선형대수학에서 전치 행렬(轉置行列, 영어: transposed matrix)은 행과 열을 교환하여 얻는 행렬이다. 즉, 주대각선을 축으로 하는 반사 대칭을 가하여 얻는 행렬이다. 기호는 ${\displaystyle A^{\operatorname {T} ))$, ${\displaystyle A^{\top ))$, ${\displaystyle ^{\operatorname {t} }A}$, ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle A^{\operatorname {tr} ))$.

${\displaystyle m\times n}$ 행렬 ${\displaystyle M}$의 전치 행렬 ${\displaystyle M^{\operatorname {T} ))$은 다음과 같은 ${\displaystyle n\times m}$ 행렬이다.

${\displaystyle M_{ij}^{\operatorname {T} }=M_{ji))$

선형 변환 ${\displaystyle T\colon V\to W}$의 전치 선형 변환(영어: transposed linear map) ${\displaystyle T^{\operatorname {T} }\colon W^{*}\to V^{*))$은 다음과 같다.

${\displaystyle (T^{\operatorname {T} }g)(v)=gTv\qquad \forall g\in W^{*},\;v\in V}$

행렬의 전치는 대합 선형 반대 동형이다. 즉, ${\displaystyle m\times n}$ 행렬 ${\displaystyle M,N}$ 및 스칼라 ${\displaystyle c}$에 대하여,

${\displaystyle (M+N)^{\operatorname {T} }=M^{\operatorname {T} }+N^{\operatorname {T} ))$

${\displaystyle (cM)^{\operatorname {T} }=cM^{\operatorname {T} ))$

${\displaystyle M^{\operatorname {T} \operatorname {T} }=M}$

가 성립하며, ${\displaystyle m\times n}$ 행렬 ${\displaystyle M}$ 및 ${\displaystyle n\times p}$ 행렬 ${\displaystyle N}$에 대하여,

${\displaystyle (MN)^{\operatorname {T} }=N^{\operatorname {T} }M^{\operatorname {T} ))$

가 성립한다.

서로 전치 행렬의 계수와 대각합과 행렬식은 서로 같다.

${\displaystyle \operatorname {rank} M^{\operatorname {T} }=\operatorname {rank} M}$

${\displaystyle \operatorname {tr} M^{\operatorname {T} }=\operatorname {tr} M}$

${\displaystyle \det M^{\operatorname {T} }=\det M}$

특히, ${\displaystyle n\times n}$ 행렬 ${\displaystyle M}$과 그 전치 행렬의 가역성은 같으며, 이 둘이 가역 행렬일 경우 다음이 성립한다.

${\displaystyle (M^{\operatorname {T} })^{-1}=(M^{-1})^{\operatorname {T} ))$

행렬 ${\displaystyle M}$을 반대각선을 축으로 반사하여 얻는 행렬은 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[1]

${\displaystyle JM^{\operatorname {T} }J\qquad (J_{ij}=\delta _{n+1-i,j})}$

선형 변환 ${\displaystyle T\colon V\to W}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \ker T^{\operatorname {T} }=T(V)^{\circ ))$

만약 ${\displaystyle V}$와 ${\displaystyle W}$가 유한 차원 벡터 공간일 경우, 반대로 다음 역시 성립한다.

${\displaystyle T^{\operatorname {T} }(W^{*})=(\ker T)^{\circ ))$

만약 ${\displaystyle V}$와 ${\displaystyle W}$가 유한 차원 벡터 공간일 경우, ${\displaystyle T\colon V\to W}$의 기저 ${\displaystyle B\subseteq V}$ 및 ${\displaystyle B'\subseteq W}$에 대한 행렬이 ${\displaystyle M}$이라고 하면, 전치 선형 변환 ${\displaystyle T^{\operatorname {T} ))$의 쌍대 기저 ${\displaystyle {B'}^{*}\subseteq W^{*))$및 ${\displaystyle B^{*}\subseteq V^{*))$에 대한 행렬은 ${\displaystyle M^{\operatorname {T} ))$이다.

전치 행렬의 예는 다음과 같다.

• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix))^{\operatorname {T} }={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix))}$
• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix))^{\operatorname {T} }={\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix))}$
• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix))^{\operatorname {T} }={\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{pmatrix))}$
• 여인자 행렬의 전치 행렬은 고전적 수반 행렬이다.

• 상관행렬

• Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2. 

• “Transposed matrix”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Transpose”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Transpose matrix”. 《nLab》 (영어). 
• “Transpose”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Definition:Transpose of matrix”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition:Transpose of Linear Transformation”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Rank and nullity of transpose”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Transpose of matrix product”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Determinant of transpose”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Transpose of linear transformation is a linear transformation”. 《ProofWiki》 (영어). 

v t e 선형대수학
기본 개념	스칼라 벡터 벡터 공간 스칼라 곱셈 벡터 사영 선형생성 선형 변환 사영작용소 일차 독립 집합 선형 결합 기저 기저 변경 행 벡터와 열 벡터 행 공간과 열 공간 직교 영공간 고윳값과 고유 벡터 외적 내적 공간 스칼라곱 전치행렬 그람-슈미트 과정 일차 방정식 기본 정리
벡터 대수	벡터곱 삼중곱 7차원 외적
다중선형대수학	기하적 대수학 외대수 이중벡터 다중벡터 텐서 아우터모피즘
행렬	블록 행렬 행렬 분해 가역행렬 소행렬식 행렬 곱셈 계수 변환행렬 크라메르 공식 가우스 소거법 행렬식
대수적 구성	쌍대 공간 직합 함수 공간 몫공간 부분공간 텐서곱
수치선형대수학	부동소수점 수치적 안정성 BLAS(Basic Linear Algebra Subprogram) 희소행렬 선형대수학 라이브러리 비교 수치 분석 소프트웨어 비교
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