Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

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En mathématiques, le symbole de Levi-Civita, noté ε (lettre grecque epsilon), est un objet antisymétrique d'ordre 3 qui peut être exprimé à partir du symbole de Kronecker :

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}={\begin{vmatrix}\delta _{i1}&\delta _{i2}&\delta _{i3}\\\delta _{j1}&\delta _{j2}&\delta _{j3}\\\delta _{k1}&\delta _{k2}&\delta _{k3}\end{vmatrix))}$.

Ainsi, ${\displaystyle \varepsilon _{ijk))$ ne peut prendre que trois valeurs : –1, 0 ou 1.

En dimension 3, on peut figurer le symbole de Levi-Civita comme suit :

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1&{\mbox{si ))(i,j,k){\mbox{ est ))(1,2,3),(2,3,1){\mbox{ ou ))(3,1,2),\\-1&{\mbox{si ))(i,j,k){\mbox{ est ))(3,2,1),(1,3,2){\mbox{ ou ))(2,1,3),\\0&{\mbox{si ))i=j{\mbox{ ou ))j=k{\mbox{ ou ))k=i.\end{cases))}$

On remarque que si ${\displaystyle i\neq j}$, ${\displaystyle i\neq k}$ et ${\displaystyle j\neq k}$, alors ${\displaystyle (i,j,k)}$ représente une permutation et le symbole de Levi-Civita correspondant est sa signature.

La relation du symbole Levi-Civita au symbole de Kronecker est :

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}=\delta _{il}\delta _{jm}\delta _{kn}+\delta _{im}\delta _{jn}\delta _{kl}+\delta _{in}\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{il}\delta _{jn}\delta _{km}-\delta _{in}\delta _{jm}\delta _{kl}-\delta _{im}\delta _{jl}\delta _{kn))$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km))$

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn))$

En dimension 2, le symbole de Levi-Civita est défini par :

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\begin{cases}+1&{\text{si ))(i,j)=(1,2)\\-1&{\text{si ))(i,j)=(2,1)\\\;\;\,0&{\text{si ))i=j\end{cases))}$

On peut disposer ces valeurs dans une matrice carrée 2×2 comme suit :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix))}$

dont le déterminant vaut 1. De même, les valeurs du symbole de Kronecker peuvent être vues comme les éléments de la matrice-identité

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\delta _{11}&\delta _{12}\\\delta _{21}&\delta _{22}\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix))}$

En dimension n, on peut démontrer que

${\displaystyle \sum _{i_{1},\dots ,i_{n}=1}^{n}\left(\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n))\right)^{2}=n!}$

Dans une base orthonormée directe ${\displaystyle ({\vec {e_{1))},{\vec {e_{2))},{\vec {e_{3))})}$, ${\displaystyle \varepsilon _{ijk))$ représente le volume orienté du parallélépipède construit à partir des vecteurs ${\displaystyle {\vec {e_{i))},{\vec {e_{j))},{\vec {e_{k))))$.

D'où une valeur égale à 0 si i = j ou j = k ou k = i.

• Algèbre multilinéaire
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