اگر ${\displaystyle A}$ ناحیه قرمز رنگ درون این تصویر باشد…

… آنگاه هرچیز دیگر جزو متمم ${\displaystyle A}$ خواهده بود

متمم مجموعه

متمم مجموعه (به انگلیسی: Complement of a set) در نظریه مجموعه‌ها به معنای مجموعه‌ای از عناصری است که در یک مجموعه معین حضور ندارند، اما در مجموعه کلی (که به آن مجموعه مرجع یا کل گفته می‌شود) موجودند. متمم مجموعه معمولاً به صورت ( A^{c} ) یا ( A' ) نشان داده می‌شود.[منبع ۱][منبع ۲]

متمم مطلق

زمانی که تمام مجموعه‌های مورد نظر به صورت زیرمجموعه‌هایی از مجموعه دلخواهی چون ( U ) در نظر گرفته شوند، متمم مطلق ( A ) برابر است با مجموعه تمام عناصری که درون ( U ) قرار دارند ولی در ( A ) نیستند. این مفهوم به این معناست که اگر ( U ) مجموعه مرجع و ( A ) زیرمجموعه‌ای از آن باشد، متمم ( A ) شامل تمام عناصری است که در ( U ) موجودند اما در ( A ) نیستند. متمم مطلق به این صورت نمایش داده می‌شود: [ A^{c} = U \setminus A ] این رابطه نشان می‌دهد که ( A^{c} ) مجموعه عناصری از ( U ) است که در ( A ) وجود ندارند.[منبع ۳]

متمم نسبی

متمم نسبی یا تفاضل مجموعه‌ای نیز مفهومی مرتبط با متمم است. اگر ( A ) و ( B ) دو مجموعه باشند، متمم نسبی ( A ) نسبت به ( B ) (یا تفاضل مجموعه ( A ) از ( B )) مجموعه‌ای است که شامل تمام عناصری از ( B ) است که در ( A ) قرار ندارند. این به صورت ( B \setminus A ) نشان داده می‌شود، و به معنای اعضایی از ( B ) است که در ( A ) حضور ندارند.[منبع ۴]

مثال‌ها

برای درک بهتر این مفاهیم، به مثال‌های زیر توجه کنید:اگر مجموعه مرجع ( U ) مجموعه اعداد حقیقی و مجموعه ( A ) مجموعه اعداد طبیعی باشد، متمم مطلق ( A ) تمام اعداد حقیقی را شامل می‌شود که طبیعی نیستند، مانند اعداد گنگ یا اعداد گویا غیرطبیعی. به زبان ریاضی، متمم مطلق به صورت ( \mathbb{R} \setminus \mathbb{N} ) نوشته می‌شود.فرض کنید در یک محیط مشخص، ( A ) مجموعه‌ای است که با دایره‌ای قرمز رنگ در یک شکل نشان داده شده است. در این صورت، متمم ( A ) مجموعه‌ای از تمامی نقاط خارج از دایره قرمز رنگ (فضای سفید رنگ) خواهد بود. در این مثال، اگر ( B ) مجموعه فضای سفید باشد، آنگاه ( B ) متمم ( A ) است.

کاربردهای متمم مجموعه

مفهوم متمم مجموعه در بسیاری از شاخه‌های ریاضی و علوم کامپیوتر کاربرد دارد. به‌ویژه در مباحث احتمال، جبر مجموعه‌ها و همچنین در تحلیل الگوریتم‌ها، استفاده از متمم مجموعه‌ها به‌صورت گسترده‌ای دیده می‌شود. به عنوان مثال، در محاسبه احتمال وقوع یک رویداد، احتمال متمم آن رویداد به صورت ( P(A^{c}) = 1 - P(A) ) تعریف می‌شود که این اصل در بسیاری از مسائل احتمال‌محور کاربرد دارد.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Complement (Set Theory)». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۹ مهٔ ۲۰۲۱.

ن ب و نظریه مجموعه‌ها
نمای‌کلی	مجموعه
اصول موضوع	Adjunction اصل موضوع انتخاب اصل انتخاب شمارا dependent جهانی Constructibility (V=L)| Determinacy اصل موضوع گسترش اصل موضوع بی‌نهایت Limitation of size اصل موضوع زوج‌سازی اصل موضوع مجموعه توانی Regularity اصل موضوع اجتماع Martin's axiom Axiom schema اصول موضوع جایگزینی اصل موضوع تصریح
انواع مجموعه‌ها	ضرب دکارتی متمم (a.k.a set difference) قوانین دمورگان اجتماع مجزا اشتراک مجموعه توانی تفاضل متقارن اجتماع
مفاهیم روش‌ها	کاردینالیتی عدد اصلی (بزرگ) کلاس جهان ساختی فرضیه پیوستار استدلال قطری کانتور عنصر زوج مرتب نوع تاپل Family Forcing تناظر دوسویه عدد ترتیبی Set-builder notation استقرای ترامتناهی نمودار ون
انواع مجموعه‌ها	Amorphous مجموعه شمارا مجموعه تهی مجموعه متناهی (hereditarily) مجموعه‌های فازی مجموعه نامتناهی (Dedekind-infinite) مجموعه بازگشتی مجموعه تک‌عضوی زیرمجموعه مجموعه متعدی مجموعه ناشمارا مجموعه جهانی
نظریه‌ها	نظریه مجموعه جایگزین نظریه مجموعه‌ها نظریه طبیعی مجموعه‌ها قضیه کانتور Zermelo General مبادی ریاضیات New Foundations Zermelo–Fraenkel von Neumann–Bernays–Gödel Morse–Kelley Kripke–Platek Tarski–Grothendieck
تناقضات مسئله‌ها	پارادوکس راسل Suslin's problem پارادوکس بورالی-فورتی
نظریه‌پردازان مجموعه	آبراهام فرنکل برتراند راسل ارنست تسرملو گئورگ کانتور جان فون نویمان کورت گودل پل برنایز پل کوهن ریچارد ددکیند Thomas Jech تورالف اسکولم ویلارد کواین