費馬原理（英語：Fermat's principle）最早由法国科学家皮埃爾·德·費馬在1662年提出：光传播的路径是光程取极值的路径。这个极值可能是极大值、极小值或函数的拐点。 ^[1]最初提出时，又名「最短時間原理」：光線傳播的路徑是需時最少的路徑^[2]。

費馬原理更正確的稱謂應是「平穩時間原理」：光沿着所需时间为平稳的路径传播。平稳是数学上的微分概念，可以理解为一阶导数为零，它可以是极大值、极小值甚至是拐点。

費馬原理是几何光学的基本定理。用微分或变分法可以从費馬原理导出以下三个几何光学定律：

1. 光线在真空中的直线传播。
2. 光的反射定律 - 光线在界面上的反射， 入射角必须等于出射角。
3. 光的折射定律（斯涅尔定律）。

最短光时线可以有多条，例如光线从椭圆面焦点A经过反射到另一焦点B，可以有无数条路径，所有这些路径的光線傳播时間都相等。

光線從點Q傳播至點O時，會被半圓形或混合形鏡子反射，最終抵達點P。

費馬原理更正確的版本應是「平穩時間原理」。對於某些狀況，光線傳播的路徑所需的時間可能不是最小值，而是最大值，或甚至是拐值。^[1]

• 平面鏡：任意兩點的反射路徑光程是最小值。
• 半橢圓形鏡子：其兩個焦點的光線反射路徑不是唯一的，光程都一樣，是最大值，也是最小值。
• 半圓形鏡子：其兩個端點Q、P的反射路徑光程是最大值。
• 如最右圖所示，對於由四分之一圓形鏡與平面鏡組合而成的鏡子，同樣這兩個點Q、P的反射路徑的光程是拐值。

光从P点出发射向x点，反射到Q点。

P 点到 x点的距离 ${\displaystyle d1={\sqrt {x^{2}+a^{2))))$

Q 点 到 x 点的距离 ${\displaystyle d2={\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2))))$

從點P到點Q的光程 D 為

${\displaystyle D={\sqrt {x^{2}+a^{2))}+{\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2))))$ 。

根據費馬原理，光線在真空中傳播的路徑是光程為極值的路徑。

取光程 ${\displaystyle D}$ 對 ${\displaystyle x}$ 的導數，令其為零：

${\displaystyle D'={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2))))}$${\displaystyle +{\frac {-l+x}{\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2))))=0}$ 。

但其中

${\displaystyle {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2))))=\sin \theta _{1))$

${\displaystyle -{\frac {l-x}{\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2))))=-\sin \theta _{2))$ 。

即

${\displaystyle \sin \theta _{1}-\sin \theta _{2}=0}$

${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{2))$

这就是反射定律

球面的半径=R

光线从直径一端Q射向球面，反射到直径另一端P

光程${\displaystyle D={\sqrt {y^{2}+(R+x)^{2))}+{\sqrt {y^{2}+(-x+R)^{2))))$

因${\displaystyle y^{2}=R^{2}-x^{2))$;

所以

${\displaystyle D={\sqrt {2R^{2}+2xR))+{\sqrt {-2xR+2R^{2))))$

根据费马原理， D'=0

${\displaystyle D'={\frac {R}{\sqrt {2R^{2}+2xR))}-{\frac {R}{\sqrt {-2xR+2R^{2))))=0}$

解之， 得 ${\displaystyle x=0}$，代入D得到：

光程${\displaystyle D=2{\sqrt {2))R}$，乃是一个最大值=2.8R；（最小值光程是从直径一端到Q另一端P，光程=2R）

如右圖所示，設定介質１、介質２的折射率分別為 ${\displaystyle n_{1))$ 、${\displaystyle n_{2))$ ，光線從介質１在點Ｏ傳播進入介質２，則司乃耳定律以方程式表達為

${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2))$ ；

其中，${\displaystyle \theta _{1))$ 為入射角，${\displaystyle \theta _{2))$ 為折射角。

從費馬原理，可以推導出司乃耳定律。光線在介質１與介質２的速度 ${\displaystyle v_{1))$ 和 ${\displaystyle v_{2))$ 分別為

${\displaystyle v_{1}=c/n_{1))$ 、

${\displaystyle v_{2}=c/n_{2))$ ；

其中，${\displaystyle c}$ 是真空光速。

由於介質會減緩光線的速度，折射率 ${\displaystyle n_{1))$ 和 ${\displaystyle n_{2))$ 都大於 ${\displaystyle 1}$ 。

從點Q到點P的傳播時間 ${\displaystyle T}$ 為

${\displaystyle T={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2))}{v_{1))}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2))}{v_{2))))$ 。

根據費馬原理，光線傳播的路徑是所需時間為極值的路徑，取傳播時間 ${\displaystyle T}$ 對 ${\displaystyle x}$ 的導數，設定其為零：

${\displaystyle {\frac {dT}{dx))={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {x^{2}+a^{2))))}+{\frac {-(l-x)}{v_{2}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2))))}=0}$ 。

其中 ${\displaystyle {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2))))=\sin \theta _{1))$

${\displaystyle {\frac {(l-x)}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2))))=\sin \theta _{2))$

因此得到傳播速度與折射角的關係式：

${\displaystyle {\frac {dT}{dx))={\frac {\sin \theta _{1)){v_{1))}-{\frac {\sin \theta _{2)){v_{2))}=0}$ 。

將傳播速度與折射率的關係式代入，就會得到司乃耳定律：

${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2))$ 。

伯努利家族的约翰·伯努利在解决最速降线问题时曾利用到费马原理。^[3]他将小球运动类比作光线的运动，从而得出最速降线为摆线。

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