천체동역학
궤도역학
방정식 케플러의 행성운동법칙 치올콥스키 로켓 방정식 활력방정식
효율측정 유상 하중비 추진제 질량비 질량비
과학자 요하네스 케플러 아이작 뉴턴 콘스탄틴 치올콥스키
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케플러의 행성운동법칙(行星運動法則, 영어: Kepler's laws of planetary motion)은 독일의 천문학자 요하네스 케플러가 발표한 행성의 운동에 대한 세 개의 물리학 법칙이다.

아이작 뉴턴이 만유인력의 법칙을 발견하기 약 반세기 전, 케플러는 티코 브라헤가 평생 동안 천체를 관측하면서 축적한 자료들을 분석하여 다음과 같은 케플러의 행성운동법칙을 발표하였다.

1. 행성은 모항성을 한 초점으로 하는 타원궤도를 그리면서 공전한다. (타원궤도 법칙)
2. 행성과 태양을 연결하는 가상적인 선분이 같은 시간 동안 쓸고 지나가는 면적은 항상 같다.
3. 행성의 공전주기의 제곱은 궤도의 긴반지름의 세제곱에 비례한다.^[1]

아이작 뉴턴은 자신이 발견한 운동 법칙과 케플러 법칙 등을 기반으로 만유인력의 법칙을 유도해냈다. 즉, 케플러가 기술한 태양계의 행성의 운동은 뉴턴의 법칙에 따르는 두 개의 질점간의 상호작용에 해당한다는 것을 밝혀낸 것이다.

따라서 케플러의 행성 운동 법칙은 태양과 행성 사이에만 성립하는 것이 아니라, 행성과 그 위성(인공위성을 포함하여), 위성과 위성이 갖는 손자위성 사이에도 성립한다.

수학적 설명

행성의 궤도를 태양이 중심에 있는 극좌표계 ${\displaystyle (r,\;\theta )}$를 이용하면 아래와 같이 케플러의 행성운동법칙을 간단하게 수학적으로 기술하고, 뉴턴의 만유인력의 법칙과 같은 여러 물리학 법칙을 이용하여 증명할 수 있다.

${\displaystyle \epsilon \equiv {\sqrt {1+\left({2EL^{2} \over m\alpha }\right)))}$, 이심률

${\displaystyle \alpha \equiv GMm}$

${\displaystyle L}$ : 행성의 각운동량

${\displaystyle M}$ : 초점에 위치한 별의 질량

${\displaystyle m}$ : 행성의 질량

${\displaystyle E}$ : 행성의 역학적 에너지

${\displaystyle G}$ : 중력 상수

이다.

제1법칙 타원 궤도의 법칙

케플러의 제1법칙은 궤도의 법칙이라고도 불린다.

• 행성의 공전 궤도는 타원 모양이다. 태양은 타원의 두 초점 중 하나에 위치한다.

제2법칙 면적속도 일정의 법칙

케플러의 제2법칙은 케플러 넓이 법칙(Kepler's law of areas)이라고도 불린다.

• 행성과 태양을 연결하는 가상적인 선분이 같은 시간 동안 쓸고 지나가는 면적은 항상 같다.

면적속도는 수학적으로 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\dot {S))={1 \over 2}r^{2}{\dot {\theta ))}$

케플러의 제2법칙이 행성 운동의 운동 상수임을 의미한다. 혹은, 행성의 공전 속도를 사용하여

${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {v} ={\textrm {const))}$

가 일정하다고 말하기도 한다. 위 값은 행성의 각운동량에 비례하므로, 이 법칙은 만유인력의 법칙과 관계없이 각운동량 보존 법칙으로부터 유도할 수 있다.

제3법칙 조화의 법칙

케플러의 제3법칙은 주기의 법칙이라고도 불린다.

• 행성의 공전 주기의 제곱은 궤도의 긴반지름의 세제곱에 비례한다.

이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

${\displaystyle T^{2}\propto a^{3))$

여기서

${\displaystyle T}$ : 공전 주기

${\displaystyle a}$ : 공전 궤도의 긴반지름

이다. 좀 더 비례 관계를 명확히 하면,

${\displaystyle T^{2}={4\pi ^{2} \over G(M+m)}a^{3))$

이다. 여기서

${\displaystyle G}$ : 중력 상수

${\displaystyle M}$ : 초점에 위치한 별의 질량

${\displaystyle m}$ : 행성의 질량

이다. 태양계에서 행성은 태양에 비해 훨씬 더 가벼우므로 (${\displaystyle M>>m}$), 다음과 같이 근사할 수 있다.

${\displaystyle T^{2}\simeq {4\pi ^{2} \over GM}a^{3))$

따라서, 태양을 중심으로 하는 태양계 안의 모든 행성에 대해선 ${\displaystyle T^{2}a^{-3))$의 값이 모두 같다.

케플러의 제3법칙은 비리얼 정리의 특수한 경우이다.

같이 보기

• 원운동
• 자유낙하 시간
• 중력
• 케플러 궤도
• 케플러 방정식
• 라플라스-룽게-렌츠 벡터

각주

외부 링크

• “케플러의 법칙”. 《네이버캐스트》.