유사 콤팩트 공간
일반위상수학에서 유사 콤팩트 공간(類似compact空間, 영어: pseudocompact space)은 콤팩트 공간의 개념의 여러 변형 중 하나이다.
정의
[편집]유사 콤팩트 공간
[편집]위상 공간 에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 유사 콤팩트 공간이라고 한다.
- 임의의 연속 함수 의 상은 유계 집합이다.
- 임의의 연속 함수 의 상은 콤팩트 집합이다.[1]:438, Theorem 2.3.(v)
- 임의의 연속 함수의 열 에 대하여, 만약 이 국소 균등 수렴한다면, 균등 수렴한다.[2]:320, Theorem 1[3]:501, Theorem 2.(iii)
- 디니 정리가 성립한다. 즉, 임의의 유계 연속 함수의 열 및 유계 연속 함수 에 대하여, 만약 임의의 에서 이며, 이 로 점별 수렴한다면, 은 로 균등 수렴한다.[2]:321, Theorem 3[4]:177, d-7, (m)
즉, 유사 콤팩트 공간은 모든 실수 값 연속 함수가 유계 함수가 되는 위상 공간이다.
희박 콤팩트 공간
[편집]위상 공간 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 희박 콤팩트 공간이라고 한다.
- 임의의 열린집합들의 집합족 에 대하여, 만약 가 국소 유한 집합족이라면, 는 유한 집합이다.
- 임의의 열린집합들의 집합족 에 대하여, 만약 가 국소 유한 집합족이자 서로소 집합족이라면, 는 유한 집합이다.[3]:500–501, Theorem 1.(ii)
- 임의의 가산 열린 덮개 에 대하여, 합집합이 조밀 집합인 유한 부분 집합 가 존재한다.[3]:500–501, Theorem 1.(iv)
즉, 희박 콤팩트 공간은 열린집합들의 국소 유한 집합족이 유한 집합족밖에 없는 위상 공간이다.
성질
[편집]연산에 대한 닫힘
[편집]희박 콤팩트 공간의 정칙 닫힌집합은 희박 콤팩트 공간이다. 반대로, 모든 정칙 닫힌 진부분 집합이 희박 콤팩트 공간인 위상 공간은 희박 콤팩트 공간이다.[3]:506, Theorem 14
유사 콤팩트 공간과 희박 콤팩트 공간의 곱공간에 대하여, 다음이 성립한다.
- 희박 콤팩트 공간의 곱공간들의 집합 에 대하여, 만약 국소 콤팩트 공간이 아닌 것이 하나 이하라면, 곱공간 은 희박 콤팩트 공간이다.[5]:141, Theorem 4.6 특히, 콤팩트 공간과 희박 콤팩트 공간의 곱공간은 희박 콤팩트 공간이다.[5]:141, Lemma 4.5
- 점렬 콤팩트 공간과 희박 콤팩트 공간의 곱공간은 희박 콤팩트 공간이다.[5]:143, Theorem 5.2
- 두 희박 콤팩트 공간 , 에 대하여, 만약 적어도 하나가 제1 가산 공간이라면, 는 희박 콤팩트 공간이다.[3]:504, Theorem 6
- 두 유사 콤팩트 티호노프 공간 , 에 대하여, 만약 적어도 하나가 콤팩트 생성 공간이라면, 는 유사 콤팩트 티호노프 공간이다.[6]:208, Theorem 3.10.26
유사 콤팩트 공간과 희박 콤팩트 공간의 상·원상에 대하여, 다음이 성립한다.
- 연속 함수 에 대하여, 만약 가 유사 콤팩트 공간이라면, 역시 유사 콤팩트 공간이다.
- 연속 함수 에 대하여, 만약 가 희박 콤팩트 공간이라면, 역시 희박 콤팩트 공간이다.
- 열린 완전 사상 에 대하여, 만약 가 유사 콤팩트 공간이라면, 역시 유사 콤팩트 공간이다.
함의 관계
[편집]다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
콤팩트 공간 ↗ ↘ 뇌터 공간 가산 콤팩트 공간 → 희박 콤팩트 공간 → 유사 콤팩트 공간 ↘ ↗ ↘ 점렬 콤팩트 공간 극한점 콤팩트 공간
증명 (가산 콤팩트 공간 ⇒ 희박 콤팩트 공간):
증명 (희박 콤팩트 공간 ⇒ 유사 콤팩트 공간):
완비 정칙 공간에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[3]:502, Theorem 3[6]:207, Theorem 3.10.22
- 희박 콤팩트 공간이다.
- 유사 콤팩트 공간이다.
증명:
유사 콤팩트 정규 공간은 극한점 콤팩트 공간이다. 따라서, (T1에 대하여 가산 콤팩트 공간과 극한점 콤팩트 공간의 개념이 동치이므로,) 정규 하우스도르프 공간에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이다.[3]:502, Theorem 4
- 가산 콤팩트 공간이다.
