 아이디얼을 이룬다.

가환환 ${\displaystyle R}$의 가군 ${\displaystyle M}$의 소멸자 ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}M}$은 환 준동형

${\displaystyle R\to \operatorname {End} _{R}M}$

${\displaystyle r\mapsto (m\mapsto rm)}$

의 핵이다.

• “Annihilator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Annihilator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Faithful module”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.