순서론 에서 폐포 연산자 (閉包演算子, 영어 : closure operator ) 또는 폐포 연산 (閉包演算, 영어 : closure operation )은 위상수학 의 폐포 와 유사한 성질들을 만족시키는 함수이다. 위상수학적 폐포와 달리 유한 합집합 을 보존할 필요가 없다. 완비 격자 를 판단하는 데 쓰일 수 있다. 보편 대수학 과 계산 복잡도 이론 등에서 응용된다.
부분 순서 집합
(
P
,
≤
)
{\displaystyle (P,\leq )}
위의 폐포 연산자 는 다음 세 조건을 만족시키는 함수
c
:
P
→
P
{\displaystyle c\colon P\to P}
이다. 임의의
x
,
y
∈
P
{\displaystyle x,y\in P}
에 대하여,
(확장성)
x
≤
c
(
x
)
{\displaystyle x\leq c(x)}
(증가성 )
x
≤
y
⟹
c
(
x
)
≤
c
(
y
)
{\displaystyle x\leq y\implies c(x)\leq c(y)}
(멱등성 )
c
(
c
(
x
)
)
=
c
(
x
)
{\displaystyle c(c(x))=c(x)}
범주론 적으로, 폐포 연산자는 (범주 로 본) 부분 순서 집합 위의 모나드 이다. 폐포 연산자
c
{\displaystyle c}
가 주어진 부분 순서 집합
(
P
,
≤
)
{\displaystyle (P,\leq )}
의 닫힌 원소 (영어 : closed element )는
x
=
c
(
x
)
{\displaystyle x=c(x)}
인 원소
x
∈
P
{\displaystyle x\in P}
이다. 이는
c
(
x
)
{\displaystyle c(x)}
꼴의 원소와 동치 이다. 닫힌 원소들의 집합은 (
P
{\displaystyle P}
의 순서를 물려받았을 때) 부분 순서 집합
c
[
P
]
{\displaystyle c[P]}
을 이룬다. 만약
P
{\displaystyle P}
가 어떤 집합
S
{\displaystyle S}
의 부분 집합 들을 모은 멱집합
Pow
(
S
)
{\displaystyle \operatorname {Pow} (S)}
이라면,
c
{\displaystyle c}
는 단순히
S
{\displaystyle S}
위의 폐포 연산자 라고 하고, 닫힌 원소는 닫힌집합 이라고 부른다.
대수적 격자
L
{\displaystyle L}
위의 폐포 연산자
c
:
L
→
L
{\displaystyle c\colon L\to L}
가 다음 조건을 만족시키면, 대수적 폐포 연산자 (代數的閉包演算子, 영어 : algebraic closure operator )라고 한다.
임의의
x
∈
L
{\displaystyle x\in L}
에 대하여,
c
(
x
)
=
⋁
y
≪
y
≤
x
c
(
y
)
{\displaystyle \textstyle c(x)=\bigvee _{y\ll y\leq x}c(y)}
여기서
y
≪
y
{\displaystyle y\ll y}
는
y
{\displaystyle y}
가
L
{\displaystyle L}
의 콤팩트 원소임을 나타낸다. 예를 들어,
L
=
Pow
(
S
)
{\displaystyle L=\operatorname {Pow} (S)}
가 멱집합 인 경우, 콤팩트 원소는
S
{\displaystyle S}
의 유한 부분 집합 이며, 대수적 폐포 연산자 조건은 임의의 집합의 폐포가 유한 부분 집합 들의 폐포의 합집합 임을 나타낸다.
폐포 연산자가 주어진 격자 의 닫힌 원소들의 부분 순서 집합 은 격자 를 이룬다. 폐포 연산자가 주어진 완비 격자 의 닫힌 원소들의 부분 순서 집합 은 완비 격자 를 이룬다. 대수적 폐포 연산자가 주어진 대수적 격자의 닫힌 원소들의 부분 순서 집합 은 대수적 격자를 이룬다. (닫힌 원소 격자의 콤팩트 원소는 정확히 원래 격자의 콤팩트 원소의 폐포이다.) 반대로, 모든 완비 격자 는 폐포 연산자가 주어진 멱집합 의 닫힌 원소 격자와 동형 이며, 모든 대수적 격자는 대수적 폐포 연산자가 주어진 멱집합 의 닫힌 원소 격자와 동형 이다.
