Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքը (նաև Բիո-Սավար-ի օրենքը ) ֆիզիկական օրենք է՝ հաստատուն էլեկտրական հոսանքով առաջացրած մագնիսական դաշտի ինդուկցիոն վեկտորը որոշելու համար։ Այն փորձնականորեն ստացվել է 1820 թ.-ին Բիոյի և Սավարի կողմից և ընդհանուր առմամբ ձևակերպվել է Լապլասի կողմից։ Լապլասը նաև ցույց տվեց, որ այս օրենքի օգնությամբ հնարավոր է որոշել շարժվող կետային լիցքի մագնիսական դաշտը (դիտարկելով մեկ լիցքավորված մասնիկի շարժումը հոսանքով)։

Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքը մագնիտոստատիկայի մեջ կատարում է նույն դերը, ինչ էլեկտրաստատիկայի մեջ՝ Կուլոնի օրենքը։ Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքը կարելի է համարել մագնիտոստատիկայի հիմնական օրենքը՝ դրանից ստացվում են դրա մնացած արդյունքները։

Ժամանակակից ձևակերպմամբ Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքն ավելի հաճախ դիտարկվում է հաստատուն էլեկտրական դաշտի դեպքում մագնիսական դաշտի համար Մաքսվելի երկու հավասարումների հետևանք, այսինքն՝ ժամանակակից ձևակերպմամբ, Մաքսվելի հավասարումները հանդիսանում են ավելի հիմնարար (նաև այն պատճառով, որ Բիո-Սավար-Լապլասի բանաձևը պարզապես չի կարելի ընդհանրացնել ժամանակի կախված դաշտերի ընդհանրացմամբ)։

Ըստ այդ օրենքի, տվյալ կետում (${\displaystyle M}$) հոսանքակիր հաղորդչի ${\displaystyle \Delta l}$ հատվածի առաջացրած մագնիսական դաշտի լարվածությունը՝ ${\displaystyle \Delta H=k{\frac {I\Delta lsin\theta }{r^{2))))$ հատվածով ${\displaystyle I}$ անցնող հոսանքի ուժն է (${\displaystyle \Delta l}$–ի համար որպես ուղղություն ընտրվում է հոսանքի ուղղությունը), ${\displaystyle \theta }$-ն՝ ${\displaystyle \Delta l}$–ի և ${\displaystyle r}$ շառավիղ–վեկտորի կազմած անկյունը (${\displaystyle \Delta l}$<<${\displaystyle r}$), ${\displaystyle k}$-ն՝ միավորների համակարգի ընտրությունից կախված համեմատականության գործակիցը։ ${\displaystyle \Delta H}$ վեկտորն ուղղահայաց է ${\displaystyle \Delta l}$–ով և ${\displaystyle r}$-ով տարած ${\displaystyle P}$ հարթությանը, իսկ նրա ուղղությունը որոշվում է խցանահանի կանոնով։ Հոսանքակիր հաղորդչի ստեղծած մագնիսական դաշտի արդյունարար լարվածությունը ${\displaystyle (H)M}$ կետում հավասար է հաղորդչի բոլոր ${\displaystyle \Delta l}$ տարրերով պայմանավորված ${\displaystyle \Delta H}$ մեծությունների վեկտորական գումարին։ Մասնավորապես, ${\displaystyle d}$ հեռավորության վրա ուղիղ հոսանքակիր հաղորդչի մագնիսական դաշտի լարվածությունը՝ ${\displaystyle H=k2I/d,}$ ${\displaystyle R}$ շառավղով շրջանային կոնտուրի կենտրոնում՝ ${\displaystyle H=k\cdot 2\pi I/k}$, կոնտուրի առանցքով կենտրոնից ${\displaystyle d(d>>R)}$ հեռավորության վրա՝ ${\displaystyle H=k\cdot 2\pi R^{2}I/d^{3))$, իսկ ${\displaystyle n}$ գալարանի սոլենոիդի առանցքի վրա՝ ${\displaystyle H=k\cdot 4\pi nI}$։ Բիո-Սավարի օրենքն արտահայտող բանաձևով կարելի է հաշվել նաև ${\displaystyle \Delta B}$ մագնիսական ինդուկցիան։

