皮埃爾·德·費馬 費馬原理 (英語:Fermat's principle )最早由法国 科学家 皮埃爾·德·費馬 在1662年提出:光传播的路径是光程 取极值 的路径。这个极值可能是极大值、极小值或函数 的拐点 。 [ 1] 最初提出时,又名「最短時間原理」:光線 傳播的路徑是需時最少的路徑[ 2] 。
費馬原理更正確的稱謂應是「平穩時間原理」:光沿着所需时间为平稳 的路径传播。平稳是数学上的微分 概念,可以理解为一阶导数为零,它可以是极大值、极小值甚至是拐点。
費馬原理是几何光学 的基本定理。用微分 或变分法 可以从費馬原理导出以下三个几何光学定律:
光线在真空 中的直线传播。
光的反射定律 - 光线在界面上的反射 , 入射角必须等于出射角。
光的折射定律 (斯涅尔定律 )。最短光时线可以有多条,例如光线从椭圆面焦点A经过反射到另一焦点B,可以有无数条路径,所有这些路径的光線傳播时間都相等。
光線從點Q傳播至點O時,會被半圓形或混合形鏡子
反射 ,最終抵達點P。
費馬原理更正確的版本應是「平穩時間原理」。對於某些狀況,光線傳播的路徑所需的時間可能不是最小值,而是最大值,或甚至是拐值 。[ 1]
平面鏡:任意兩點的反射路徑光程是最小值。
半橢圓形鏡子:其兩個焦點的光線反射路徑不是唯一的,光程都一樣,是最大值,也是最小值。
半圓形鏡子:其兩個端點Q、P的反射路徑光程是最大值。
如最右圖所示,對於由四分之一圓形鏡與平面鏡組合而成的鏡子,同樣這兩個點Q、P的反射路徑的光程是拐值。 光在平面上的反射 平面反射的光程 光从P点出发射向x点,反射到Q点。
P 点到 x点的距离
d
1
=
x
2
+
a
2
{\displaystyle d1={\sqrt {x^{2}+a^{2))))
Q 点 到 x 点的距离
d
2
=
b
2
+
(
l
−
x
)
2
{\displaystyle d2={\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2))))
從點P到點Q的光程 D 為
D
=
x
2
+
a
2
+
b
2
+
(
l
−
x
)
2
{\displaystyle D={\sqrt {x^{2}+a^{2))}+{\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2))))
。根據費馬原理,光線在真空中傳播的路徑是光程為極值的路徑。
取光程
D
{\displaystyle D}
對
x
{\displaystyle x}
的導數,令其為零:
D
′
=
x
x
2
+
a
2
{\displaystyle D'={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2))))}
+
−
l
+
x
b
2
+
(
l
−
x
)
2
=
0
{\displaystyle +{\frac {-l+x}{\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2))))=0}
。但其中
x
x
2
+
a
2
=
sin
θ
1
{\displaystyle {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2))))=\sin \theta _{1))
−
l
−
x
b
2
+
(
l
−
x
)
2
=
−
sin
θ
2
{\displaystyle -{\frac {l-x}{\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2))))=-\sin \theta _{2))
。
即
sin
θ
1
−
sin
θ
2
=
0
{\displaystyle \sin \theta _{1}-\sin \theta _{2}=0}
θ
1
=
θ
2
{\displaystyle \theta _{1}=\theta _{2))
这就是反射定律
光線從點Q傳播至點O時,會被半圓形鏡子反射 ,最終抵達點P。
R=5 半圆镜的反射点在圆的顶点 ,光程最长=2.82R
球面的半径=R
光线从直径一端Q射向球面,反射到直径另一端P
光程
D
=
y
2
+
(
R
+
x
)
2
+
y
2
+
(
−
x
+
R
)
2
{\displaystyle D={\sqrt {y^{2}+(R+x)^{2))}+{\sqrt {y^{2}+(-x+R)^{2))))
因
y
2
=
R
2
−
x
2
{\displaystyle y^{2}=R^{2}-x^{2))
;
所以
D
=
2
R
2
+
2
x
R
+
−
2
x
R
+
2
R
2
{\displaystyle D={\sqrt {2R^{2}+2xR))+{\sqrt {-2xR+2R^{2))))
根据费马原理, D'=0
D
′
=
R
2
R
2
+
2
x
R
−
R
−
2
x
R
+
2
R
2
=
0
{\displaystyle D'={\frac {R}{\sqrt {2R^{2}+2xR))}-{\frac {R}{\sqrt {-2xR+2R^{2))))=0}
解之, 得
x
=
0
{\displaystyle x=0}
,代入D得到:
光程
D
=
2
2
R
