고유값 분해(eigen decomposition)는 고유값과 고유벡터로부터 유도되는 고유값 행렬과 고유벡터 행렬에 의해 분해될수있는 행렬의 표현이다.

선형대수학에서 , 고유값 분해 또는 고유 분해(때때로 스펙트럼 분해)는 매트릭스(행렬)를 정형화된 형태로 분해함으로써 행렬이 고유값 및 고유 벡터로 표현된다. 대각화 가능 행렬만이 인수분해될 수 있다.

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-5&4\\0&1\end{pmatrix))}$ , I는 단위행렬, det는 행렬식

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(xI-A)&={\begin{pmatrix}x-(-5)&-4\\-0&x-(1)\end{pmatrix))\\&=x^{2}-(-5+1)x+(-5-0)\\&=x^{2}+4x-5\end{aligned))}$

${\displaystyle x^{2}+4x-5=0}$

${\displaystyle x=1\;,\;-5}$

이어서

${\displaystyle x=-5}$일때,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}(-5)-(-5)&-4\\-0&(-5)-(1)\end{pmatrix))}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-4\\0&-6\end{pmatrix)){\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix))}$

${\displaystyle -4x_{2}=0}$

${\displaystyle -6x_{2}=0}$

${\displaystyle x_{2}=0}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}x_{1}\\0\end{pmatrix))=x_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix))}$

${\displaystyle x=1}$일때,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}(1)-(-5)&-4\\-0&(1)-(1)\end{pmatrix))}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}6&-4\\0&0\end{pmatrix)){\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix))}$

${\displaystyle 6x_{1}+-4x_{2}=0}$

${\displaystyle 6x_{1}=4x_{2))$

${\displaystyle x_{1}=((4x_{2)) \over {6))}$

${\displaystyle x_{1}=((2} \over {3))x_{2))$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}((2} \over {3))x_{2}\\x_{2}\end{pmatrix))=x_{2}{\begin{pmatrix}((2} \over {3))\\1\end{pmatrix))}$

고유 벡터의 순서에서 고유벡터행렬 ${\displaystyle P}$를 얻고 ,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&((2} \over {3))\\0&1\\\end{pmatrix))}$

이어서

${\displaystyle P^{-1}AP=A^{D))$

로부터 대각화 행렬 ${\displaystyle A^{D))$ 을 얻는다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-((2} \over {3))\\0&1\\\end{pmatrix)){\begin{pmatrix}-5&4\\0&1\end{pmatrix)){\begin{pmatrix}1&((2} \over {3))\\0&1\\\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}-5&0\\0&1\end{pmatrix))}$

${\displaystyle P^{-1}AP=A^{D))$

${\displaystyle PP^{-1}AP=PA^{D))$

${\displaystyle AP={P}{A^{D))}$

${\displaystyle AP{P^{-1))={P}{A^{D)){P^{-1))}$

${\displaystyle A={P}{A^{D)){P^{-1))}$

행렬 A에 대한 고윳값 분해는 이와 같다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-5&4\\0&1\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}1&((2} \over {3))\\0&1\\\end{pmatrix)){\begin{pmatrix}-5&0\\0&1\end{pmatrix)){\begin{pmatrix}1&-((2} \over {3))\\0&1\\\end{pmatrix))}$

• 임의의 행렬 A 와 ${\displaystyle {\Lambda ))$가 대각행렬일때,

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1))$

Q는 직교행렬

□ ^-1는 역행렬

${\displaystyle {\Lambda ))$는 A^D

• 임의의 행렬 A 가 대칭행렬일때,

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{T))$

Q는 직교행렬

□ ^T는 전치행렬

${\displaystyle {\Lambda ))$는 A^D

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• 대각화 행렬
• 특이값 분해

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