在圖中的數軸上,所有大于x 和小于x +a 的数组成了一个开区间。 區間 (英語:interval )在數學 上是指某個範圍的數的集合,或者更一般地是指某个范围的预序集 元素的集合,一般以集合 形式表示。
在初等代數 ,傳統上區間指一個集 ,包含在某兩個特定實數 之間的所有實數,亦可能包含該兩個實數(或其中之一)。區間表示法是表示一個變數在某個區間內的方式。通用的區間表示法中,圓括號表示排除 ,方括號表示包括 。例如,開區間
(
10
,
20
)
{\displaystyle (10,20)}
表示所有在
10
{\displaystyle 10}
和
20
{\displaystyle 20}
之間的實數,但不包括
10
{\displaystyle 10}
或
20
{\displaystyle 20}
。另一方面,閉區間
[
10
,
20
]
{\displaystyle [10,20]}
表示所有在
10
{\displaystyle 10}
和
20
{\displaystyle 20}
之間的實數,以及
10
{\displaystyle 10}
和
20
{\displaystyle 20}
。[1]
在赋予通常序的实数集
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
里,以
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
为端点的开区间 和闭区间 分别是:
(
a
,
b
)
=
{
x
∈
R
:
a
<
x
<
b
}
{\displaystyle (a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\))
[
a
,
b
]
=
{
x
∈
R
:
a
≤
x
≤
b
}
{\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leq x\leq b\))
类似地,以
a
,
b
{\displaystyle a,b}
为端点的两个半开区间 定义为:
(
a
,
b
]
=
{
x
∈
R
:
a
<
x
≤
b
}
{\displaystyle (a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leq b\))
[
a
,
b
)
=
{
x
∈
R
:
a
≤
x
<
b
}
{\displaystyle [a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leq x<b\))
在一些上下文中,两个端点要求满足
a
<
b
{\displaystyle a<b}
。这排除了
a
=
b
{\displaystyle a=b}
从而区间或是单元素集合 或是空集 的情形,也排除了
a
>
b
{\displaystyle a>b}
从而区间为空集的情形。
只有左端点
a
{\displaystyle a}
的开区间 和半开区间 分别如下。
(
a
,
∞
)
=
{
x
∈
R
:
x
>
a
}
,
{\displaystyle (a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x>a\},}
[
a
,
∞
)
=
{
x
∈
R
:
x
≥
a
}
,
{\displaystyle [a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x\geq a\},}
只有右端点
b
{\displaystyle b}
的开区间 和半开区间 分别如下。
(
−
∞
,
b
)
=
{
x
∈
R
:
x
<
b
}
,
{\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon x<b\},}
(
−
∞
,
b
]
=
{
x
∈
R
:
x
≤
b
}
,
{\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon x\leq b\},}
整个实数线等于没有端点的区间:
(
−
∞
,
∞
)
=
R
{\displaystyle (-\infty ,\infty )=\mathbb {R} }
区间的概念在任何偏序集 或者更一般地,在任何预序集 中有定义。对于预序集
(
X
,
≲
)
{\displaystyle (X,\lesssim )}
和两个元素
a
,
b
∈
X
,
{\displaystyle a,b\in X,}
,我们可以类似定义[2] :11, Definition 11
(
a
,
b
)
=
{
x
∈
X
:
a
<
x
<
b
}
{\displaystyle (a,b)=\{x\in X\colon a<x<b\))
[
a
,
b
]
=
{
x
∈
X
:
a
≲
x
≲
b
}
{\displaystyle [a,b]=\{x\in X\colon a\lesssim x\lesssim b\))
(
a
,
b
]
=
{
x
∈
X
:
a
<
x
≲
b
}
{\displaystyle (a,b]=\{x\in X\colon a<x\lesssim b\))
[
a
,
b
)
=
{
x
∈
X
:
a
≲
x
<
b
}
{\displaystyle [a,b)=\{x\in X\colon a\lesssim x<b\))
(
a
,
∞
)
=
{
x
∈
X
:
a
<
x
}
{\displaystyle (a,\infty )=\{x\in X\colon a<x\))
[
a
,
∞
)
=
{
x
∈
X
:
a
≲
x
}
{\displaystyle [a,\infty )=\{x\in X\colon a\lesssim x\))
(
−
∞
,
b
)
=
{
x
∈
X
:
x
<
b
}
{\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in X\colon x<b\))
(
−
∞
,
b
]
=
{
x
∈
X
:
x
≲
b
}
{\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\in X\colon x\lesssim b\))
(
−
∞
,
∞
)
=
X
{\displaystyle (-\infty ,\infty )=X}
其中
x
<
y
{\displaystyle x<y}
意思是
x
≲
y
≴
x
{\displaystyle x\lesssim y\not \lesssim x}
。其实,只有一个端点或者没有端点的区间等同于更大的预序集
X
¯
=
X
⊔
{
−
∞
,
∞
}
{\displaystyle {\bar {X))=X\sqcup \{-\infty ,\infty \))
−
∞
<
x
<
∞
(
∀
x
∈
X
)
{\displaystyle -\infty <x<\infty \qquad (\forall x\in X)}
上具有两个端点的区间,使得它是
X
{\displaystyle X}
的子集。当
X
=
R
{\displaystyle X=\mathbb {R} }
时,可以取
R
¯
{\displaystyle {\bar {\mathbb {R} ))}
为扩展实数线 。
预序集
(
X
,
≲
)
{\displaystyle (X,\lesssim )}
的子集
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
是序凸集 ,如果对于任意
x
,
y
∈
A
