群论
群
基本概念
子群 ·
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半)
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无限群 ·
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群概形 ·
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可解群 ·
圈積
离散群
有限單群分類 循環群 Zn
交错群 An
李型群散在群马蒂厄群 M11..12,M22..24
康威群 Co1..3
扬科群 J1..4
费歇尔群(英语:
Fischer group)F22..24
子魔群(英语:
sub monster group) B
魔群 M
其他有限群
对称群, Sn
二面体群, Dn
无限群
整数, Z
模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)
连续群
李群一般线性群 GL(n)
特殊线性群 SL(n)
正交群 O(n)
特殊正交群 SO(n)
酉群 U(n)
特殊酉群 SU(n)
辛群 Sp(n)
G2 F4
E6 E7
E8
勞侖茲群庞加莱群
无限维群
共形群微分同胚群
环路群
量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞)
代数群
椭圆曲线线性代数群(英语:
Linear algebraic group)
阿贝尔簇(英语:
Abelian variety)
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查论编
在同余理论中,模 n 的互质同余类组成一个乘法群,称为整数模 n 乘法群,也称为模 n 既约剩余类。在环理论中,一个抽象代数的分支,也称这个群为整数模 n 的环的单位群(单位是指乘法可逆元)。
这个群是数论的基石,在密码学、整数分解和素性测试均有运用。例如,关于这个群的阶(即群的“大小”),我们可以确定如果 n 是质数当且仅当阶数为 n-1。
容易验证模 n 互质同余类在乘法运算下满足阿贝尔群的公理。
- 互质同余类的乘法是良好定义:a 与 n 互质,当且仅当 gcd(a, n) = 1. 同余类中的整数a ≡ b (mod n) 满足gcd(a, n) = gcd(b, n), 因此一个整数与 n 互质当且仅当另一个整数也与 n 互质.
- 恒同: 1 是恒同; 1所在的同余类是唯一的乘法恒同类
- 闭:如果 a 和 b 都与 n 互质,那么 ab 也是;因为gcd(a, n) = 1 与 gcd(b, n) = 1 意味着 gcd(ab, n) = 1, 与 n 互质的同余类在乘法下是封闭的。
- 逆:找 x 满足 ax ≡ 1 (mod n) 等价于解 ax + ny = 1,可用欧几里得算法求出x,并且x在模n的同余类里。当 a 与 n 互质, 由于 gcd(a, n) = 1 ,根据 裴蜀定理 存在整数 x 与 y 满足 ax + ny = 1. 注意到由等式 ax + ny = 1 可推出 x 与 n 互质, 所以乘法逆元属于群.
- 结合性和交换性:由整数的相应事实以及模 n 运算是一个环同态推出。由于同余类a ≡ a' 与 b ≡ b' (mod n) 的整数乘法意味着 ab ≡ a'b' (mod n). 这可推出乘法满足结合律、交换律。
整数模 n 环记作
或
(即整数环模去理想 nZ = (n) ,由 n 的倍数组成)或
因作者所喜,它的单位群可能记为
或类似的记号,本文采用
模 2 只有一个互质同余类 1,所以
平凡。
模 4 有两个互质同余类,1 和 3,所以
两元循环群。
模 8 有四个互质同余类,1, 3, 5 和 7,每个平方都是 1,所以
Klein 四元群。
模 16 有八个互质同余类,1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 和 15。
为 2-扭子群(即每个元素的平方为 1),所以
不是循环群。3的幂次:
是一个 4 阶子群,5 的幂次也是,
。所以
。
以上 8 和 16 的讨论对高阶幂次 2k, k > 2[1] 也成立:
是 2-扭子群(所以
不是循环)而 3 的幂次是一个2k- 2 子群,所以
。
对奇质数的幂 pk,此群是循环群:[2]
中国剩余定理[3] 说明如果
那么环
每个质数幂因子相应的环的直积:
![{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} /{p_{1}^{k_{1))}\mathbb {Z} \;\times \;\mathbb {Z} /{p_{2}^{k_{2))}\mathbb {Z} \;\times \;\mathbb {Z} /{p_{3}^{k_{3))}\mathbb {Z} \dots \;\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d56fd814626ebefe2d5c1705cb47ad7489e85e2)
类似地,
的单位群是每个质数幂因子相应群的直积:
![{\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /{p_{1}^{k_{1))}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /{p_{2}^{k_{2))}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /{p_{3}^{k_{3))}\mathbb {Z} )^{\times }\dots \;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e052e70cbdbbb58570bf74664055fc6fba49941d)
群的阶数由欧拉函数给出:
(OEIS數列A000010)
这是直积中各循环阶数的乘积。
指数为卡邁克爾函數
