سری دوجمله‌ای یک سری توانی است که در بسط دوجمله‌ای برای اعداد مختلط ظاهر می‌شود:

${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\alpha \choose k}x^{\alpha -k}y^{k))$ .^[۱]

اگر ${\displaystyle \alpha }$ عددی صحیح و منفی نباشد (${\displaystyle \alpha \geq 0}$) تعداد ضرایب بسط دو جمله‌ای محدود و با ${\displaystyle \alpha +1}$ برابر خواهد بود. در این حالت خاص ضرایب سری همان ضرایب سری دو جمله‌ای هستند.

در حالت کلی‌تر ضرایب با عبارت پایین برابر خواهند بود؛ در اینجا ${\displaystyle \alpha ^{\underline {k))}$ همان فاکتوریل افتان است:

سری مکلورن موردی خاص از سری دوجمله‌ای است. در اینجا ${\displaystyle f(x)=(1+x)^{\alpha },\;|x|<1,\,\alpha \in \mathbb {C} }$ که به عبارت پایین بسط پیدا می‌کند:^[۲]

عمر خیام برای اولین بار سری دوجمله‌ای را برای کل اعداد مثبت در سال ۱۰۷۸ میلادی کشف کرد، این فرمول همان بسط دو جمله‌ای${\displaystyle (a+b)^{n))$ است.^[۳] نیوتن در سال ۱۶۶۹ میلادی سری دو جمله‌ای ${\displaystyle (1+x)^{\alpha ))$ را برای هر عدد حقیقی ${\displaystyle \alpha }$ و تمام مقادیر حقیقی ${\displaystyle x}$ در فاصله ${\displaystyle \left]-1,1\right[}$ محاسبه کرد.^[۴] آبل در سال ۱۸۶۲ میلادی سری دوجمله‌ای را برای ${\displaystyle \alpha ,x\in \mathbb {C} }$ محاسبه کرد؛ او ثابت کرد که اگر ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} \setminus \mathbb {N} }$ باشد شعاع همگراییِ سری ۱ خواهد بود.^[۵]

سری هندسی حالتی خاص از سری دو جمله‌ای است. اگر ${\displaystyle \alpha =-1}$ و ${\displaystyle x}$ را با ${\displaystyle -x}$ جایگزین کنیم به عبارت پایین می‌رسیم که همان سری هندسی است؛ در اینجا ${\displaystyle {\tbinom {-1}{k))=(-1)^{k))$ است:

با فرض اینکه ${\displaystyle |x|=1}$ و ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} \setminus \mathbb {N} }$ موارد ذیل را می‌توان اثبات کرد:^[۶]

• ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k))x^{k))$ مطلقاً همگرا خواهد بود اگر و تنها اگر ${\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )>0}$ یا ${\displaystyle \alpha =0}$.
• برای ${\displaystyle x\neq -1}$ سری مطلقاً همگرا خواهد بود اگر و تنها اگر ${\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )>-1}$
• برای ${\displaystyle x=-1}$ سری مطلقاً همگرا خواهد بود اگر و تنها اگر ${\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )>0}$ یا ${\displaystyle \alpha =0}$.

• ${\displaystyle (1+x)^{2}={\binom {2}{0))x^{0}+{\binom {2}{1))x^{1}+{\binom {2}{2))x^{2}=1+2x+x^{2))$
• ${\displaystyle {\frac {1}{1+x))=(1+x)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-1}{k))x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+\dotsb }$
• ${\displaystyle {\sqrt {1+x))=(1+x)^{1/2}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {1/2}{k))x^{k}=1+{\frac {x}{2))-{\frac {x^{2)){8))+{\frac {x^{3)){16))-{\frac {5x^{4)){128))+{\frac {7x^{5)){256))-\dotsb }$
• ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x))}=(1-x)^{-1/2}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\binom {-1/2}{k))x^{k}=1+{\frac {x}{2))+{\frac {3x^{2)){2))+{\frac {5x^{3)){6))+{\frac {35x^{4)){128))+{\frac {63x^{5)){256))+\dotsb }$

• بسط دو جمله‌ای
• سری هندسی
• سری مکلورن