2的自然对数

2的自然对数
數表—无理数 ${\displaystyle \color {blue}{\sqrt {2))}$ - ${\displaystyle \color {blue}\varphi }$ - ${\displaystyle \color {blue}{\sqrt {3))}$ - ${\displaystyle \color {blue}{\sqrt {5))}$ - ${\displaystyle \color {blue}\delta _{S))$ - ${\displaystyle \color {blue}e}$ - ${\displaystyle \color {blue}\pi }$
識別
種類	無理數
符號	${\displaystyle \ln {2))$
性質
連分數	[0; 1, 2, 3, 1, 6, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 10] （OEIS數列A016730） ${\displaystyle 0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{6+\ddots ))))))))))}$
以此為根的多項式或函數	${\displaystyle e^{x}-2=0}$[1]
表示方式
值	${\displaystyle \ln {2}\approx }$0.693147180...
二进制	0.101100010111001000010111…
十进制	0.693147180559945309417232…
十六进制	0.B17217F7D1CF79ABC9E3B398…
查 论 编

ln2（OEIS數列A002162）约为：

${\displaystyle \ln 2\approx 0.693147}$

使用对数公式

${\displaystyle \log _{b}2={\frac {\ln 2}{\ln b)).}$

可以求出log2，它约为：（OEIS數列A007524）

${\displaystyle \log _{10}2\approx 0.301029995663981195}$。

數學家理查德·施羅培爾（英语：Richard Schroeppel）在1972年證明，不尋常數的自然密度等於 ${\displaystyle \ln 2}$。換言之，若 ${\displaystyle u(n)}$ 表示不大於 ${\displaystyle n}$ 的自然數之中，有多少個數 ${\displaystyle a}$ 具有大於 ${\displaystyle {\sqrt {a))}$ 的質因數，則有：

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {u(n)}{n))=\ln(2)=0.693147\dots \,.}$

公式

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1)){n))=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)))=\ln 2.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n)){(n+1)(n+2)))=2\ln 2-1.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(4n^{2}-1)))=2\ln 2-1.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n)){n(4n^{2}-1)))=\ln 2-1.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n)){n(9n^{2}-1)))=2\ln 2-{\frac {3}{2)).}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n))}[\zeta (n)-1]=\ln 2-{\frac {1}{2)).}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n+1))[\zeta (n)-1]=1-\gamma -{\frac {1}{2))\ln 2.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{2n}(2n+1)))\zeta (2n)={\frac {1}{2))(1-\ln 2).}$

${\displaystyle \gamma }$是欧拉-马歇罗尼常数，${\displaystyle \zeta }$是黎曼ζ函數。

${\displaystyle \ln 2=\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{k2^{k))}.}$^[2]:31

${\displaystyle \ln 2=\sum _{k\geq 1}\left({\frac {1}{3^{k))}+{\frac {1}{4^{k))}\right){\frac {1}{k)).}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3))+\sum _{k\geq 1}\left({\frac {1}{2k))+{\frac {1}{4k+1))+{\frac {1}{8k+4))+{\frac {1}{16k+12))\right){\frac {1}{16^{k))}.}$（贝利－波尔温－普劳夫公式）

${\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3))\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{(2k+1)9^{k))}.}$（基於反雙曲函數，可參見計算自然對數的級數。）

积分公式

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x))=\ln 2}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{(1+x^{2})(1+x)^{2))}={\frac {1}{4))(1-\ln 2)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+e^{nx))}={\frac {1}{n))\ln 2;\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{3+e^{nx))}={\frac {2}{3n))\ln 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1))-{\frac {2}{e^{2x}-1))\right)=\ln 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}{\frac {1-e^{-x)){x))dx=\ln 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\ln {\frac {x^{2}-1}{x\ln x))dx=-1+\ln 2+\gamma }$

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{3))\tan xdx=2\int _{0}^{\frac {\pi }{4))\tan xdx=\ln 2}$

${\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{4))}^{\frac {\pi }{4))\ln(\sin x+\cos x)dx=-{\frac {\pi }{4))\ln 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}\ln(1+x)dx={\frac {2}{3))\ln 2-{\frac {5}{18))}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}x\ln(1+x)\ln(1-x)dx={\frac {1}{4))-\ln 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{3}\ln(1+x)\ln(1-x)dx={\frac {13}{96))-{\frac {2}{3))\ln 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\ln x}{(1+x)^{2))}dx=-\ln 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\ln(1+x)-x}{x^{2))}dx=1-2\ln 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{x(1-\ln x)(1-2\ln x)))=\ln 2}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\ln \ln x}{x^{3))}dx=-{\frac {1}{2))(\gamma +\ln 2)}$

${\displaystyle \gamma }$是欧拉-马歇罗尼常数。

其他公式

用皮尔斯展开式（A091846）表达ln2：

${\displaystyle \log 2={\frac {1}{1))-{\frac {1}{1\cdot 3))+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 12))-\ldots }$.

用恩格尔展开式A059180表达ln2：

${\displaystyle \log 2={\frac {1}{2))+{\frac {1}{2\cdot 3))+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7))+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9))+\ldots }$.

用余切展开式A081785表达ln2：

${\displaystyle \log 2=\cot(\operatorname {arccot} 0-\operatorname {arccot} 1+\operatorname {arccot} 5-\operatorname {arccot} 55+\operatorname {arccot} 14187-\ldots )}$.

其他對數

範例

10的自然對數

參考文獻

外部連結

• 埃里克·韦斯坦因. Natural logarithm of 2. MathWorld. 
• table of natural logarithms. PlanetMath. 
• Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal. The logarithm constant:log 2. [2011-01-08]. （原始内容存档于2020-02-23）. 

參見

• 對數
• 自然對數
• 常用對數
• 超越数

查 论 编 無理數 柴廷常數 (Ω) 刘维尔数 質常數（英语：Prime constant） (ρ) 欧米加常数 卡漢常數 2的自然对数 高斯常數 (G) 2的12次方根 阿培里常数 (ζ(3)) 塑膠數 (ρ) 2的算術平方根 超黃金比例 (ψ) 埃尔德什-波温常数 (E) 黄金分割率 (φ) 3的算術平方根 5的算術平方根 白銀比例 (δS) 6的算術平方根（英语：Square root of 6） 7的算術平方根（英语：Square root of 7） 自然常數/尤拉數 (e) 圓周率 (π) 青銅比例 分裂數（英语：Schizophrenic number） 超越數 三角函數數