,(OEIS數列A002322),即这些循环群的阶数的最小公倍数。这意味着如果 a 和 n 互质,
是循环群当且仅当
这在 n 为奇质数的幂次、奇质数幂次 2 倍、2 和 4 成立,此时也称一个生成元为模 n 的原根。
因为所有
n = 1, 2, ..., 7 是循环群,上述结论的另一种说法是:如果 n < 8 那么
有原根;如果 n ≥ 8,且不能被 4 或者两个不同的奇质数整除,
有原根。(
A033948 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 18, 19, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 34, 37, 38, 41, 43, 46, 47, 49, 50, ... )
一般情形每个直积因子循环有一个生成元。
这个表列出了较小 n
的结构和生成元。生成元不是惟一(mod n)的,比如 (mod 16) 时 {–1, 3} 和{–1, 5} 都可以。生成元以和直积因子相同的顺序列出。
以 n=20 为例。
意味着
的阶数是 8(即有 8 个小于 20 的正整数与其互质);
说明任何和20互质的数的 4 次幂≡ 1(mod 20);至于生成元,19 的指数为2,3 的指数为 4,而任何
中元素都是 19a × 3b 的形式,这里 a 为 0 或 1,b 为 0, 1, 2, 或 3。
19 的幂是 {±1},3 的幂为 {3, 9, 7, 1}。后者和他们的负数 (mod 20),{17, 11, 13, 19} 是所有小于 20 且与其互质的数。19 的指数为 2 而 3 的指数为 4 意味着任何
中数的 4 次幂 ≡ 1 (mod 20)。
(Z/nZ)× 的群结构
![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b) |
![{\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bffe12a165220346c352fd4839b7c35dbaa08eb0) |
![{\displaystyle \varphi (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f067864064667dd5f8b2508b9cbf983d89788629) |
![{\displaystyle \lambda (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f06b26d7cb84392c1891a14c32c4dbe7e3f5e92) |
生成元
|
|
![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b) |
![{\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bffe12a165220346c352fd4839b7c35dbaa08eb0) |
![{\displaystyle \varphi (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f067864064667dd5f8b2508b9cbf983d89788629) |
![{\displaystyle \lambda (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f06b26d7cb84392c1891a14c32c4dbe7e3f5e92) |
生成元
|
|
![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b) |
![{\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bffe12a165220346c352fd4839b7c35dbaa08eb0) |
![{\displaystyle \varphi (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f067864064667dd5f8b2508b9cbf983d89788629) |
![{\displaystyle \lambda (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f06b26d7cb84392c1891a14c32c4dbe7e3f5e92) |
生成元
|
1
|
C1 |
1 |
1 |
0
|
32
|
C2×C8 |
16 |
8 |
31, 3
|
63
|
C6×C6 |
36 |
6 |
2, 5
|
2
|
C1 |
1 |
1 |
1
|
33
|
C2×C10 |
20 |
10 |
10, 2
|
64
|
C2×C16 |
32 |
16 |
3, 63
|
3
|
C2 |
2 |
2 |
2
|
34
|
C16 |
16 |
16 |
3
|
65
|
C4×C12 |
48 |
12 |
2, 12
|
4
|
C2 |
2 |
2 |
3
|
35
|
C2×C12 |
24 |
12 |
6, 2
|
66
|
C2×C10 |
20 |
10 |
5, 7
|
5
|
C4 |
4 |
4 |
2
|
36
|
C2×C6 |
12 |
6 |
19, 5
|
67
|
C66 |
66 |
66 |
2
|
6
|
C2 |
2 |
2 |
5
|
37
|
C36 |
36 |
36 |
2
|
68
|
C2×C16 |
32 |
16 |
3, 67
|
7
|
C6 |
6 |
6 |
3
|
38
|
C18 |
18 |
18 |
3
|
69
|
C2×C22 |
44 |
22 |
2, 68
|
8
|
C2×C2 |
4 |
2 |
7, 3
|
39
|
C2×C12 |
24 |
12 |
38, 2
|
70
|
C2×C12 |
24 |
12 |
3, 11
|
9
|
C6 |
6 |
6 |
2
|
40