격자
(
L
,
∨
,
∧
)
{\displaystyle (L,\vee ,\wedge )}
및 폐포 연산자
c
:
L
→
L
{\displaystyle c\colon L\to L}
에 대하여,
c
[
L
]
{\displaystyle c[L]}
이 다음과 같은 이음·만남 연산에 대하여 격자를 이룸을 쉽게 보일 수 있다.
x
∨
c
[
L
]
y
=
c
(
x
∨
y
)
{\displaystyle x\vee _{c[L]}y=c(x\vee y)}
x
∧
c
[
L
]
y
=
x
∧
y
{\displaystyle x\wedge _{c[L]}y=x\wedge y}
마찬가지로, 완비 격자
L
{\displaystyle L}
및 폐포 연산자
c
:
L
→
L
{\displaystyle c\colon L\to L}
에 대하여,
c
[
L
]
{\displaystyle c[L]}
은 다음 상한·하한에 대하여 완비 격자 를 이룬다.
⋁
c
[
L
]
S
=
c
(
⋁
S
)
{\displaystyle \bigvee \nolimits _{c[L]}S=c\left(\bigvee S\right)}
⋀
c
[
L
]
S
=
⋀
S
{\displaystyle \bigwedge \nolimits _{c[L]}S=\bigwedge S}
대수적 격자
L
{\displaystyle L}
및 대수적 폐포 연산자
c
:
L
→
L
{\displaystyle c\colon L\to L}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
c
[
L
]
{\displaystyle c[L]}
은 완비 격자 이다.
x
∈
L
{\displaystyle x\in L}
이
L
{\displaystyle L}
의 콤팩트 원소이며,
c
(
x
)
≤
⋁
c
[
L
]
S
{\displaystyle \textstyle c(x)\leq \bigvee \nolimits _{c[L]}S}
라고 하자. 대수적 격자의 정의 및
x
{\displaystyle x}
의 콤팩트성에 따라,
x
≤
c
(
y
1
)
∨
⋯
∨
c
(
y
m
)
{\displaystyle x\leq c(y_{1})\vee \cdots \vee c(y_{m})}
y
i
≪
y
i
≤
⋁
S
(
i
=
1
,
…
,
m
)
{\displaystyle y_{i}\ll y_{i}\leq \bigvee S\qquad (i=1,\dots ,m)}
라고 하자. 다시
y
i
{\displaystyle y_{i))
의 콤팩트성에 따라
y
i
≤
s
i
1
∨
⋯
∨
s
i
n
i
(
i
=
1
,
…
,
m
)
{\displaystyle y_{i}\leq s_{i1}\vee \cdots \vee s_{in_{i))\qquad (i=1,\dots ,m)}
인
s
i
j
∈
S
{\displaystyle s_{ij}\in S}
를 취할 수 있다. 이 경우
c
(
x
)
≤
c
(
s
11
∨
⋯
∨
s
m
n
m
)
=
s
11
∨
c
[
L
]
⋯
∨
c
[
L
]
s
m
n
m
{\displaystyle c(x)\leq c(s_{11}\vee \cdots \vee s_{mn_{m)))=s_{11}\vee _{c[L]}\cdots \vee _{c[L]}s_{mn_{m))}
이다. 이에 따라,
c
(
x
)
{\displaystyle c(x)}
는
c
[
L
]
{\displaystyle c[L]}
의 콤팩트 원소이다. 반대로,
y
∈
c
[
L
]
{\displaystyle y\in c[L]}
이
c
[
L
]
{\displaystyle c[L]}
의 콤팩트 원소라고 하자. 그렇다면,
y
=
c
(
y
)
=
⋁
x
≪
x
≤
y
c
(
x
)
{\displaystyle y=c(y)=\bigvee _{x\ll x\leq y}c(x)}
이므로,
y
≤
c
(
x
1
)
∨
⋯
∨
c
(
x
n
)
{\displaystyle y\leq c(x_{1})\vee \cdots \vee c(x_{n})}
x
i
≪
x
i
≤
y
{\displaystyle x_{i}\ll x_{i}\leq y}
이다. 따라서
y
=
c
(
x
1
∨
⋯
∨
x
n
)
{\displaystyle y=c(x_{1}\vee \cdots \vee x_{n})}
이며,
x
1
∨
⋯
∨
x
n
∈
L
{\displaystyle x_{1}\vee \cdots \vee x_{n}\in L}
은 (유한 개의 콤팩트 원소의 이음이므로) 콤팩트 원소이다. 이에 따라,
c
[
L
]
{\displaystyle c[L]}
의 콤팩트 원소는 정확히
L
{\displaystyle L}
의 콤팩트 원소
x
{\displaystyle x}
에 대하여
c
(
x
)
{\displaystyle c(x)}
꼴로 나타낼 수 있는 원소이다. 대수적 폐포 연산자의 정의에 따라,
c
[
L
]
{\displaystyle c[L]}
의 모든 원소는
c
[
L
]
{\displaystyle c[L]}
의 콤팩트 원소들의
L
{\displaystyle L}
에서의 이음이며, 특히 이는
c
[
L
]
{\displaystyle c[L]}
에서의 이음이다. 즉,
c
[
L
]
{\displaystyle c[L]}
은 대수적 격자이다.