CGS համակարգի միավորներով հաշվելիս ${\displaystyle \Delta H}$-ը պետք է բազմապատկել ${\displaystyle \mu }$ մագնիսական թափանցելիությամբ, իսկ SI համակարգի միավորներով հաշվելիս, ${\displaystyle \mu }$–ից բացի՝ նաև վակուումի ${\displaystyle \mu _{0))$ մագնիսական թափանցելիությամբ (${\displaystyle \mu _{0}=4\pi 10^{-7))$ հն/մ)։

Դիցուք, ${\displaystyle I}$ անընդհատ հոսանքը հոսում է ${\displaystyle \gamma }$ կոնտուրով, որը գտնվում է վակուումում։ Եթե ${\displaystyle \mathbf {r} _{0))$ կետն է, որի նկատմամբ դիտարկվում է դաշտը, ապա մագնիսական դաշտի ինդուկցիան այդ կետում արտահայտվում է ինտեգրալով`

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {I[d\mathbf {r} \times (\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} )]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3))}={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {I[d\mathbf {r} \times \mathbf {e_{r,r_{o))} ]}{(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} )^{2))},}$

Իսկ եթե որպես հաշվարկման կետ վերցնենք այն կետը, որտեղ պետք է գտնենք մագնիսական ինդուկցիայի վեկտորը,ապա բանաձևը հեշտանում է`

${\displaystyle d{\vec {B))={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I[{\vec {r))\times d{\vec {r))]}{r^{3))}={\frac {I}{10^{7))}{\frac {[{\vec {r))\times d{\vec {r))]}{r^{3))},}$

${\displaystyle d\mathbf {B} }$ - ի ուղղությունը ուղղահայաց է այն հարթությանը, ուր գտնվում են ${\displaystyle d\mathbf {l} \equiv d\mathbf {r} }$ և ${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{0))$ վեկտորները։ Մագնիսական ինդուկցիայի վեկտորի ուղղությունը կարելի է որոշել աջ պտուտակի կանոնով։ Միավորների միջազգային համակարգում ${\displaystyle d\mathbf {B} }$-ի վեկտորի մոդուլը որոշվում է`

${\displaystyle dB={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {Idl\sin \alpha }{r^{2))}.}$

Վեկտորական պոտենցիալը տրվում է ինտեգրալով`

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {I(\mathbf {r} )\mathbf {dl} }{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |)).}$

Այն դեպքում, երբ մագնիսական դաշտի աղբյուր հանդիսանում են բաշխվող հոսանքները, որոնք բնութագրվում են վեկտորական դաշտի խտության հոսանքով` ${\displaystyle j}$, Բիո Սավարի օրենքը Միավորների միջազգային համակարգում կընդունի հետևյալ տեսքը`

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {[\ \mathbf {j} dV,\ \mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \ ]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3))},}$ ,

որտեղ j = j(r), dV - ծավալի տարրն է, իսկ ինտեգրումը տարածվում է ամբողջ միջակայքում, որտեղ j≠0.

Վեկտորական պոտենցիալը տրվում է ինտեգրալով`

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} )dV}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |)).}$

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 2, էջ 442)։

Թող հաստատուն ${\displaystyle I}$ հոսանքն անցնի ${\displaystyle \gamma }$ կոնտուրով (հաղորդչի երկայնքով)՝ վակուումում, ${\displaystyle \mathbf {r} _{0))$ - կետն է, որտեղ որոնվում է (դիտվում է) դաշտը, ապա այդ կետում մագնիսական դաշտի ինդուկցիան արտահայտվում է ինտեգրալով ( Միավորների միջազգային համակարգում (SI) )

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {I[d\mathbf {r} \times (\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} )]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3))}={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {I[d\mathbf {r} \times \mathbf {e_{r,r_{o))} ]}{(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} )^{2))},}$

