群论中的结构常数是定义在李群上的一组常数。它们决定了该李群的李代数的元素之间的李括号（对易关系）。反过来，给定一组满足某些性质的常数，就一定存在以它们为结构常数的局部李群。

定义

给定${\displaystyle r}$维李群${\displaystyle G}$上的${\displaystyle r}$个线性无关的右不变向量场${\displaystyle X_{i}(1\leq i\leq r)}$，它们构成了${\displaystyle G}$的李代数的一组基底。设

${\displaystyle [X_{i},X_{j}]=C_{ij}^{k}X_{k))$，

其中${\displaystyle [,]}$表示李括号。可以证明${\displaystyle C_{ij}^{k))$是一组常数，它们称为李群${\displaystyle G}$的结构常数。

性质

李群${\displaystyle G}$的结构常数满足反对称性

${\displaystyle C_{ij}^{k}=-C_{ji}^{k))$，

以及Jacobi恒等式

${\displaystyle C_{ij}^{k}C_{lm}^{i}+C_{il}^{k}C_{mj}^{i}+C_{im}^{k}C_{jl}^{i}=0}$。

反过来，如果有一组常数${\displaystyle C_{ij}^{k},1\leq i,j,k\leq r}$满足上述两条性质，那么一定存在一个局部李群以这组常数为结构常数。

参考资料

外部链接