이제, 임의의 완비 격자
L
{\displaystyle L}
가 주어졌다고 하자. 다음 함수를 정의하자.
c
:
Pow
(
L
)
→
Pow
(
L
)
{\displaystyle c\colon \operatorname {Pow} (L)\to \operatorname {Pow} (L)}
c
:
S
↦
↓
⋁
S
{\displaystyle c\colon S\mapsto \mathop {\downarrow } \bigvee S}
그렇다면,
c
{\displaystyle c}
는
L
{\displaystyle L}
(의 멱집합 ) 위의 폐포 연산자이며,
L
{\displaystyle L}
과
c
[
Pow
(
L
)
]
{\displaystyle c[\operatorname {Pow} (L)]}
사이에 자연스러운 동형
x
↦
↓
x
{\displaystyle x\mapsto \mathop {\downarrow } x}
이 존재한다.
마찬가지로, 임의의 대수적 격자
L
{\displaystyle L}
에 대하여,
c
:
Pow
(
k
(
L
)
)
→
Pow
(
k
(
L
)
)
{\displaystyle c\colon \operatorname {Pow} (k(L))\to \operatorname {Pow} (k(L))}
c
:
S
↦
{
x
∈
k
(
L
)
:
x
≤
⋁
S
}
{\displaystyle c\colon S\mapsto \left\{x\in k(L)\colon x\leq \bigvee S\right\))
은
L
{\displaystyle L}
의 콤팩트 원소의 집합
k
(
L
)
{\displaystyle k(L)}
위의 대수적 폐포 연산자이며,
x
↦
{
y
∈
k
(
L
)
:
y
≤
x
}
{\displaystyle x\mapsto \{y\in k(L)\colon y\leq x\))
는
L
{\displaystyle L}
과
c
[
Pow
(
k
(
L
)
)
]
{\displaystyle c[\operatorname {Pow} (k(L))]}
사이의 동형 이다.
닫힌 원소들이 대수적 격자를 이루는, 대수적 격자 위의 폐포 연산자는 대수적 폐포 연산자일 필요가 없다.
완비 격자 위의 폐포 연산자들의 (점별 순서에 의한) 부분 순서 집합 은 완비 격자 를 이룬다. 대수적 격자 위의 대수적 폐포 연산자들의 (점별 순서에 의한) 부분 순서 집합 은 대수적 격자를 이룬다.[ 1] :12, Theorem 4.8 이는 폐포 연산자 격자의 부분 격자이지만, 부분 완비 격자가 아닐 수 있다.[ 1] :7, Proposition 3–4
집합
S
{\displaystyle S}
의 부분 집합 들의 집합
C
⊆
Pow
(
S
)
{\displaystyle {\mathcal {C))\subseteq \operatorname {Pow} (S)}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.[ 2] :21, Exercise I.5.5
C
{\displaystyle {\mathcal {C))}
는 어떤 폐포 연산자
c
:
Pow
(
S
)
→
Pow
(
S
)
{\displaystyle c\colon \operatorname {Pow} (S)\to \operatorname {Pow} (S)}
에 대한 닫힌 원소들의 집합이다.