որտեղ քառակուսի փակագծերով նշված են վեկտորական արտադրյալը, ${\displaystyle r}$ - ${\displaystyle \gamma }$ կոնտուրի կետերի դիրքն է , ${\displaystyle dr}$ - կոնտուրի տարրի վեկտորը (հոսանքն անցնում է դրա երկայնքով); ${\displaystyle \mu _{0))$ - մագնիսական հաստատունը ; ${\displaystyle \mathbf {e_{r,r_{o))} }$ միավոր վեկտոր է, որն ուղղվում է կոնտուրի տարրից դիտարկման կետ։

• Սկզբունքորեն ${\displaystyle \gamma }$ կոնտուրը կարող է ճյուղավորված լինել, և իրենից ներկայացնել որքան ասես բարդ ցանցը։ Այդ դեպքում վերևում նշված արտահայտությունը պետք է հասկանալ տրված ցանցի բոլոր ճյուղերի գումար, ընդ որում յուրաքանչյուր ճյուղի համար այն ունի վերը նշված ինտեգրալի տեսքը (մասնավորապես յուրաքանչյուր ճյուղի համար կոնտուրը կարող է փակ չլինել)։
• Պարզագույն դեպքում (չճյուղավորված) կոնտուրով (մագնիսաստատիկ մոտավորության պայմանների կատարման դեպքում, այսինքն լիցքերի կուտակման բացակայության պարագայում), ${\displaystyle I}$ հոսանքը նույնն է կոնտուրի բոլոր տեղամասերում և կարելի է դուրս բերել ինտեգրալի նշանի տակից։ (Սա վերաբերում է շղթայի առանձին, և յուրաքանչյուր չճյուղավորված տեղամասին)։

Եթե մենք որպես հաշվարկման սկզբնակետ վերցնենք որևէ կետ, որում պետք է որոշվի մագնիսկա ինդուկցիան, ապա բանաձևը կպարզեցվի.

${\displaystyle d{\vec {B))={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I[{\vec {r))\times d{\vec {r))]}{r^{3))))$

Որտեղ ${\displaystyle {\vec {r))}$ - ${\displaystyle I}$ հոսանք անցնող հաղորդչի կորությունը ներկայացնող վեկտորն է , ${\displaystyle r}$ - ${\displaystyle {\vec {r))}$-ի մոդուլը, ${\displaystyle d{\vec {B))}$ - հաղորդչի ${\displaystyle d{\vec {r))}$ տարրի կողմից ստեղծված մագնիսական ինդուկցիայի վեկտորը։

${\displaystyle d\mathbf {B} }$-ի ուղղությունը ուղղահայաց է այն հարթությանը, որի մեջ են ընկած ${\displaystyle d\mathbf {l} \equiv d\mathbf {r} }$ և ${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{0))$ վեկտորները։ Մագնիսական ինդուկցիայի վեկտորի ուղղությունը կարելի է գտնել աջ պտուտակի կանոնով. Պտուտակի գլխի պտտման ուղղությունը ցույց է տալիս ${\displaystyle d\mathbf {B} }$-ի ուղղությունը, եթե պտուտակի ծայրի առաջ շարժումը համապատասխանում է տարրի մեջ հոսանքի ուղղությանը։ Վեկտորային մոդուլ ${\displaystyle d\mathbf {B} }$-ն ( SI- համակարգում ) որոշվում է հետևյալ արտահայտությամբ ․

${\displaystyle dB={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {Idl\sin \alpha }{r^{2))},}$

Որտեղ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{0))$ վեկտորների միջև ընկած անկյունն է (հաղորդչի տարրից սկսող մինչև դաշտը որոնվող կետը շառավղի վեկտորի միջոցով ${\displaystyle d\mathbf {l} \equiv d\mathbf {r} }$) և հաղորդչի ${\displaystyle d\mathbf {l} \equiv d\mathbf {r} }$ տարրով։

Վեկտորային պոտենցիալը տրվում է ինտեգրալով ( SI- ում )

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\gamma }{\frac {\mathbf {I} (\mathbf {r} )\mathbf {dl} }{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |)).}$

Այն դեպքում, երբ մագնիսական դաշտի աղբյուրը հանդիսանում են բաշխվոող հոսանքները, որոնք բնութագրվում են դաշտի խտության j վեկտորով, Բիո-Սավարի օրենքն ստանում է հետևյալ տեսքը (SI- ում ).

