一個無阻尼彈簧 - 質量體系統構成一個簡諧振子。 古典力學 中,一個諧振子 (英語:harmonic oscillator )乃一個系統,當其從平衡位置位移 ,會感受到一個恢復力
F
{\displaystyle F}
正比於位移
x
{\displaystyle x}
,並遵守虎克定律 :
F
=
−
k
x
{\displaystyle F=-kx\,}
其中
k
{\displaystyle k}
是一個正值常數 。
如果
F
{\displaystyle F}
是系統僅受的力,則系統稱作簡諧振子 (簡單和諧振子)。而其進行簡諧運動 ——正中央為平衡點的正弦 或餘弦 的振動 ,且振幅 與頻率 都是常數(頻率跟振幅無關)。
若同時存在一摩擦力正比於速度 ,則會存在阻尼 現象,稱這諧振子為阻尼振子 。在這樣的情形,振動頻率小於無阻尼情形,且振幅隨著時間減小。
若同時存在跟時間相關的外力,諧振子則稱作是受驅振子 。
力學上的例子包括了單擺 (限於小角度位移之近似)、連接到彈簧 的質量體,以及聲學 系統。其他的相類系統包括了電學諧振子(electrical harmonic oscillator,參見RLC電路 )。
簡諧振子沒有驅動力,也沒有摩擦 (阻尼 ),所以淨力單純為:
F
=
−
k
x
{\displaystyle F=-kx\,}
利用牛頓第二定律
F
=
m
a
=
−
k
x
{\displaystyle F=ma=-kx\,}
則加速度
a
{\displaystyle a}
等於是
x
{\displaystyle x}
的二次微分導數:
m
d
2
x
d
t
2
=
−
k
x
{\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2))}=-kx}
若定義
ω
0
2
=
k
/
m
{\displaystyle {\omega _{0))^{2}=k/m}
,則方程式可以寫為如下:
d
2
x
d
t
2
+
ω
0
2
x
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2))}+{\omega _{0))^{2}x=0}
可以觀察到:
d
2
x
d
t
2
=
x
¨
=
d
x
˙
d
t
d
x
d
x
=
d
x
˙
d
x
d
x
d
t
=
d
x
˙
d
x
x
˙
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2))}={\ddot {x))={\frac {\mathrm {d} {\dot {x))}{\mathrm {d} t)){\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} x))={\frac {\mathrm {d} {\dot {x))}{\mathrm {d} x)){\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t))={\frac {\mathrm {d} {\dot {x))}{\mathrm {d} x)){\dot {x))}
然後代回原式得到
d
x
˙
d
x
x
˙
+
ω
0
2
x
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\dot {x))}{\mathrm {d} x)){\dot {x))+{\omega _{0))^{2}x=0}
d
x
˙
⋅
x
˙
+
ω
0
2
x
⋅
d
x
=
0
{\displaystyle \mathrm {d} {\dot {x))\cdot {\dot {x))+{\omega _{0))^{2}x\cdot \mathrm {d} x=0}
積分可得
x
˙
2
+
ω
0
2
x
2
=
K
{\displaystyle {\dot {x))^{2}+{\omega _{0))^{2}x^{2}=K}
其中K 是積分常數 ,設K = (A ω 0 )2
x
˙
2
=
A
2
ω
0
2
−
ω
0
2
x
2
{\displaystyle {\dot {x))^{2}=A^{2}{\omega _{0))^{2}-{\omega _{0))^{2}x^{2))
x
˙
=
±
ω
0
A
2
−
x
2
{\displaystyle {\dot {x))=\pm {\omega _{0)){\sqrt {A^{2}-x^{2))))
d
x
±
A
2
−
x
2
=
ω
0
d
t
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\pm {\sqrt {A^{2}-x^{2))))}={\omega _{0))\mathrm {d} t}
經過積分,結果(包括積分常數φ)為
{
arcsin
x
A
=
ω
0
t
+
ϕ
arccos
x
A
=
ω
0
t
+
ϕ
{\displaystyle {\begin{cases}\arcsin {\frac {x}{A))=\omega _{0}t+\phi \\\arccos {\frac {x}{A))=\omega _{0}t+\phi \end{cases))}
並有一般解
x
=
A
cos
(
ω
0
t
+
ϕ
)
{\displaystyle x=A\cos {(\omega _{0}t+\phi )}\,}
其中振幅
A
{\displaystyle A\,}
以及相位
ϕ
{\displaystyle \phi \,}
可透過初始條件 來決定。
另外也可以將一般解寫成
x
=
A
sin
(
ω
0
t
+
ϕ
)
{\displaystyle x=A\sin {(\omega _{0}t+\phi )}\,}
其中
ϕ
{\displaystyle \phi \,}
的值與前面形式相比,偏移了
π
/
2
{\displaystyle \pi /2\,}
;
又可以寫作
x
=
A
sin
ω
0
t
+
B
cos
ω
0
t
{\displaystyle x=A\sin {\omega _{0}t}+B\cos {\omega _{0}t}\,}
其中
A
{\displaystyle A\,}
與
B
{\displaystyle B\,}
為透過初始條件決定的常數,以替代前面形式的
A
{\displaystyle A\,}
與
ϕ
{\displaystyle \phi \,}
。
振動頻率 則為
f
=
ω
0
2
π
{\displaystyle f={\frac {\omega _{0)){2\pi ))}
動能 為
T
=
1
2
m
(
d
x
d
t
)
2
=
1
2
k
A
2
sin
2
(
ω
0
t
+
ϕ
)