(임의 교집합에 대한 닫힘) 임의의
F
⊂
C
{\displaystyle {\mathcal {F))\subset {\mathcal {C))}
에 대하여,
⋂
F
∈
C
{\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {F))\in {\mathcal {C))}
집합
S
{\displaystyle S}
의 부분 집합 들의 집합
C
⊆
Pow
(
S
)
{\displaystyle {\mathcal {C))\subseteq \operatorname {Pow} (S)}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.[ 2] :21, Exercise I.5.6
C
{\displaystyle {\mathcal {C))}
는 어떤 대수적 폐포 연산자
c
:
Pow
(
S
)
→
Pow
(
S
)
{\displaystyle c\colon \operatorname {Pow} (S)\to \operatorname {Pow} (S)}
에 대한 닫힌 원소들의 집합이다.
다음 두 조건을 만족시킨다.
(임의 교집합에 대한 닫힘) 임의의
F
⊂
C
{\displaystyle {\mathcal {F))\subset {\mathcal {C))}
에 대하여,
⋂
F
∈
C
{\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {F))\in {\mathcal {C))}
(사슬의 합집합에 대한 닫힘) 임의의 사슬
F
⊂
C
{\displaystyle {\mathcal {F))\subset {\mathcal {C))}
에 대하여,
⋃
F
∈
C
{\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {F))\in {\mathcal {C))}
집합
S
{\displaystyle S}
위의 폐포 연산자
c
:
Pow
(
S
)
→
Pow
(
S
)
{\displaystyle c\colon \operatorname {Pow} (S)\to \operatorname {Pow} (S)}
및 음이 아닌 정수
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
이 주어졌다고 하자. 다음과 같은 함수
ϕ
c
,
n
:
Pow
(
S
)
→
Pow
(
S
)
{\displaystyle \phi _{c,n}\colon \operatorname {Pow} (S)\to \operatorname {Pow} (S)}
를 정의하자.
ϕ
c
,
n
(
X
)
=
⋃
Y
⊆
X
|
Y
|
<
n
c
(
Y
)
{\displaystyle \phi _{c,n}(X)=\bigcup _{Y\subseteq X}^{|Y|<n}c(Y)}
이를 사용하여, 일련의 함수
ϕ
c
,
n
α
{\displaystyle \phi _{c,n}^{\alpha ))
들을 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수 있다.
따름 순서수
α
=
β
+
1
{\displaystyle \alpha =\beta +1}
에 대하여,
ϕ
c
,
n
β
+
1
=
ϕ
c
,
n
ϕ
c
,
n
β
{\displaystyle \phi _{c,n}^{\beta +1}=\phi _{c,n}\phi _{c,n}^{\beta ))
극한 순서수
α
{\displaystyle \alpha }
에 대하여,
ϕ
c
,
n
α
(
X
)
=
X
∪
⋃
β
<
α
ϕ
c
,
n
β
(
X
)
{\displaystyle \phi _{c,n}^{\alpha }(X)=X\cup \bigcup _{\beta <\alpha }\phi _{c,n}^{\beta }(X)}
만약
c
=
ϕ
c
,
n
ω
{\displaystyle c=\phi _{c,n}^{\omega ))
라면,
c
{\displaystyle c}
가 계수
n
{\displaystyle n}
의 폐포 연산자 (영어 : closure operator of rank
n
{\displaystyle n}
)라고 한다. (사실, 임의의 폐포 연산자
c
{\displaystyle c}
에 대하여,
ϕ
c
,
n
ω
{\displaystyle \phi _{c,n}^{\omega ))
는 계수
n
{\displaystyle n}
의 폐포 연산자이며, 점별 순서를 부여하였을 때 이는
ϕ
c
,
n
ω
≤
c
{\displaystyle \phi _{c,n}^{\omega }\leq c}
를 만족하는 것들 가운데 최대이다.)
폐포 연산자
c
:
Pow
(
S
)
→
Pow
(
S
)
{\displaystyle c\colon \operatorname {Pow} (S)\to \operatorname {Pow} (S)}
가 주어진 집합
S
{\displaystyle S}
의 극소 생성 집합 (영어 : minimal generating set )은 다음 두 조건을 만족시키는 부분 집합
X
⊆
S
{\displaystyle X\subseteq S}
이다.
c
(
X
)
=
S
{\displaystyle c(X)=S}
임의의 진부분 집합
Y
⊊
X
{\displaystyle Y\subsetneq X}
에 대하여,
c
(
Y
)
⊊
S
{\displaystyle c(Y)\subsetneq S}
다음이 주어졌다고 하자.