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {[\ \mathbf {j} dV,\ \mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \ ]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3))},}$

որտեղ j = j ( r ), d V- ը ծավալային տարր է, և ինտեգրումը կատարվում է ամբողջ տարածության մեջ (կամ դրա բոլոր մասրում, որտեղ j ≠ 0 ), r - համապատասխանում է ինտեգրման ընթացքում ընթացիկ կետին (d V տարրի դիրքը)։

Վեկտորային պետոնցիալը.

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} )dV}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |)).}$

Չնայած ժամանակակից մոտեցման մեջ, որպես կանոն, Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքն ինքնին Մաքսվելի հավասարումների հետևանք է, այնուամենայնիվ, պատմականորեն դրա հայտնագործումը նախորդում էր Մաքսվելի հավասարումներին, ուստի, մագնիսաստատիկայի դեպքում Մաքսվելի հավասարումները կարելի է համարել որպես Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքի հետևանք։ Զուտ ֆորմալ տեսանկյունից, մագնիսաստատիկայի դեպքում, երկու մոտեցումներն էլ կարող են հավասար համարվել, այսինքն՝ այս իմաստով, դրանցից որևէ մեկը համարվում է սկզբնական, մյուսը՝ հետևանք, կախված աքսիոմատացման ընտրությունից, որը մագնիսաստատիկայի դեպքում կարող է լինել մեկը կամ մյուսը՝ հավասար ձևական իրավունքով և գրեթե հավասար հարմարավետությամբ։

Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքի հիմնական հետևանքներն են (վերոհիշյալ իմաստով) Մաքսվելի հավասարումները մագնիսաստատիկայի դեպքի համար

${\displaystyle \oint \limits _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =0}$

- մագնիսական դաշտի համար Գաուսի թեորեմը (ընդհանուր հավասարության համար էլեկտրադինամիկայում այս հավասարումը մնում է անփոփոխ)

${\displaystyle \oint \limits _{\partial S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {l} =\mu _{0}I=\mu _{0}\int \limits _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S} }$

- մագնիսաստատիկայում մագնիսական դաշտի շրջանառության հավասարումը (այստեղ այն տրվում է SI համակարգում վակուումի դեպքում)։ Այս բանաձևը (և դրա ածանցումը Բիոտ-Սավար օրենքից) Ամպերայի թեորեմի բովանդակությունն է մագնիսական դաշտի շրջանառության վերաբերյալ։

Այս հավասարումների դիֆերենցիալ տեսքն է.

${\displaystyle \mathrm {div} \mathbf {B} =0,}$

${\displaystyle \mathrm {rot} \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} ,}$

որտեղ j հոսանքի խտությունն է (գրված է SI համակարգում, միավորների Գաուսյան համակարգում${\displaystyle \mu _{0))$ հաստատունի փոխարեն գրվում է ${\displaystyle {\frac {4\pi }{c)).}$ )

Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքը կարելի է ստանալ ստացիոնար դաշտի համար Մաքսվելի հավասարումներից։ Այս դեպքում ժամանակի ածանցյալները հավասար են 0-ի, այնպես որ վակուումային դաշտի հավասարումները տեսք ունենան հետևյալ տեսքը ( CGS համակարգում)

${\displaystyle \operatorname {rot} \,\mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c))\mathbf {j} ,}$

${\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {B} =0,}$

${\displaystyle \operatorname {rot} \,\mathbf {E} =0,}$

${\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {E} =4\pi \rho ,}$

Որտեղ ${\displaystyle \mathbf {j} }$ - տարածության մեջ հոսանքի խտությունն է։ Այս դեպքում էլեկտրական և մագնիսական դաշտերը անկախ են։ Եկեք օգտագործենք մագնիսական դաշտի վեկտորային պոտենցիալը (CGS համակարգում).

${\displaystyle \mathbf {B} =\operatorname {rot} \,\mathbf {A} .}$

Հավասարումների անփոփոխությունը հնարավորություն է տալիս վեկտորային պոտենցիալի մեկ այլ պայման դնել.

