수학에서, 어떤 집합의 그 위의 관계에 대한 닫힘(영어: closure)은 그 집합의 원소와 관계가 있는 원소가 항상 그 집합에 속한다는 성질이다. 어떤 집합의 어떤 성질에 대한 폐포(閉包, 영어: closure)는 그 집합을 포함하면서 그 성질을 만족시키는 가장 작은 대상이다. 여기서 다루는 성질은 보통 닫힘 성질이다. 폐포의 기호는 ${\displaystyle \operatorname {cl} X}$ 또는 ${\displaystyle {\bar {X))}$.

다음이 주어졌다고 하자.

• 집합 ${\displaystyle S}$
• ${\displaystyle S\cup \{\bullet \))$ 위의 '${\displaystyle {\operatorname {Ord} }+1}$항 관계' ${\displaystyle R\subset (S\cup \{\bullet \})^{\times ({\operatorname {Ord} }+1)))$. 단, 임의의 ${\displaystyle r\in R}$에 대하여, ${\displaystyle r_{\operatorname {Ord} }\in S}$이며, ${\displaystyle r_{\alpha }\not \in S\implies r_{\beta }\not \in S\forall \alpha <\beta <\operatorname {Ord} }$
  • 특히, ${\displaystyle \alpha <\operatorname {Ord} }$에 대하여, ${\displaystyle S}$ 위의 ${\displaystyle \alpha +1}$항 관계를 위 조건 및 ${\displaystyle \min\{\beta \colon r_{\beta }\not \in S\}=\alpha }$를 만족시키는 '${\displaystyle {\operatorname {Ord} }+1}$항 관계'로 여길 수 있다. 또한, ${\displaystyle \alpha }$항 연산은 자연스럽게 ${\displaystyle \alpha +1}$항 관계로 여길 수 있다.

만약 ${\displaystyle S}$의 부분 집합 ${\displaystyle T\subset S}$가 다음 조건을 만족시키면, ${\displaystyle T}$가 ${\displaystyle R}$에 대하여 닫혀있다(영어: closed under ${\displaystyle R}$)고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle (t_{\alpha })_{\alpha <\operatorname {Ord} }\subset T\cup \{\bullet \))$ 및 ${\displaystyle t_{\operatorname {Ord} }\in S}$에 대하여, ${\displaystyle (t_{\alpha })_{\alpha \leq \operatorname {Ord} }\in R}$이면 ${\displaystyle t_{\operatorname {Ord} }\in T}$

보다 일반적으로, 위 조건을 만족시키는, ${\displaystyle S\cup \{\bullet \))$ 위의 '${\displaystyle {\operatorname {Ord} }+1}$항 관계'의 집합 ${\displaystyle {\mathcal {R))}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle T\subset S}$가 다음 조건을 만족시키면, ${\displaystyle {\mathcal {R))}$에 대하여 닫혀있다(영어: closed under ${\displaystyle {\mathcal {R))}$)고 한다.

• ${\displaystyle T}$는 ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {R))}$에 대하여 닫혀있다.
  • 즉, 임의의 ${\displaystyle R\in {\mathcal {R))}$에 대하여, ${\displaystyle T}$는 ${\displaystyle R}$에 대하여 닫혀있다.

다음이 주어졌다고 하자.

• 집합 ${\displaystyle S}$
• ${\displaystyle S}$의 부분 집합들에 대한 성질 ${\displaystyle P\subset {\mathcal {P))(S)}$

${\displaystyle S}$의 부분 집합 ${\displaystyle T\subset S}$의 ${\displaystyle P}$에 대한 폐포 ${\displaystyle \operatorname {cl} _{P}T}$는 다음 두 조건을 만족시키는 집합이다.

