Disztribúció (matematika)
A disztribúciók a kompakt tartójú végtelenszer differenciálható függvények terén értelmezett lineáris funkcionálok, amik folytonosak a következő konvergencia értelmében:
- Van része , supp , supp része
- Tetszőleges indexvektor esetén egyenletesen -n.
Azért vezetik be őket, hogy egy nagyobb függvényosztályon kereshessék a parciális differenciálegyenletek megoldását.
Példák
[szerkesztés]- Legyen az függvény értelmezve az halmazon, és integrálható annak minden kompakt részhalmazán. Legyen az a funkcionál, ami a függvényhez az értéket rendeli. Ekkor disztribúció. Az ilyen alakban előálló disztribúciókat reguláris disztribúcióknak nevezik.
- A Dirac-féle delta disztribúciót így értelmezik: Legyen Rendelje a funkcionál a függvényhez a helyettesítési értéket. Ekkor nem reguláris disztribúció.
- Legyen az függvény értelmezve az halmazon, és integrálható annak minden kompakt részhalmazán, és legyen rögzített indexvektor. Értelmezzük a következő funkcionált: rendelje a függvényhez az értéket.
Tétel: A reguláris disztribúció majdnem mindenütt egyértelműen meghatározza az függvényt.
Műveletek
[szerkesztés]Összeadás: disztribúció -n; ekkor
Számmal szorzás:
Ezekkel a műveletekkel a disztribúciók vektorteret alkotnak. Jelölés:
Konvergencia: legyenek disztribúciók; ekkor ha minden rögzített -re
Függvénnyel szorzás: legyen ; ekkor
lokálisan, ha minden elemhez van nyílt környezete, ahol
Tétel: ha két disztribúció lokálisan egyenlő, akkor globálisan is egyenlők. Azaz, ha van egy nem üres nyílt halmaz, ahol egyenlőek, akkor mindenütt egyenlőek.
Deriválás: disztribúció;
Direkt szorzat: disztribúciók; tulajdonságai: (betű szemlélettel) kommutatív, asszociatív, disztributív és lineáris
Konvolúció: tekintsük a következő konvergenciát: def * értelemben → azonosan 1-hez, ha
1. minden esetén egyenletesen minden rögzített kompakt részhalmazban
2. minden indexvektorhoz van minden minden -re. Definíció:
A konvolúció nem mindig létezik.
Források
[szerkesztés]Simon-Baderkó: Másodrendű parciális differenciálegyenletek
Text is available under the CC BY-SA 4.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.