${\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {A} =0.}$

Վեկտորի վերլուծության բանաձևով բացելով կրկնակի ռոտորը, մենք ստանում ենք Պուասոնի տիպի հավասարություն վեկտորի պոտենցիալի համար.

${\displaystyle \Delta \mathbf {A} =-{\frac {4\pi }{c))\mathbf {j} .}$

Դրա մասնակի լուծումը տրված է Նյուտոնյան պոտենցիալի անալոգային ինտեգրալով.

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\frac {1}{c))\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|))dV.}$

Այս դեպքում մագնիսական դաշտը որոշվում է ինտեգրալով (CGS համակարգում)

${\displaystyle \mathbf {B} =\operatorname {rot} \,\mathbf {A} ={\frac {1}{c))\int \left[\nabla {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|)),\mathbf {j} (\mathbf {r} )\right]dV=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{c))\int \limits _{\gamma }{\frac {[\mathbf {j} (\mathbf {r} ),\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} ]}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|^{3))}dV}$

ձևով նման է «Բիո - Սավար - Լապլաս»-ի օրենքին։ Այս համապատասխանությունը կարող է ճշգրիտ լինել, եթե մենք օգտագործում ենք ընդհանրացված ֆունկցիաներ և գրենք դատարկ տարածության մեջ հոսանքով օղակին համապատասխանող տարածական հոսանքի խտությունը։ Անցնելով ամբողջ տարածության ինտեգրումից դեպի շրջադարձի և դրան ուղղահայաց ուղղի երկայնքով կատարվող ինտեգրալի և հաշվի առնելով, որ

${\displaystyle \mathbf {j} dV=I\mathbf {dl} }$

մենք ստանում ենք Բիո-Սավար—Լապլասի օրենքը օղակաձև դաշտի համար։

Թող պահանջվի գտնել մագնիսական ինդուկցիայի մոդուլը շատ բարակ ${\displaystyle N}$ փաթույթներով (բոլոր հերթերը հավաքված են մեկ շրջանակի մոտ) կոճի կենտրոնում, որի միջով անցնում է ${\displaystyle I}$ հոսանքը։ Գտնենք կծիկի մեկ փաթույթով ստեղծված մագնիսական ինդուկցիան։ Բանաձևից ունենք, որ

${\displaystyle d{\vec {B))={\frac {\mu _{0)){4\pi )){\frac {I[d{\vec {l))\times {\vec {r))]}{r^{3))))$

մենք ստանում ենք մագնիսական ինդուկցիայի մոդուլը՝

${\displaystyle dB={\frac {\mu _{0)){4\pi )){\frac {Idl\sin \alpha }{r^{2))},}$

Որտեղ ${\displaystyle r}$ - կոճի շառավիղն է (այս դեպքում՝ հաստատուն), ${\displaystyle \alpha }$ -ն ${\displaystyle {\vec {r))}$ (օղակի կենտրոնից դեպի հանգույցի տարրի շառավղի վեկտորը) և ${\displaystyle d{\vec {l))}$ (հանգույցի տարր) - միջև ընկած անկյուննէ, որը հավասար է ${\displaystyle 90^{\circ ))$։

Ինտեգրելով երկու կողմերն էլ, մենք ստանում ենք

${\displaystyle B={\frac {\mu _{0)){4\pi )){\frac {I}{r^{2))}\int dl,}$

Որտեղ ${\displaystyle \int dl=2\pi r}$ - կոճի հաղորդիչի բոլոր տարրերի երկարությունների գումարն է, այս դեպքում՝ շրջագիծը, ապա

${\displaystyle B=\mu _{0}{\frac {IN}{2r)).}$

Քանի որ պարույրը պարունակում է ${\displaystyle N}$ փաթույթ, ապա մագնիսական ինդուկցիայի ընդհանուր մոդուլը կազմում է

${\displaystyle B=\mu _{0}{\frac {IN}{2r)).}$

• The law of Biot and Savart - The Feynman Lectures on Physics