일반위상수학에서 집적점(集積點, 영어: accumulation point)은 그 임의의 근방이 주어진 집합과 주어진 기수 개 이상의 점들을 공유하는 점이다.

기수 ${\displaystyle \kappa \in \operatorname {Card} }$가 주어졌다고 하자. 위상 공간 ${\displaystyle X}$ 및 부분 집합 ${\displaystyle Y\subseteq X}$ 및 점 ${\displaystyle x\in X}$가 다음 조건을 만족시킨다면, ${\displaystyle x}$가 ${\displaystyle Y}$의 ${\displaystyle \kappa }$-집적점(集積點, 영어: ${\displaystyle \kappa }$-accumulation point)이라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle x}$의 근방 ${\displaystyle X\supseteq U\ni x}$에 대하여, ${\displaystyle |U\cap Y|\geq \kappa }$이다.

특히, 임의의 점 ${\displaystyle x\in X}$ 및 부분 집합 ${\displaystyle Y\subseteq X}$에 대하여, 다음과 같은 기수를 정의할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {acc} (x,Y)=\min _{U\in {\mathcal {N))_{x))|Y\cap U|}$

여기서 ${\displaystyle {\mathcal {N))_{x))$는 ${\displaystyle x}$의 근방 필터이다. 즉, ${\displaystyle x}$는 항상 ${\displaystyle Y}$의 ${\displaystyle \operatorname {acc} (x,Y)}$-집적점이다.

${\displaystyle Y}$의 ${\displaystyle \kappa }$-집적점들의 집합을

${\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(Y)=\{x\in X\colon \operatorname {acc} (x,Y)\geq \kappa \))$

로 표기하자.

특별한 값의 ${\displaystyle \kappa }$에 대하여, 다음과 같은 특별한 용어들이 존재한다.

• ${\displaystyle Y\subseteq X}$의 ${\displaystyle |Y|}$-집적점을 완비 집적점(完備集積點, 영어: complete accumulation point)이라고 한다.
• ${\displaystyle \aleph _{1))$-집적점을 응집점(凝集點, 영어: condensation point)이라고 한다. (여기서 ${\displaystyle \aleph _{1))$은 최소의 비가산 기수이다.)
• 점 ${\displaystyle x\in X}$ 및 부분 집합 ${\displaystyle Y\subseteq X}$이 주어졌을 때, 만약 임의의 근방 ${\displaystyle X\supseteq U\ni x}$에 대하여, ${\displaystyle U\cap Y\setminus \{x\}\neq \varnothing }$이라면, ${\displaystyle x}$를 ${\displaystyle Y}$의 극한점(極限點, 영어: limit point)이라고 한다. 극한점들의 집합을 유도 집합(誘導集合, 영어: derived set)이라고 하며, 흔히 ${\displaystyle Y'}$으로 표기한다. 일반적으로, 극한점의 개념은 2-집적점과 1-집적점 사이에 있다.
  • ${\displaystyle X\subseteq X}$의 극한점이 아닌 점 ${\displaystyle x\in X\setminus X'}$은 고립점(孤立點, 문화어: 외딴점, 영어: isolated point)이라고 한다. 즉, ${\displaystyle X}$의 고립점은 ${\displaystyle \{x\))$가 열린집합인 점 ${\displaystyle x\in X}$이다.
• 1-집적점을 폐포점(閉包點, 영어: closure point) 또는 밀착점(密着點, 영어: adherent point)이라고 한다. ${\displaystyle Y\subseteq X}$의 폐포점은 ${\displaystyle Y}$의 원소이거나 아니면 ${\displaystyle Y}$의 극한점이다. 폐포점들의 집합은 폐포 ${\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{1}(Y)=\operatorname {cl} Y}$라고 한다.
• 임의의 ${\displaystyle x\in X}$는 ${\displaystyle Y\subseteq X}$의 0-집적점이다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 부분 집합 ${\displaystyle Y\subseteq X}$과 점 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle x}$는 ${\displaystyle Y}$의 폐포점이다.
• ${\displaystyle x\in Y}$이거나, 또는 ${\displaystyle x}$는 ${\displaystyle Y}$의 극한점이다.

다시 말해, ${\displaystyle Y}$의 폐포는 ${\displaystyle Y}$와 그 극한점들의 집합의 합집합이다.

