A
=
{
x
,
y
,
z
}
{\displaystyle A=\{x,y,z\))
與
B
=
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle B=\{1,2,3\))
的笛卡尔积在数学 中,两个集合
X
{\displaystyle X}
和
Y
{\displaystyle Y}
的笛卡儿积 (英語:Cartesian product ),又称直积 ,在集合论中表示为
X
×
Y
{\displaystyle \,X\times Y}
,是所有可能的有序对 組成的集合,其中有序對的第一个对象是
X
{\displaystyle \,X\,}
的成员,第二个对象是
Y
{\displaystyle \,Y\,}
的成员。
X
×
Y
=
{
(
x
,
y
)
∣
x
∈
X
∧
y
∈
Y
}
{\displaystyle X\times Y=\left\{\left(x,y\right)\mid x\in X\land y\in Y\right\))
。舉個實例,如果集合
X
{\displaystyle \,X\,}
是13个元素的点数集合
{
A
,
K
,
Q
,
J
,
10
,
9
,
8
,
7
,
6
,
5
,
4
,
3
,
2
}
{\displaystyle \left\{A,K,Q,J,10,9,8,7,6,5,4,3,2\right\))
,而集合
Y
{\displaystyle \,Y\,}
是4个元素的花色集合
{
{\displaystyle \{}
♠, ♥, ♦, ♣
}
{\displaystyle \))
,则这两个集合的笛卡儿积是有52个元素的标准扑克牌的集合
{
(
A
,
{\displaystyle \{(A,}
♠
)
,
(
K
,
{\displaystyle ),(K,}
♠
)
,
.
.
.
,
(
2
,
{\displaystyle ),...,(2,}
♠
)
,
.
.
.
,
(
A
,
{\displaystyle ),...,(A,}
♣
)
,
.
.
.
,
(
3
,
{\displaystyle ),...,(3,}
♣
)
,
(
2
,
{\displaystyle ),(2,}
♣
)
}
{\displaystyle )\))
。
笛卡儿积得名于笛卡儿 ,因為這概念是由他建立的解析几何 引申出來。
易见笛卡儿积满足下列性质:
对于任意集合
A
{\displaystyle A}
,根据定义有
A
×
∅
=
∅
×
A
=
∅
{\displaystyle A\times \varnothing =\varnothing \times A=\varnothing }
一般来说笛卡儿积不满足交换律 和结合律 。
笛卡儿积对集合的并 和交 满足分配律 ,即
A
×
(
B
∪
C
)
=
(
A
×
B
)
∪
(
A
×
C
)
{\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)}
(
B
∪
C
)
×
A
=
(
B
×
A
)
∪
(
C
×
A
)
{\displaystyle (B\cup C)\times A=(B\times A)\cup (C\times A)}
A
×
(
B
∩
C
)
=
(
A
×
B
)
∩
(
A
×
C
)
{\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)}
(
B
∩
C
)
×
A
=
(
B
×
A
)
∩
(
C
×
A
)
{\displaystyle (B\cap C)\times A=(B\times A)\cap (C\times A)}
(
A
×
B
)
∩
(
C
×
D
)
=
(
A
∩
C
)
×
(
B
∩
D
)
{\displaystyle (A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D)}
若一個集合
A
{\displaystyle A}
包含有無限多的元素,那這個集合對自身的笛卡爾積
A
×
A
{\displaystyle A\times A}
有和
A
{\displaystyle A}
一樣多的元素。 集合
X
{\displaystyle X}
的笛卡儿平方 (或二元笛卡儿积 )是笛卡儿积
X
×
X
{\displaystyle X\times X}
。一个例子是二维平面
R
×
R
{\displaystyle R\times R}
,(这里
R
{\displaystyle R}
是实数集 ) - 它包含所有的点
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
,这里的
x
{\displaystyle x}
和
y
{\displaystyle y}
是实数(参见笛卡儿坐标系 )。
为了幫助枚舉,可绘制一个表格。一个集合作为行而另一个集合作为列,从行和列的集合选择元素,以形成有序对作为表的单元格。
可以推广到在
n
{\displaystyle n}
个集合
X
1
,
.
.
.