{\displaystyle x,y\in A}
以及任意
x
≲
z
≲
y
{\displaystyle x\lesssim z\lesssim y}
有
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
。与实区间的情形不同,预序集的序凸集不一定是区间。例如,在有理数 的全序集
(
Q
,
≤
)
{\displaystyle (\mathbb {Q} ,\leq )}
中,
Q
=
{
x
∈
Q
:
x
2
<
2
}
{\displaystyle \mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {Q} \colon x^{2}<2\))
是序凸集,但它不是
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
的区间,这是因为2的平方根在
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
中是不存在的。
设
(
X
,
≲
)
{\displaystyle (X,\lesssim )}
是一个预序集 ,且
Y
⊆
X
{\displaystyle Y\subseteq X}
。包含在
Y
{\displaystyle Y}
中的
X
{\displaystyle X}
的序凸集关于包含关系构成偏序集 。这个偏序集的极大元 叫做
Y
{\displaystyle Y}
的序凸分支 。[3] :Definition 5.1 由佐恩引理 ,包含在
Y
{\displaystyle Y}
中的
X
{\displaystyle X}
的任意序凸集包含于
Y
{\displaystyle Y}
的一个序凸分支,然而这种序凸分支不一定是唯一的。在全序集 中,这样的序凸分支确实唯一。也就是说,全序集 的子集的序凸分支构成分划 。
區間算術又稱區間數學、區間分析、區間計算,在1950、60年代引進以作數值分析上計算捨去誤差的工具。
T
×
S
=
{
x
∣
{\displaystyle T\times S=\{x\mid {))
屬於
T
{\displaystyle T}
的某些
y
{\displaystyle y}
,及屬於
S
{\displaystyle S}
的某些
z
{\displaystyle z}
,使得
x
=
y
×
z
}
{\displaystyle x=y\times z\))
區間算術的基本運算是,對於實數線上的子集
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
及
[
c
,
d
]
{\displaystyle [c,d]}
:
[
a
,
b
]
+
[
c
,
d
]
=
[
a
+
c
,
b
+
d
]
{\displaystyle [a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]}
[
a
,
b
]
−
[
c
,
d
]
=
[
a
−
d
,
b
−
c
]
{\displaystyle [a,b]-[c,d]=[a-d,b-c]}
[
a
,
b
]
×
[
c
,
d
]
=
[
min
{
a
c
,
a
d
,
b
c
,
b
d
}
,
max
{
a
c
,
a
d
,
b
c
,
b
d
}
]
{\displaystyle [a,b]\times [c,d]=[\min\{ac,ad,bc,bd\},\max\{ac,ad,bc,bd\}]}
[
a
,
b
]
[
c
,
d
]
=
[
min
{
a
c
,
a
d
,
b
c
,
b
d
}
,
max
{
a
c
,
a
d
,
b
c
,
b
d
}
]
{\displaystyle {\frac {[a,b]}{[c,d]))=\left[\min \left\((\frac {a}{c)),{\frac {a}{d)),{\frac {b}{c)),{\frac {b}{d))\right\},\max \left\((\frac {a}{c)),{\frac {a}{d)),{\frac {b}{c)),{\frac {b}{d))\right\}\right]}
被一個包含零的區間除,在基礎區間算術上無定義。
加法和乘法符合交換律 、結合律 和子分配律 :集
X
(
Y
+
Z
)
{\displaystyle X(Y+Z)}
是
X
Y
+
X
Z
{\displaystyle XY+XZ}
的子集。
在法国 及其他一些欧洲 国家,用
]
[
{\displaystyle ][}
代替
(
)
{\displaystyle ()}
來表示开区间,例如:
]
a
,
b
[
=
{
x
∣
a
<
x
<
b
}
{\displaystyle \left]a,b\right[=\{x\mid a<x<b\))
[
a
,
b
]
=
{
x
∣
a
≤
x
≤
b
}
{\displaystyle \left[a,b\right]=\{x\mid a\leq x\leq b\))
[
a
,
b
[
=
{
x
∣
a
≤
x
<
b
}
{\displaystyle \left[a,b\right[=\{x\mid a\leq x<b\))
]
a
,
b
]
=
{
x
∣
a
<
x
≤
b
}
{\displaystyle \left]a,b\right]=\{x\mid a<x\leq b\))
國際標準化組織 編制的ISO 31-11也允許這種寫法[4] 。
另外,在小數點 以逗號來表示的情況下,為免產生混淆,分隔兩數的逗號要用分號來代替,例如將
[
1
,
2.3
]
{\displaystyle [1,2.3]}
寫成
[
1
;
2
,
3
]
{\displaystyle [1;2,\!3]}
。若只把小數點寫成逗號,就會變成
[
1
,
2
,
3
]
{\displaystyle [1,2,\!3]}
,此時不易判斷究竟是
1.2
{\displaystyle 1.2}
與
3
{\displaystyle 3}
之間,還是
1
{\displaystyle 1}
與
2.3
{\displaystyle 2.3}
之間的閉區間。
^ Interval and segment - Encyclopedia of Mathematics . encyclopediaofmath.org. Springer & The European Mathematical Society. [2021-05-18 ] . (原始内容 存档于2014-12-26).
^ Vind, Karl. Independence, additivity, uncertainty. Studies in Economic Theory 14 . Berlin: Springer. 2003. ISBN 978-3-540-41683-8 . Zbl 1080.91001 . doi:10.1007/978-3-540-24757-9 (英语) .
^ Heath, R. W.; Lutzer, David J.; Zenor, P. L. Monotonically normal spaces. Transactions of the American Mathematical Society. 1973, 178 : 481–493. ISSN 0002-9947 . MR 0372826 . Zbl 0269.54009 . doi:10.2307/1996713 (英语) .
^ ISO 31-11:1992 . ISO. [2021-05-18 ] . (原始内容 存档于2021-05-18) (英语) .