${\displaystyle X=\operatorname {acc\,pt} _{0}(Y)}$

${\displaystyle \operatorname {cl} Y=Y\cup Y'}$

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 부분 집합 ${\displaystyle Y\subseteq X}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle Y}$는 닫힌집합이다.
• ${\displaystyle Y'\subseteq Y}$
• ${\displaystyle \operatorname {cl} Y=Y}$

만약 ${\displaystyle X}$가 T₁ 공간이라면 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle x}$는 ${\displaystyle Y}$의 극한점이다.
• ${\displaystyle x}$는 ${\displaystyle Y}$의 ${\displaystyle \aleph _{0))$-집적점이다.

따라서, T₁ 공간의 경우 ${\displaystyle 2\leq \kappa \leq \aleph _{0))$에 대하여 ${\displaystyle \kappa }$-집적점을 구별하지 않아도 되며, 이는 극한점과도 같은 개념이다.

T₁ 공간의 임의의 부분 집합의 유도 집합은 닫힌집합이다.

다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle X}$는 이산 공간이다.
• ${\displaystyle X}$의 모든 부분 집합은 극한점을 갖지 않는다.

편의상 극한점을 1.5-집적점으로 일컫자. 그렇다면 다음이 성립한다.

• 임의의 ${\displaystyle \kappa \geq 1}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(\varnothing )=\varnothing }$
• 임의의 집합 ${\displaystyle Y,Z\subseteq X}$ 및 기수 ${\displaystyle \kappa \leq 1.5}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(Y\cup Z)=\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(Y)\cup \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(Z)}$
• 임의의 집합 ${\displaystyle Z\subseteq Y\subseteq X}$ 및 기수 ${\displaystyle \kappa \geq \lambda }$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(Z)\subseteq \operatorname {acc\,pt} _{\lambda }(Y)}$

임의의 부분 집합의 유도 집합이 닫힌집합인 위상 공간을 T_D 공간이라고 한다. 모든 T₁ 공간은 T_D 공간이며, 모든 T_D 공간은 콜모고로프 공간이다.

실수선의 부분 집합

${\displaystyle S=\{1/n\colon n\in \mathbb {Z} ^{+}\}\subsetneq \mathbb {R} }$

을 생각하면, 그 집적점 집합들은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(S)={\begin{cases}\mathbb {R} &\kappa =0\\S\cup \{0\}&\kappa =1\\\{0\}&2\leq \kappa \leq \aleph _{0}\\\varnothing &\kappa \geq \aleph _{1}\end{cases))}$

실수선 속의, 무리수의 부분 집합 ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {R} }$을 생각하자.

${\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )={\begin{cases}\mathbb {R} &0\leq \kappa \leq 2^{\aleph _{0))\\\varnothing &\kappa >2^{\aleph _{0))\end{cases))}$

실수선 속의, 유리수의 부분 집합 ${\displaystyle \mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {R} }$을 생각하자.

${\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(\mathbb {Q} )={\begin{cases}\mathbb {R} &0\leq \kappa \leq \aleph _{0}\\\varnothing &\kappa \geq \aleph _{1}\end{cases))}$

실수선을 스스로의 부분 집합 ${\displaystyle \mathbb {R} \subseteq \mathbb {R} }$으로 여기자.

${\displaystyle \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(\mathbb {R} )={\begin{cases}\mathbb {R} &0\leq \kappa \leq 2^{\aleph _{0))\\\varnothing &\kappa >2^{\aleph _{0))\end{cases))}$

즉, 실수선은 자기 조밀 공간이며 고립점을 갖지 않는다.

실수선 ${\displaystyle \mathbb {R} }$의 부분 공간 ${\displaystyle \{0\}\cup [1,2]}$의 고립점은 0밖에 없다.

실수선의 부분 공간 ${\displaystyle \{0\}\cup \{1/n\colon n\in \mathbb {Z} ^{+}\))$에서는 0이 아닌 다른 모든 점들이 고립점이다. 0은 고립점이 아니다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle X}$는 이산 공간이다.
• ${\displaystyle X}$의 모든 점은 고립점이다.

유도 집합(독일어: abgeleitete Punktmenge)이라는 용어는 게오르크 칸토어가 1872년에 도입하였다.^{[1]:129, §2}

• “Limit point of a set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Accumulation point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Proximate point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Condensation point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Condensation point of a set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Complete accumulation point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Derived set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Isolated point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Limit point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Isolated point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Derived set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Perfect set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Limit point”. 《nLab》 (영어). 
• “Definition: limit point”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: adherent point”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: omega-accumulation point”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: condensation point”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Relationship between limit point types”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: derived set”. 《ProofWiki》 (영어).