집합
S
{\displaystyle S}
음이 아닌 정수
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
계수
n
{\displaystyle n}
의 폐포 연산자
c
:
Pow
(
S
)
→
Pow
(
S
)
{\displaystyle c\colon \operatorname {Pow} (S)\to \operatorname {Pow} (S)}
음이 아닌 정수
i
≤
j
{\displaystyle i\leq j}
. 또한,
크기
i
,
j
{\displaystyle i,j}
의 극소 생성 집합이 존재한다.
크기
i
<
|
X
|
<
j
{\displaystyle i<|X|<j}
의 극소 생성 집합
X
{\displaystyle X}
이 존재하지 않는다. 타르스키 여분이 없는 기저 정리 (영어 : Tarski irredundant basis theorem )에 따르면,
j
≤
i
+
n
−
2
{\displaystyle j\leq i+n-2}
이다. 특히, 계수 3의 폐포 연산자의 경우, 극소 생성 집합들의 크기는 연속된 정수들로 이루어진다.
크기
|
X
|
=
j
{\displaystyle |X|=j}
의 극소 생성 집합
X
{\displaystyle X}
를 취하자. 임의의 유한 극소 생성 집합
Y
{\displaystyle Y}
에 대하여,
m
(
Y
)
{\displaystyle m(Y)}
가
Y
⊆
ϕ
c
,
n
m
(
Y
)
(
X
)
{\displaystyle Y\subseteq \phi _{c,n}^{m(Y)}(X)}
인 최소의 음이 아닌 정수라고 하자. 그렇다면,
X
{\displaystyle X}
의 극소성에 따라
Y
=
X
{\displaystyle Y=X}
이거나
m
(
Y
)
>
0
{\displaystyle m(Y)>0}
이다. 이제, 다음 조건들을 만족시키는
Y
⊆
S
{\displaystyle Y\subseteq S}
를 고르자.
Y
{\displaystyle Y}
는 극소 생성 집합이다.
|
Y
|
≤
i
{\displaystyle |Y|\leq i}
크기
i
{\displaystyle i}
이하의 극소 생성 집합 가운데,
m
(
Y
)
{\displaystyle m(Y)}
가 최소이다.
m
(
−
)
{\displaystyle m(-)}
값이 최소인, 크기
i
{\displaystyle i}
이하의 극소 생성 집합 가운데,
|
Y
∖
ϕ
c
,
n
m
(
Y
)
−
1
(
X
)
|
{\displaystyle |Y\setminus \phi _{c,n}^{m(Y)-1}(X)|}
가 최소이다.
또한,
y
0
∈
Y
∖
ϕ
c
,
n
m
(
Y
)
−
1
(
X
)
{\displaystyle y_{0}\in Y\setminus \phi _{c,n}^{m(Y)-1}(X)}
라고 하자.
y
0
∈
ϕ
c
,
n
m
(
Y
)
(
X
)
{\displaystyle y_{0}\in \phi _{c,n}^{m(Y)}(X)}
이므로,
y
0
∈
ϕ
c
,
n
(
Z
)
{\displaystyle y_{0}\in \phi _{c,n}(Z)}
,
|
Z
|
≤
n
−
1
{\displaystyle |Z|\leq n-1}
인
Z
⊆
ϕ
c
,
n
m
(
Y
)
−
1
(
X
)
{\displaystyle Z\subseteq \phi _{c,n}^{m(Y)-1}(X)}
가 존재한다. 따라서
c
(
Y
∖
{
y
0
}
∪
Z
)
=
c
(
c
(
Y
∖
{
y
0
}
∪
Z
)
)
⊇
c
(
c
(
Y
∖
{
y
0
}
)
∪
ϕ
c
,
n
(
Z
)
)
⊇
c
(
Y
)
=
S
{\displaystyle c(Y\setminus \{y_{0}\}\cup Z)=c(c(Y\setminus \{y_{0}\}\cup Z))\supseteq c(c(Y\setminus \{y_{0}\})\cup \phi _{c,n}(Z))\supseteq c(Y)=S}
이다.