|
C2×C2×C4 |
16 |
4 |
39, 11, 3
|
71
|
C70 |
70 |
70 |
7
|
10
|
C4 |
4 |
4 |
3
|
41
|
C40 |
40 |
40 |
6
|
72
|
C2×C2×C6 |
24 |
12 |
5, 7, 11
|
11
|
C10 |
10 |
10 |
2
|
42
|
C2×C6 |
12 |
6 |
13, 5
|
73
|
C72 |
72 |
72 |
5
|
12
|
C2×C2 |
4 |
2 |
5, 7
|
43
|
C42 |
42 |
42 |
3
|
74
|
C36 |
36 |
36 |
5
|
13
|
C12 |
12 |
12 |
2
|
44
|
C2×C10 |
20 |
10 |
43, 3
|
75
|
C2×C20 |
40 |
20 |
2, 74
|
14
|
C6 |
6 |
6 |
3
|
45
|
C2×C12 |
24 |
12 |
44, 2
|
76
|
C2×C18 |
36 |
18 |
3, 75
|
15
|
C2×C4 |
8 |
4 |
14, 2
|
46
|
C22 |
22 |
22 |
5
|
77
|
C2×C30 |
60 |
30 |
2, 76
|
16
|
C2×C4 |
8 |
4 |
15, 3
|
47
|
C46 |
46 |
46 |
5
|
78
|
C2×C12 |
24 |
12 |
5, 7
|
17
|
C16 |
16 |
16 |
3
|
48
|
C2×C2×C4 |
16 |
4 |
47, 7, 5
|
79
|
C78 |
78 |
78 |
3
|
18
|
C6 |
6 |
6 |
5
|
49
|
C42 |
42 |
42 |
3
|
80
|
C2×C4×C4 |
32 |
4 |
3, 7, 11
|
19
|
C18 |
18 |
18 |
2
|
50
|
C20 |
20 |
20 |
3
|
81
|
C54 |
54 |
54 |
2
|
20
|
C2×C4 |
8 |
4 |
19, 3
|
51
|
C2×C16 |
32 |
16 |
50, 5
|
82
|
C40 |
40 |
40 |
7
|
21
|
C2×C6 |
12 |
6 |
20, 2
|
52
|
C2×C12 |
24 |
12 |
51, 7
|
83
|
C82 |
82 |
82 |
2
|
22
|
C10 |
10 |
10 |
7
|
53
|
C52 |
52 |
52 |
2
|
84
|
C2×C2×C6 |
24 |
12 |
5, 11, 13
|
23
|
C22 |
22 |
22 |
5
|
54
|
C18 |
18 |
18 |
5
|
85
|
C4×C16 |
64 |
16 |
2, 3
|
24
|
C2×C2×C2 |
8 |
2 |
5, 7, 13
|
55
|
C2×C20 |
40 |
20 |
21, 2
|
86
|
C42 |
42 |
42 |
3
|
25
|
C20 |
20 |
20 |
2
|
56
|
C2×C2×C6 |
24 |
6 |
13, 29, 3
|
87
|
C2×C28 |
56 |
28 |
2, 86
|
26
|
C12 |
12 |
12 |
7
|
57
|
C2×C18 |
36 |
18 |
20, 2
|
88
|
C2×C2×C10 |
40 |
10 |
3, 5, 7
|
27
|
C18 |
18 |
18 |
2
|
58
|
C28 |
28 |
28 |
3
|
89
|
C88 |
88 |
88 |
3
|
28
|
C2×C6 |
12 |
6 |
13, 3
|
59
|
C58 |
58 |
58 |
2
|
90
|
C2×C12 |
24 |
12 |
7, 11
|
29
|
C28 |
28 |
28 |
2
|
60
|
C2×C2×C4 |
16 |
4 |
11, 19, 7
|
91
|
C6×C12 |
72 |
12 |
2, 3
|
30
|
C2×C4 |
8 |
4 |
11, 7
|
61
|
C60 |
60 |
60 |
2
|
92
|
C2×C22 |
44 |
22 |
3, 91
|
31
|
C30 |
30 |
30 |
3
|
62
|
C30 |
30 |
30 |
3
|
93
|
C2×C30 |
60 |
30 |
5, 11
|
- Lenstra 椭圆曲线分解,Lenstra给出的基于椭圆曲线的整数因子分解算法。
- ^ 高斯, DA, arts. 90-91
- ^ 高斯, DA, arts.52-56, 82-89
- ^ Riesel 包含所有情形。 pp. 267-275
高斯的算术研究(Disquisitiones Arithemeticae)由西塞罗拉丁语翻译成英语和德语。德语版包含他所有数论的论文:所有关于二次互反律的证明,高斯和符号的确定,双二次互反律的研究以及未发表的笔记。
- Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (translator into English), Disquisitiones Arithemeticae (Second, corrected edition), New York: Springer, 1986, ISBN 0387962549
- Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (translator into German), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Second edition), New York: Chelsea, 1965, ISBN 0-8284-0191-8
- Riesel, Hans, Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (second edition), Boston: Birkhäuser, 1994, ISBN 0-8176-3743-5