{\displaystyle T={\frac {1}{2))m\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t))\right)^{2}={\frac {1}{2))kA^{2}\sin ^{2}(\omega _{0}t+\phi )}
.以及勢能 (位能)為
U
=
1
2
k
x
2
=
1
2
k
A
2
cos
2
(
ω
0
t
+
ϕ
)
{\displaystyle U={\frac {1}{2))kx^{2}={\frac {1}{2))kA^{2}\cos ^{2}(\omega _{0}t+\phi )}
所以系統總能 為定值:
E
=
1
2
k
A
2
{\displaystyle E={\frac {1}{2))kA^{2))
一受驅諧振子滿足如下非齊次(nonhomogeneous)二階線性微分方程
d
2
x
d
t
2
+
ω
0
2
x
=
A
0
cos
(
ω
t
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2))}+{\omega _{0))^{2}x=A_{0}\cos(\omega t)}
,其中
A
0
{\displaystyle A_{0))
是驅動振幅而
ω
{\displaystyle \omega }
是驅動頻率,針對的是一弦波式的驅動機制。這樣的系統出現在交流 LC(電感 L-電容 C)電路以及理想化的彈簧系統(沒有內部力學阻力或外部的空氣阻力 )。
一阻尼諧振子滿足如下二階微分方程
d
2
x
d
t
2
+
b
m
d
x
d
t
+
ω
0
2
x
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2))}+{\frac {b}{m)){\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t))+{\omega _{0))^{2}x=0}
,其中
b
{\displaystyle b}
是由實驗決定的阻尼常數,滿足關係式
F
=
−
b
v
{\displaystyle F=-bv}
。遵守此方程式的系統,其中一例為置於水中的加權彈簧(weighted spring),若假設水所施的阻尼力與速度
v
{\displaystyle v}
呈線性比例關係。
阻尼諧振子的頻率為
ω
1
=
ω
0
2
−
R
m
2
{\displaystyle \omega _{1}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-R_{m}^{2))))
其中
R
m
=
b
2
m
{\displaystyle R_{m}={\frac {b}{2m))}
。受驅阻尼振子滿足方程式
m
d
2
x
d
t
2
+
r
d
x
d
t
+
k
x
=
F
0
cos
(
ω
t
)
{\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2))}+r{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t))+kx=F_{0}\cos(\omega t)}
。其一般解為兩個解的和,一為暫態 解(無驅動阻尼諧振子之齊次常微分方程的解),與初始條件相關;另一為穩態 解(非齊次常微分方程式之特殊解),與初始條件無關,只與驅動頻率、驅動力、阻尼力有關。
穩態解為
x
(
t
)
=
F
0
Z
m
ω
sin
(
ω
t
−
ϕ
)
{\displaystyle x(t)={\frac {F_{0)){Z_{m}\omega ))\sin(\omega t-\phi )}
其中
Z
m
=
r
2
+
(
ω
m
−
k
ω
)
2
{\displaystyle Z_{m}={\sqrt {r^{2}+\left(\omega m-{\frac {k}{\omega ))\right)^{2))))
為阻抗(impedance)或線性響應函數(linear response function)之絕對值
Z
=
r
+
i
(
ω
m
−
k
ω
)
{\displaystyle Z=r+i\left(\omega m-{\frac {k}{\omega ))\right)}
而
ϕ
=
arctan
(
ω
m
−
k
ω
r
)
{\displaystyle \phi =\arctan \left({\frac {\omega m-{\frac {k}{\omega ))}{r))\right)}
為相對於驅動力(相位定為0)的振動相位 。
可以觀察到,當在某特定驅動頻率
ω
{\displaystyle \omega }
時,振子振動之振幅(相對於一給定之
F
0
{\displaystyle F_{0))
)達到最大。這發生在頻率為
ω
r
=
k
m
−
2
(
r
2
m
)
2
{\displaystyle {\omega }_{r}={\sqrt ((\frac {k}{m))-2\left({\frac {r}{2m))\right)^{2))))
之時,而此現象稱之為(位移上的)共振 。
總結來說,在穩態時,振動頻率等同於驅動力的頻率,但振動與驅動力在相位上有偏移;且振幅大小與驅動頻率相關,當驅動頻率與振動系統偏好(共振)頻率相同時,振幅達到最大。
例子:RLC電路 ;電阻 類比於阻尼 。
多數諧振子,至少近似上地說,是在解以下的微分方程式:
d
2
x
d
t
2
+
b
m
d
x
d
t
+
ω
0
2
x
=
A
0
cos
(
ω
t
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2))}+{\frac {b}{m)){\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t))+{\omega _{0))^{2}x=A_{0}\cos(\omega t)}
其中t 是時間,b 是阻尼常數,ωo 是本徵角頻率 ,而A o cos(ωt )代表驅動系統的某種事物,其振幅A o 而角頻率ω。x 是進行振盪的被測量量;可以是位置、電流或其他任何可能的物理量。角頻率 與頻率f 有關,關係式為
f
=
ω
2
π
{\displaystyle f={\frac {\omega }{2\pi ))}
。振幅 :偏離平衡點 的最大的位移量。
週期 :系統完成一個振盪循環所需的時間,為頻率 的倒數。
頻率 :單位時間內系統執行的循環總數量(通常以赫茲 = 1/秒為量度)。
角頻率 :
ω
=
2
π
f
{\displaystyle \omega =2\pi f}
相位 :系统完成了循环的多少(开始时,系统的相位为零;完成了循环的一半时,系统的相位为
π
{\displaystyle \pi }
)。
初始條件 :t = 0时系统的状态。