Y
∖
{
y
0
}
∪
Z
{\displaystyle Y\setminus \{y_{0}\}\cup Z}
가 유한 집합 이므로, 극소 생성 집합
W
⊆
Y
∖
{
y
0
}
∪
Z
{\displaystyle W\subseteq Y\setminus \{y_{0}\}\cup Z}
을 취할 수 있다.
W
⊆
Y
∪
Z
⊆
ϕ
c
,
n
m
(
Y
)
(
X
)
∪
ϕ
c
,
n
m
(
Y
)
−
1
(
X
)
=
ϕ
c
,
n
m
(
Y
)
(
X
)
{\displaystyle W\subseteq Y\cup Z\subseteq \phi _{c,n}^{m(Y)}(X)\cup \phi _{c,n}^{m(Y)-1}(X)=\phi _{c,n}^{m(Y)}(X)}
이므로
m
(
W
)
=
m
(
Y
)
{\displaystyle m(W)=m(Y)}
이다. 또한,
y
0
∈
Y
∖
ϕ
c
,
n
m
(
Y
)
−
1
(
X
)
{\displaystyle y_{0}\in Y\setminus \phi _{c,n}^{m(Y)-1}(X)}
이므로,
|
W
∖
ϕ
c
,
n
m
(
Y
)
−
1
(
X
)
|
≤
|
(
Y
∖
{
y
0
}
∪
Z
)
∖
ϕ
c
,
n
m
(
Y
)
−
1
(
X
)
|
=
|
(
Y
∖
{
y
0
}
)
∖
ϕ
c
,
n
m
(
Y
)
−
1
(
X
)
|
<
|
Y
∖
ϕ
c
,
n
m
(
Y
)
−
1
(
X
)
|
{\displaystyle |W\setminus \phi _{c,n}^{m(Y)-1}(X)|\leq |(Y\setminus \{y_{0}\}\cup Z)\setminus \phi _{c,n}^{m(Y)-1}(X)|=|(Y\setminus \{y_{0}\})\setminus \phi _{c,n}^{m(Y)-1}(X)|<|Y\setminus \phi _{c,n}^{m(Y)-1}(X)|}
이다.
Y
{\displaystyle Y}
의 선택에 따라
|
W
|
>
i
{\displaystyle |W|>i}
이며, 다시
i
{\displaystyle i}
와
j
{\displaystyle j}
에 대한 가정에 따라
j
≤
|
W
|
≤
|
Y
∖
{
y
0
}
∪
Z
|
≤
|
Y
|
+
|
Z
|
−
1
≤
i
+
n
−
2
{\displaystyle j\leq |W|\leq |Y\setminus \{y_{0}\}\cup Z|\leq |Y|+|Z|-1\leq i+n-2}
이다.
(범주 로 본) 두 부분 순서 집합
(
P
,
≤
P
)
{\displaystyle (P,\leq _{P})}
,
(
Q
,
≤
Q
)
{\displaystyle (Q,\leq _{Q})}
사이의 수반 함자 의 쌍
f
:
P
⇆
Q
:
g
{\displaystyle f\colon P\leftrightarrows Q\colon g}
이 주어졌다고 하자. (순서론 에서 이는 갈루아 연결 이라고 한다.) 그렇다면,
g
f
:
P
→
P
{\displaystyle gf\colon P\to P}
f
g
:
Q
→
Q
{\displaystyle fg\colon Q\to Q}
는 각각
P
{\displaystyle P}
와
Q
{\displaystyle Q}
위의 폐포 연산자를 이룬다.
폐포 연산자의 예로는 다음이 있다.
