R ² 的连通和不连通子空间。上面的空间 A 是连通的,下面的空间 B 是不连通的。在拓扑学 及相关的数学領域中,连通空间 是指不能表示为两个或多个不相交的非空开集 的并集的拓扑空间 。
如果拓扑空间
X
{\displaystyle X}
中存在兩個分離 的非空 开集
A
,
B
{\displaystyle A,B}
使得它們的并集 等於
X
{\displaystyle X}
,則
X
{\displaystyle X}
被稱作不连通 的,否則稱它是連通 的。
對拓扑空间
X
{\displaystyle X}
,以下條件為等價的:
X
{\displaystyle X}
連通,即
X
{\displaystyle X}
不能表示为两个分離的非空开集的并集。
X
{\displaystyle X}
只有
∅
{\displaystyle \emptyset }
和
X
{\displaystyle X}
這兩個平凡的閉開集 。
所有從
X
{\displaystyle X}
到
{
0
,
1
}
{\displaystyle \{0,1\))
的連續函數 都是常數函數 ,其中空間
{
0
,
1
}
{\displaystyle \{0,1\))
由兩點集的離散拓撲 構成。 连通性是拓扑空间的一个拓扑不变性质,即如果两个同胚 拓扑空间之一连通,则另一个空间也连通。
一些数学家承认空集 (按照它独有的拓扑)是连通空间,不过也有数学家不承认这一点。
如果拓扑空间
X
{\displaystyle X}
的子集
A
{\displaystyle A}
诱导的子拓扑空间 是连通的,則
A
{\displaystyle A}
被称为
X
{\displaystyle X}
的连通子集 。
對拓撲空間
X
{\displaystyle X}
上的點
x
{\displaystyle x}
,所有包含
x
{\displaystyle x}
的連通子集的聯集
U
x
=
⋃
S
連 通
,
x
∈
S
S
{\displaystyle U_{x}=\bigcup _{S{\text{連 通 )),x\in S}S}
也是連通的。作為包含
x
{\displaystyle x}
的极大连通子集,
U
x
{\displaystyle U_{x))
称作關於
x
{\displaystyle x}
的连通单元 。
如果
X
{\displaystyle X}
的所有連通單元都是单元素集合,則稱
X
{\displaystyle X}
為完全不连通空间 。
每个空间都能表成它的连通单元的不相交并集。
连通单元必為閉集 ,在一些理想的拓撲空间(如流形 、代数簇 )上同時是開集,但這不代表連通單元總是閉開集(例如完全不連通空間
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
,單元素集合在該空間中並非開集)。
R ² 的这个子空间是道路连通的,因为在这个空间的任何两点之间可绘制一个道路。 称拓扑空间X是道路 连通空间 ,当且仅当∀x,y∈X,存在连续函数
γ
:
[
0
,
1
]
→
X
{\displaystyle \gamma :[0,1]\to X}
使得
γ
(
0
)
=
x
,
γ
(
1
)
=
y
{\displaystyle \gamma (0)=x,\gamma (1)=y}
。若
γ
{\displaystyle \gamma }
可取为使得
[
0
,
1
]
→
γ
(
[
0
,
1
]
)
{\displaystyle [0,1]\to \gamma ([0,1])}
为同胚 ,则称X为弧连通空间 。 道路连通空间 必定是连通空间 ,反之不一定。
道路连通的豪斯多夫空间 必为弧连通空间。
拓扑空间 X称为局部连通 的,当且仅当以下叙述之一成立:
空间中的任一点都存在连通的邻域(即该邻域是X的连通子集)。
空间的拓扑基完全由连通的集合组成。
拓扑学家的正弦曲线 :在平面欧几里得空间
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2))
中定义集合
S
=
{
(
x
,
sin
1
x
)
|
x
∈
(
0
,
1
]
}
{\displaystyle S=\{(x,\sin {\frac {1}{x)))|x\in (0,1]\))
和
T
=
{
(
0
,
y
)
|
y
∈
[
0
,
1
]
}
{\displaystyle T=\{(0,y)|y\in [0,1]\))
。考虑
S
∪
T
{\displaystyle S\cup T}
在
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2))
中诱导的子拓扑空间,它是连通的,但不是局部连通 的。
有理数 :有理数集上的连通单元都是单元素集合 ,所以有理数集是一个完全不连通空间。
拓撲空間
X
{\displaystyle X}
中帶有公共點
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
的連通子集的聯集連通。
令
A
{\displaystyle A}
為拓撲空間
X
{\displaystyle X}
中的一個連通子集,則所有滿足
A
⊂
B
⊂
A
¯
{\displaystyle A\subset B\subset {\overline {A))}
的子集
B
{\displaystyle B}
皆為連通子集,其中
A
¯
{\displaystyle {\overline {A))}
為
A
{\displaystyle A}
的閉包 。
序拓撲 中的連通子集都是凸集 。
實數
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
是連通空間,它的所有(可以是無限)區間 皆為連通子集。
對拓撲空間之間的連續函數
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\rightarrow Y}
,
X
{\displaystyle X}
的連通子集在
f
{\displaystyle f}
下的像 是
Y
{\displaystyle Y}
的連通子集。這是
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
上中間值定理 的推廣。
連通空間的有限積空間 連通。[ 1]
Munkres, James R. Topology, Second Edition. Prentice Hall. 2000. ISBN 0-13-181629-2 .
埃里克·韦斯坦因 . Connected Set . MathWorld .
V. I. Malykhin, Connected space , Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
Muscat, J; Buhagiar, D. Connective Spaces (PDF) . Mem. Fac. Sci. Eng. Shimane Univ., Series B: Math. Sc. 2006, 39 : 1–13 [2011-09-06 ] . (原始内容 (PDF) 存档于2016-03-04). .