相圖 (動態系統)
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相圖是在用繪圖的方式在相平面上表示動態系統的軌跡。每一個不同的初始條件都用一條曲線（或是一個點）表示。
在研究動態系統時，相圖是很重要的工具。相圖是由在相空間中各點軌跡的點圖組成。相圖可以看出動態系統在給定的參數下，是否有吸引子、排斥子或是极限环。拓撲等價的概念在為系統行為分類時非常重要，例如二個不同的相圖可能會出現相同的本質性動態特性。
在相圖中會描繪系統的軌跡（以箭頭表示）、穩定穩態（以黑點表示）及不穩定穩態（以圓圈點表示），相圖的軸對應狀態變數。
例子
[编辑]微分方程行為的可視化
[编辑]相圖可以呈現微分方程（ODE）系統的行為，也可以看出系統的穩定性[1]
| 不穩定 | 隨著時間增加，系統大部份的解會逐漸趨近∞ |
| 漸近穩定 | 隨著時間增加，系統所有的解會逐漸趨近0 |
| 中性穩定 | 隨著時間增加，系統中沒有解會趨近∞，但大部份的解也沒有趨近0 |
ODE系統相圖上的特性也可以用系統的特徵值或跡（trace）以及行列式判別（跡 = λ1 + λ2，行列式 = λ1 x λ2）[1]
| 特徵值、跡、行列式 | 相圖形狀 |
|---|---|
| λ1 & λ2為實數，異號
行列式 < 0 |
鞍型（不穩定） |
| λ1 & λ2為實數，同號，λ1 ≠ λ2;
0 < 行列式 < (trace2 / 4) |
節點（跡 < 0 表示穩定，跡 > 0 表示不穩定） |
| λ1 & λ2均有實部有虛部
(trace2 / 4) < determinant |
螺旋（trace < 0 表示穩定，trace > 0 表示不穩定） |
相關條目
[编辑]參考資料
[编辑]- ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Haynes Miller, and Arthur Mattuck. 18.03 Differential Equations. Spring 2010. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. License: Creative Commons BY-NC-SA. (Supplementary Notes 26 by Haynes Miller: https://ocw.mit.edu/courses/18-03-differential-equations-spring-2010/resources/mit18_03s10_chapter_26/)
- Jordan, D. W.; Smith, P. Nonlinear Ordinary Differential Equations fourth. Oxford University Press. 2007. ISBN 978-0-19-920824-1. Chapter 1.
- Steven Strogatz. Non-linear Dynamics and Chaos: With applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering. 2001. ISBN 9780738204536.
外部連結
[编辑]- Phase Portrait Generator （页面存档备份，存于互联网档案馆） a tool for sketching phase portraits of 2D systems.
- Linear Phase Portraits （页面存档备份，存于互联网档案馆）, an MIT Mathlet.
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