En matemàtiques, més específicament en àlgebra, les fórmules de Viète, anomenades així en honor de François Viète, són fórmules que relacionen les arrels d'un polinomi amb els seus coeficients.

Si

${\displaystyle P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0))$

És un polinomi de grau ${\displaystyle n\geq 1}$ amb coeficients complexos (per tant, els nombres ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1},a_{n))$ són complexos amb ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$), pel teorema fonamental de l'àlgebra ${\displaystyle P(X)}$ té ${\displaystyle n}$ (no necessàriament diferents) arrels complexes ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}.}$ Les fórmules de Viète estableixen que

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}={\tfrac {-a_{n-1)){a_{n))}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2)){a_{n))}\\\vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0)){a_{n))}\end{cases))}$

En altres paraules, la suma de tots els possibles productes de ${\displaystyle k}$ arrels de ${\displaystyle P(X)}$ (amb els índexs en cada producte en ordre creixent de forma que no hi hagi repeticions) és igual a ${\displaystyle (-1)^{k}a_{n-k}/a_{n},}$

${\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1))x_{i_{2))\cdots x_{i_{k))=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k)){a_{n))))$

Per a cada ${\displaystyle k=1,2,\dots ,n.}$

Les fórmules de Viète també es compleixen de forma més general per a polinomis amb coeficients en qualsevol anell commutatiu, en la mesura en què aquest polinomi de grau ${\displaystyle n}$ tingui ${\displaystyle n}$ arrels en aquest anell.

Per al polinomi de segon grau ${\displaystyle P(X)=aX^{2}+bX+c}$, les fórmules de Viète estableixen que les solucions ${\displaystyle x_{1))$ i ${\displaystyle x_{2))$ de l'equació ${\displaystyle P(X)=0}$ satisfan

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a)),\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a)).}$

La primera d'aquestes equacions es pot er servir per a trobar el mínim (o el màxim) de P. Vegeu Equació de segon grau.

Les fórmules de Viète es poden demostrar escrivint la igualtat

${\displaystyle a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}=a_{n}(X-x_{1})(X-x_{2})\cdots (X-x_{n})}$

(que és certa donat que ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n))$ són totes les arrels d'aquest polinomi), multiplicant els factors del cantó dret, i identificant els coeficients de cada potència de ${\displaystyle X.}$

• Vinberg, E. B.. A course in algebra. American Mathematical Society, Providence, R.I, 2003. ISBN 0821834134. 

• Djukić, Dušan, i cols.. The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959-2004. Springer, New York, NY, 2006. ISBN 0387242996.