부분 순서 집합
P
{\displaystyle P}
P
{\displaystyle P}
의 콤팩트 원소
P
{\displaystyle P}
의 대수적 격자 여부
닫힌 원소들의 집합
c
[
P
]
{\displaystyle c[P]}
c
[
P
]
{\displaystyle c[P]}
의 콤팩트 원소
c
[
P
]
{\displaystyle c[P]}
의 대수적 격자 여부
폐포 연산자
c
:
P
→
P
{\displaystyle c\colon P\to P}
대수적 폐포 연산자 여부
위상 공간
X
{\displaystyle X}
의 멱집합
Pow
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Pow} (X)}
X
{\displaystyle X}
의 유한 부분 집합
참
위상수학적 닫힌집합 의 격자
유한 집합 의 폐포
거짓일 수 있음
위상수학적 폐포
거짓일 수 있음
가환환
R
{\displaystyle R}
의 아이디얼 격자
유한 생성 아이디얼
반소 아이디얼 격자
주 아이디얼 의 소근기
참[ 3] :30
소근기 [ 4] :3, Example 2.1.2(iii)
참
부호수
F
{\displaystyle F}
의 대수 구조
(
A
,
F
A
)
{\displaystyle (A,F_{A})}
의 멱집합
Pow
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Pow} (A)}
A
{\displaystyle A}
의 유한 부분 집합
부분 대수 격자
Sub
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Sub} (A)}
유한 생성 부분 대수
참
S
↦
⋃
n
=
0
∞
e
n
(
S
)
{\displaystyle S\mapsto \bigcup _{n=0}^{\infty }e^{n}(S)}
참
부호수
F
{\displaystyle F}
의 대수 구조
(
A
,
F
A
)
{\displaystyle (A,F_{A})}
위의 이항 관계 의 집합
Pow
(
A
×
A
)
{\displaystyle \operatorname {Pow} (A\times A)}
유한 이항 관계
합동 관계 격자
Cong
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Cong} (A)}
유한 생성 합동 관계
참
S
↦
⋃
n
=
0
∞
f
n
(
S
)
{\displaystyle S\mapsto \bigcup _{n=0}^{\infty }f^{n}(S)}
참
여기서,
부호수
F
{\displaystyle F}
의 대수 구조
(
A
,
F
A
)
{\displaystyle (A,F_{A})}
의 부분 집합
S
⊆
A
{\displaystyle S\subseteq A}
에 대하여,
e
(
S
)
=
S
∪
⋃
f
∈
F
f
A
[
S
×
⋯
×
S
⏟
n
f
]
{\displaystyle e(S)=S\cup \bigcup _{f\in F}f_{A}[\underbrace {S\times \cdots \times S} _{n_{f))]}
부호수
F
{\displaystyle F}
의 대수 구조
(
A
,
F
A
)
{\displaystyle (A,F_{A})}
위의 이항 관계
S
⊆
A
×
A
{\displaystyle S\subseteq A\times A}
에 대하여,
f
(
S
)
=
S
∪
{
(
a
,
a
)
:
a
∈
A
}
∪
{
(
b
,
a
)
:
(
a
,
b
)
∈
S
}
∪
{
(
a
,
c
)
:
(
a
,
b
)
,
(
b
,
c
)
∈
S
}
∪
⋃
f
∈
F
{
(
f
A
(
a
1
,
…
,
a
n
f
)
,
f
A
(
b
1
,
…
,
b
n
f
)
)
:
(
a
1
,
b
1
)
,
…
,
(
a
n
f
,
b
n
f
)
∈
S
}
{\displaystyle {\begin{aligned}f(S)={}&S\cup \{(a,a)\colon a\in A\}\cup \{(b,a)\colon (a,b)\in S\}\cup \{(a,c)\colon (a,b),(b,c)\in S\}\\&{}\cup \bigcup _{f\in F}\{(f_{A}(a_{1},\dots ,a_{n_{f))),f_{A}(b_{1},\dots ,b_{n_{f))))\colon (a_{1},b_{1}),\dots ,(a_{n_{f)),b_{n_{f)))\in S\}\end{aligned))}
임의의 군 의 부분군 을 생성하는 함수는 계수 3의 폐포 연산자이다. 타르스키 여분이 없는 기저 정리에 따라, 임의의 군 의 극소 생성 집합의 크기의 집합은 연속된 정수들로 구성된다. 보다 일반적으로,
n
−
1
{\displaystyle n-1}
항 이하의 연산들로 구성된 대수 구조 의 부분 대수 생성 함수는 계수
n
{\displaystyle n}
의 폐포 연산자이다.
폐포 연산자에 관한 연구는 E. H. 무어의 1910년 저서 《Introduction to a form of general analysis》에 처음으로 등장한다.