- 극한점 콤팩트 공간이다.
- 희박 콤팩트 공간이다.
- 유사 콤팩트 공간이다.
증명:
거리화 가능 공간의 경우, 콤팩트 공간·점렬 콤팩트 공간·가산 콤팩트 공간·극한점 콤팩트 공간·희박 콤팩트 공간·유사 콤팩트 공간의 개념이 모두 동치이다. (뇌터 공간 조건은 심지어 유클리드 공간의 경우에도 나머지 조건들보다 강하다.)
이 밖에도, 다음과 같은 함의 관계들이 성립한다.
- 유사 콤팩트 완비 정칙 공간은 베르 공간이다.[6]:207, Example 3.10.23
- 파라콤팩트 희박 콤팩트 공간은 콤팩트 공간이다.[3]:504, Theorem 8
- 메타콤팩트 유사 콤팩트 완비 정칙 공간은 콤팩트 공간이다.[7]
- 가산 파라콤팩트 희박 콤팩트 공간은 가산 콤팩트 공간이다.[3]:505, Theorem 9
- 유사 콤팩트 균등 공간은 완전 유계 공간이다. 특히, 유사 콤팩트 완비 균등 공간은 콤팩트 공간이다.[8]
- 기약 공간은 희박 콤팩트 공간이다.
유사 콤팩트 위상군
[편집]군 와 그 위의 유사 콤팩트 위상에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[9]:121, Corollary 2.4.2
즉, 유사 콤팩트 위상군의 경우 정의에서 역원의 연속성을 생략하여도 좋다.
모든 위상군은 완비 정칙 공간이므로, 유사 콤팩트 위상군은 자동적으로 희박 콤팩트 공간이다.
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.[9]:193, Theorem 3.7.2[9]:195, Corollary 3.7.8
특히, 모든 유사 콤팩트 위상군은 베유 완비화를 갖는다.
임의의 유사 콤팩트 위상군들의 집합의 곱은 유사 콤팩트 위상군이다.[10]:487, Theorem 1.4
위상군에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이다.[10]:490, Theorem 2.8
- 임의의 연속 함수 는 의 왼쪽 균등 공간 구조에 대하여 균등 연속 함수이다.
- 임의의 연속 함수 는 의 오른쪽 균등 공간 구조에 대하여 균등 연속 함수이다.
- 임의의 유계 연속 함수 는 의 왼쪽 균등 공간 구조에 대하여 균등 연속 함수이다.
- 임의의 유계 연속 함수 는 의 오른쪽 균등 공간 구조에 대하여 균등 연속 함수이다.
이 조건을 (U)라고 하자. 그렇다면, 위상군에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
- 유사 콤팩트 공간이다.
- 완전 유계 위상군이며, 조건 (U)를 만족시킨다.[10]:490, Theorem 2.7
- 완전 유계 위상군이며, 그 베유 완비화는 위상 공간으로서 스톤-체흐 콤팩트화와 일치한다.[10]:494, Theorem 4.1.(e)
예
[편집]가산 콤팩트 공간이 아닌 희박 콤팩트 공간
[편집]을 부분 기저로 하는 위상을 주자. 이는 희박 콤팩트이지만, 가산 콤팩트 공간이 아니며, 또한 하우스도르프 공간이지만 정칙 공간이 아니다.[1]:441, Example 3.1
임의의 정규 하우스도르프 공간 및 닫힌집합 에 대하여, 스톤-체흐 콤팩트화 사이의 표준적인 매장 가 존재한다. 이제, 다음과 같은 위상 공간을 생각하자.
이는 유사 콤팩트 티호노프 공간이지만, 가산 콤팩트 공간이 아니다.[6]:208, Example 3.10.29
희박 콤팩트 공간이 아닌 유사 콤팩트 공간
[편집]위에 모든 점 이 다음과 같은 국소 기저를 갖는 위상을 주자.
이렇게 만든 위상 공간은 유사 콤팩트 공간이지만, 희박 콤팩트 공간이 아니다. 구체적으로, 은 무한 국소 유한 집합족이다. 이는 콜모고로프 공간이지만 T1 공간이 아니며, 정칙 공간이나 정규 공간도 아니다.[1]:442, Example 3.2
참고 문헌
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- ↑ 가 나 다 라 Comfort, W. W.; Ross, Kenneth A. (1966). “Pseudocompactness and uniform continuity in topological groups”. 《Pacific Journal of Mathematics》 (영어) 16: 483–496. doi:10.2140/pjm.1966.16.483. ISSN 1945-5844. MR 0207886. Zbl 0214.28502.
외부 링크
[편집]- “Pseudo-compact space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Pseudocompact space”. 《PlanetMath》 (영어).
- “Pseudocompact space”. 《Topospaces》 (영어).
- “Feebly compact space”. 《Topospaces》 (영어).
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