• ${\displaystyle T\subset \operatorname {cl} _{P}T\in P}$
• 임의의 ${\displaystyle T\subset U\in P}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {cl} _{P}T\subset U}$

폐포는 존재하지 않을 수 있으며, 존재한다면 유일하다. ${\displaystyle P}$가 어떤 관계(또는 관계 집합)에 대하여 닫혀있는지를 나타내는 성질일 경우, 폐포는 반드시 존재하며, ${\displaystyle T}$에 ${\displaystyle T}$의 원소와 관계 있는 원소들을 추가하고, 이렇게 얻은 집합의 원소들과 관계 있는 원소들을 추가하는 과정을 계속하여 얻는다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 부분 집합 ${\displaystyle Y\subset X}$가 다음 ${\displaystyle |X|+1}$항 관계 ${\displaystyle R}$에 대하여 닫혀있다면, ${\displaystyle X}$의 닫힌집합이라고 한다. 임의의 ${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{|X|}\in X}$에 대하여,

${\displaystyle (x_{0},x_{1},\dots ,x_{|X|})\in R\iff x_{|X|}\in \operatorname {acc\,pt} _{2}(\{x_{\alpha }\}_{\alpha <|X|})}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{2))$는 극한점의 집합의 기호이다. 즉 닫힌집합은 극한점을 취하는 행위에 대하여 닫혀있는 부분 집합이다. ${\displaystyle X}$의 부분 집합 ${\displaystyle Y\subset X}$에 대하여, 최소 닫힌집합 ${\displaystyle Y\subset \operatorname {cl} Y\subset X}$를 ${\displaystyle Y}$의 폐포라고 한다.

비슷하게, 점렬 닫힌집합과 점렬 폐포를 정의할 수 있다. 점렬 닫힌집합은 다음과 같은, 점렬 극한을 취하는 ${\displaystyle \omega +1}$항 관계 ${\displaystyle R}$에 대하여 닫혀있는 부분 집합이다. 임의의 ${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{\omega }\in X}$에 대하여,

${\displaystyle (x_{0},x_{1},\dots ,x_{\omega })\in R\iff x_{n}\to x_{\omega ))$

군 ${\displaystyle G}$의 부분 집합 ${\displaystyle H\subset G}$가 군의 연산 집합 ${\displaystyle \{1_{G},\cdot ,{}^{-1}\))$에 대하여 닫혀있다면, ${\displaystyle G}$의 부분군이라고 한다. ${\displaystyle S\subset G}$에 대하여, 최소 부분군 ${\displaystyle S\subset \langle S\rangle \subset G}$를 ${\displaystyle S}$로 생성되는 군이라고 한다.

대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$의 부분체 ${\displaystyle K/L}$이 ${\displaystyle K}$ 속에서 ${\displaystyle L}$ 위의 다항식의 근을 구하는 행위에 대하여 닫혀있다면, ${\displaystyle L}$ 역시 대수적으로 닫힌 체이다. 부분체 ${\displaystyle K/L}$의 대수적 폐포 ${\displaystyle {\bar {L))}$는 최소 대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K/{\bar {L))/L}$이다. ${\displaystyle L}$이 ${\displaystyle K}$의 부분체라는 제한을 없앨 경우, 대수적 폐포는 유일하지 않으며, 대신 동형 아래 유일하다.

집합 ${\displaystyle X}$가 (모든 집합의 모임 ${\displaystyle V}$ 위의) 원소 관계 ${\displaystyle \in }$에 대하여 닫혀있다면, 추이적 집합이라고 한다. 집합 ${\displaystyle X}$에 대하여, 최소 추이적 집합 ${\displaystyle X\subset \operatorname {cl_{trn)) X\subset V}$를 ${\displaystyle X}$의 추이적 폐포라고 한다.

집합 ${\displaystyle S}$ 위의 이항 관계 ${\displaystyle R\subset S\times S}$가 ${\displaystyle S\times S}$ 위의 일항 관계 ${\displaystyle \{(s,s)|s\in S\}\subset S\times S}$에 대하여 닫혀있다면, 즉, ${\displaystyle \{(s,s)|s\in S\}\subset R}$이라면, 반사 관계라고 한다. 이항 관계 ${\displaystyle R\subset S\times S}$에 대하여, 최소 반사 관계 ${\displaystyle R\subset \operatorname {cl_{ref)) R\subset S\times S}$를 ${\displaystyle R}$의 반사 폐포라고 한다. 비슷하게, 대칭 관계 · 대칭 폐포 · 추이적 관계 · 추이적 폐포 · 동치 관계 · 동치 폐포를 정의할 수 있다.

• 폐포 연산자