,
X
n
{\displaystyle X_{1},...,X_{n))
上的n -元笛卡儿积 :
∏
i
=
1
n
X
i
:=
X
1
×
…
×
X
n
:=
{
(
x
1
,
…
,
x
n
)
|
x
1
∈
X
1
∧
…
∧
x
n
∈
X
n
}
{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}:=X_{1}\times \ldots \times X_{n}:=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\ |\ x_{1}\in X_{1}\;\land \;\ldots \;\land \;x_{n}\in X_{n}\))
。实际上,它可以被等同为
(
X
1
×
.
.
.
×
X
n
−
1
)
×
X
n
{\displaystyle \left(X_{1}\times ...\times X_{n-1}\right)\times X_{n))
。它是n -元组 的集合。
一个例子是欧几里得 三维空间
R
×
R
×
R
{\displaystyle R\times R\times R}
,这里的
R
{\displaystyle R}
同樣是指实数集。
有限個集合可以看成某個一對一 的有限集合序列
x
=
{
x
(
i
)
}
i
=
1
n
{\displaystyle x={\{x(i)\))_{i=1}^{n))
(因為序列 是種以自然数系
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
為定義域的函數),而
x
{\displaystyle x}
的值域 恰好是預備要依序進行笛卡儿积的所有集合,換句話說:
I
x
=
{
x
(
1
)
,
x
(
2
)
,
…
,
x
(
n
)
}
{\displaystyle I_{x}=\{x(1),\,x(2),\,\dots ,\,x(n)\))
{
1
,
2
,
…
,
n
}
≅
x
I
x
{\displaystyle \{1,\,2,\,\dots ,\,n\}\,{\overset {x}{\cong ))\,I_{x))
這樣的話,若有函数
f
:
I
→
⋃
I
g
{\displaystyle f:I\to \bigcup I_{g))
滿足:
(
∀
i
∈
I
)
[
f
(
i
)
∈
x
(
i
)
]
{\displaystyle (\forall i\in I)[f(i)\in x(i)]}
那就等價於
(
f
(
1
)
,
f
(
2
)
,
…
,
f
(
n
)
)
∈
∏
i
=
1
n
x
(
i
)
{\displaystyle (f(1),\,f(2),\,\dots ,\,f(n))\in \prod _{i=1}^{n}x(i)}
換句話說,函数
f
{\displaystyle f}
可以看做
∏
i
=
1
n
x
(
i
)
{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x(i)}
裡的一個n -元组 ,而這就是以下無窮乘積定義的直觀動機:
在无限情况,一個令人熟悉的特例是,當索引集合是自然数集
N
,
{\displaystyle \mathbb {N} ,}
的时候:这正是其中第i 项对应于集合
X
i
{\displaystyle X_{i))
的所有无限序列的集合。再次,
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
提供了这样的一个例子:
∏
n
=
1
∞
R
=
R
ω
=
R
×
R
×
…
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{\omega }=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \ldots }
是实数的无限序列的搜集 ,可視之为带有無限個构件的向量或元组。另一个特殊情况(上述例子也满足它)是在乘积中的各因子Xi 都是相同的时候,类似于“笛卡儿指数”。這樣,在最先定义中的无限并集 自身就是这个集合自身,而其他条件被平凡的满足了,所以这正是从I 到X 的所有函数的集合。
在別的情況,无限笛卡儿积就不那麼直觀了;尽管在高等数学中的應用有其价值。
“非空集合的任意非空 搜集 的笛卡儿积为非空”這一陳述等价于选择公理 。
如果
f
{\displaystyle f}
是从
A
{\displaystyle A}
到
B
{\displaystyle B}
的函数,而
g
{\displaystyle g}
是从
X
{\displaystyle X}
到
Y
{\displaystyle Y}
的函数,则它们的笛卡儿积
f
×
g
{\displaystyle f\times g}
是从
A
×
X
{\displaystyle A\times X}
到
B
×
Y
{\displaystyle B\times Y}
的函数,带有
(
f
×
g
)
(
a
,
x
)
=
(
f
(
a
)
,
g
(
x
)
)
{\displaystyle (f\times g)(a,x)=(f(a),g(x))}
跟之前類似,函数的笛卡儿积也可以扩展到函数的元组 和无限情況。