모든 가산 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 가짐 ⇒ 모든 무한 집합이 ${\displaystyle \aleph _{0))$-집적점을 가짐: 무한 집합 ${\displaystyle A\subseteq X}$가 ${\displaystyle \aleph _{0))$-집적점을 갖지 않는다고 하자. 그렇다면, 편의상 ${\displaystyle A}$는 가산 무한 집합으로 잡을 수 있다. 임의의 유한 부분 집합 ${\displaystyle F\subseteq A}$에 대하여,

${\displaystyle U_{F}=\operatorname {int} (F\cup (X\setminus A))}$

라고 하자. 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle x}$가 ${\displaystyle A}$의 ${\displaystyle \aleph _{0))$-집적점이 아니므로, ${\displaystyle V_{x}\cap A}$가 유한 집합인 열린 근방 ${\displaystyle V_{x}\ni x}$가 존재한다.

${\displaystyle V_{x}=\operatorname {int} V_{x}=\operatorname {int} ((V_{x}\cap A)\cup (V_{x}\setminus A))\subseteq \operatorname {int} ((V_{x}\cap A)\cup (X\setminus A))=U_{V_{x}\cap A))$

이므로, ${\displaystyle \{U_{F}\}_{F\subseteq A}^{|F|<\aleph _{0))}$는 ${\displaystyle X}$의 열린 덮개를 이룬다. 가산 무한 집합의 유한 부분 집합의 수는 가산하므로, 이는 ${\displaystyle X}$의 가산 덮개이다. 임의의 유한 부분 집합 ${\displaystyle F\subseteq A}$에 대하여,

${\displaystyle U_{F}\cap A\subseteq (F\cup (X\setminus A))\cap A\subseteq F}$

이므로, ${\displaystyle U_{F}\cap A}$는 유한 집합이다. 따라서, ${\displaystyle \{U_{F}\}_{F\subseteq A}^{|F|<\aleph _{0))}$의 유한 부분 덮개는 존재하지 않으며, ${\displaystyle X}$는 가산 콤팩트 공간이 아니다.

모든 무한 집합이 ${\displaystyle \aleph _{0))$-집적점을 가짐 ⇒ 모든 점렬이 수렴 부분 그물을 가짐: ${\displaystyle X}$의 모든 무한 집합이 ${\displaystyle \aleph _{0))$-집적점을 가지며, ${\displaystyle (x_{n})_{n=0}^{\infty ))$이 ${\displaystyle X}$ 속의 점렬이라고 하자. 만약 ${\displaystyle \{x_{0},x_{1},\dots \))$이 유한 집합이라면, ${\displaystyle x_{n_{0))=x_{n_{1))=\cdots }$인 ${\displaystyle n_{0}<n_{1}<\cdots }$가 존재하다. 그렇다면, ${\displaystyle (x_{n_{k)))_{n=0}^{\infty ))$는 ${\displaystyle (x_{n})_{n=0}^{\infty ))$의 상수 부분 점렬이며, 특히 수렴 부분 그물이다. 만약 ${\displaystyle \{x_{0},x_{1},\dots \))$이 무한 집합이라면, 그 ${\displaystyle \aleph _{0))$-집적점 ${\displaystyle x}$가 존재하며, 임의의 근방 ${\displaystyle U\ni x}$에 대하여, ${\displaystyle \{n\colon x_{n}\in U\))$는 ${\displaystyle \mathbb {N} }$의 공종 집합이다. 즉, ${\displaystyle x}$는 어떤 부분 그물의 극한이다.

모든 점렬이 수렴 부분 그물을 가짐 ⇒ 모든 가산 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 가짐: ${\displaystyle X}$의 가산 열린 덮개 ${\displaystyle \{U_{0},U_{1},\dots \))$가 유한 부분 덮개를 갖지 않는다고 하자. 그렇다면, 임의의 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여,

${\displaystyle x_{n}\in X\setminus (U_{0}\cup \cdots \cup U_{n})}$

를 고를 수 있다. 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle x\in U_{i))$인 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$이 존재한다. 그런데, 임의의 ${\displaystyle n\geq i}$에 대하여 ${\displaystyle x_{n}\not \in U_{i))$이므로, ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\in U_{i}\))$은 공종 집합이 아니며, ${\displaystyle x}$는 ${\displaystyle (x_{n})_{n=0}^{\infty ))$의 부분 그물의 극한이 아니다. 즉, ${\displaystyle (x_{n})_{n=0}^{\infty ))$의 수렴 부분 그물은 존재하지 않는다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$가 극한점을 갖지 않는 무한 부분 집합을 갖는다고 하자. 그렇다면, 무한 부분 집합의 가산 무한 부분 집합을 잡을 수 있으므로, 극한점을 갖지 않는 가산 무한 부분 집합

${\displaystyle \{a_{0},a_{1},\dots \}\subseteq X}$

가 존재한다. 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle x}$는 ${\displaystyle \{a_{0},a_{1},\dots \))$의 극한점이 아니므로,

${\displaystyle U_{x}\setminus \{x\}\cap \{a_{0},a_{1},\dots \}=\varnothing }$

인 근방 ${\displaystyle U_{x}\ni x}$가 존재한다. 특히, ${\displaystyle x=a_{i))$인 경우 ${\displaystyle \{a_{i}\))$는 열린집합이며, ${\displaystyle x\in X\{a_{0},a_{1},\dots \))$인 경우 ${\displaystyle \{a_{0},a_{1},\dots \))$는 닫힌집합이다. 따라서,

${\displaystyle \{X\setminus \{a_{0},a_{1},\dots \}\}\cup \{\{a_{0}\},\{a_{1}\},\dots \))$

은 ${\displaystyle X}$의 가산 열린 덮개이며, 유한 부분 덮개를 갖지 않는다. 즉, ${\displaystyle X}$는 가산 콤팩트 공간이 아니다.