{\displaystyle D=2{\sqrt {2))R}
,乃是一个最大值=2.8R;(最小值光程是从直径一端到Q另一端P,光程=2R)
光線從介質1的點Q,在點O傳播進入介質2,發生折射,最後抵達介質2的點P。 如右圖所示,設定介質1、介質2的折射率分別為
n
1
{\displaystyle n_{1))
、
n
2
{\displaystyle n_{2))
,光線從介質1在點O傳播進入介質2,則司乃耳定律以方程式表達為
n
1
sin
θ
1
=
n
2
sin
θ
2
{\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2))
;其中,
θ
1
{\displaystyle \theta _{1))
為入射角,
θ
2
{\displaystyle \theta _{2))
為折射角。
從費馬原理,可以推導出司乃耳定律 。光線在介質1與介質2的速度
v
1
{\displaystyle v_{1))
和
v
2
{\displaystyle v_{2))
分別為
v
1
=
c
/
n
1
{\displaystyle v_{1}=c/n_{1))
、
v
2
=
c
/
n
2
{\displaystyle v_{2}=c/n_{2))
;其中,
c
{\displaystyle c}
是真空 光速。
由於介質會減緩光線的速度,折射率
n
1
{\displaystyle n_{1))
和
n
2
{\displaystyle n_{2))
都大於
1
{\displaystyle 1}
。
從點Q到點P的傳播時間
T
{\displaystyle T}
為
T
=
x
2
+
a
2
v
1
+
b
2
+
(
l
−
x
)
2
v
2
{\displaystyle T={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2))}{v_{1))}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2))}{v_{2))))
。根據費馬原理,光線傳播的路徑是所需時間為極值的路徑,取傳播時間
T
{\displaystyle T}
對
x
{\displaystyle x}
的導數,設定其為零:
d
T
d
x
=
x
v
1
x
2
+
a
2
+
−
(
l
−
x
)
v
2
(
l
−
x
)
2
+
b
2
=
0
{\displaystyle {\frac {dT}{dx))={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {x^{2}+a^{2))))}+{\frac {-(l-x)}{v_{2}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2))))}=0}
。其中
x
x
2
+
a
2
=
sin
θ
1
{\displaystyle {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2))))=\sin \theta _{1))
(
l
−
x
)
(
l
−
x
)
2
+
b
2
=
sin
θ
2
{\displaystyle {\frac {(l-x)}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2))))=\sin \theta _{2))
因此得到傳播速度與折射角的關係式:
d
T
d
x
=
sin
θ
1
v
1
−
sin
θ
2
v
2
=
0
{\displaystyle {\frac {dT}{dx))={\frac {\sin \theta _{1)){v_{1))}-{\frac {\sin \theta _{2)){v_{2))}=0}
。將傳播速度與折射率的關係式代入,就會得到司乃耳定律:
n
1
sin
θ
1
=
n
2
sin
θ
2
{\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2))
。伯努利家族 的约翰·伯努利 在解决最速降线问题 时曾利用到费马原理。[ 3] 他将小球运动类比作光线的运动,从而得出最速降线为摆线 。
^ 1.0 1.1 Hecht, Eugene, Optics 4th, United States of America: Addison Wesley: pp. 106–111, 141, 2002, ISBN 0-8053-8566-5 (英语)
^ Dugas, R., A History Of Mechanics, New York: Dover Publications, Inc.: pp. 255ff, 274, 345–346, 1988, ISBN 0-486-65632-2
^ http://www.guokr.com/article/22018/ (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 ) 复活节闲扯:一场激动人心的数学公开挑战赛,果壳网。
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《費馬大定理 》(科普書籍)