格雷码
簡介
格雷碼（Gray code）是由貝爾實驗室的Frank Gray在1940年提出，用於在PCM（脈衝編碼調變）方法傳送訊號時防止出錯，並於1953年三月十七日取得美國專利。格雷碼是一個數列集合，相鄰兩數間只有一個位元改變，為無權數碼，且格雷碼的順序不是唯一的。
格雷碼能避免訊號傳送錯誤的原理
傳統的二進位系統例如數字3的表示法為011，要切換為鄰近的數字4，也就是100時，裝置中的三個位元都得要轉換，因此於未完全轉換的過程時裝置會經歷短暫的，010,001,101,110,111等其中數種狀態，也就是代表著2、1、5、6、7，因此此種數字編碼方法於鄰近數字轉換時有比較大的誤差可能範圍。格雷碼的發明即是用來將誤差之可能性縮減至最小，編碼的方式定義為每個鄰近數字都只相差一個位元，因此也稱為最小差異碼，可以使裝置做數字步進時只更動最少的位元數以提高穩定性。 數字0～7的編碼比較如下：
十進位 格雷碼 二進位
0 000 000 1 001 001 2 011 010 3 010 011 4 110 100 5 111 101 6 101 110 7 100 111
直接排列
以二進制為0值的格雷碼為第零項，第一項改變最右邊的位元，第二項改變右起第一個為1的位元的左邊位元，第三、四項方法同第一、二項，如此反覆，即可排列出n個位元的格雷碼。
鏡射排列
n位元的格雷碼可以從n-1位元的格雷碼以上下鏡射後加上新位元的方式快速的得到，如右圖所示一般。
二進位數轉格雷碼
（假設以二進制為0的值做為格雷碼的0）
G：格雷码 B：二进制码 n：正在计算的位
根据格雷码的定义可得：
G(n) = B(n+1) XOR B(n)
即
G(n) = B(n+1) + B(n)
自低位至高位运算即可，无需考虑进位，例略。
2位元格雷码
00 01 11 10 |
3位元格雷码
000 001 011 010 110 111 101 100 |
4位元格雷码
0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 1100 1101 1111 1110 1010 1011 1001 1000 |
4位元2进制原始码
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 |
格雷碼轉二進位數
由于G(n) = B(n+1) + B(n)
故而B(n) = -B(n+1)+ G(n)
自高位至低位运算即可，无需考虑借位。
例：
格雷碼0111，為4位數，故设二进制数自第5位至第1位分别为：0 b3 b2 b1 b0。
b3= 0-0 =0
b2=b3-1=0-1=1
b1=b2-1=1-1=0
b0=b1-1=0-1=1
因此所轉換為之二進位碼為0101
應用
和格雷碼有相同數學模式的玩具
中國的古老益智玩具九連環有著和格雷碼完全相同的數學模式，外國一款名為spin out的玩具也是運用相同的數學模式。
參考來源
文献
- 柯利弗德·皮寇弗; 陳以禮（翻譯）. The Math Book:From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics [數學之書]. 時報文化. 2013-04-16. ISBN 978-957-135-699-0 （中文（繁體））.
引用
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