规范形式 (布尔代数)

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布尔代数中，所有由标准逻辑运算符组成的布尔函数，都可以表示为布尔规范形式。规范形式分为“极小项”形式，及其对偶，“极大项”形式。

极小项

我们首先定义极小项(minterm)。对于一个有 n 个变量的布尔函数，极小项是由逻辑与运算符将这 n 个变量（或其逻辑否定）不重复地组合而成的逻辑表达式。

例如：

ab'c

a'bc

这两项中每个变量都出现，且仅只出现一次。三个变量间都仅使用逻辑与相连，因此这两项都符合极小项的定义。

$n$ 个变量有 ${\displaystyle 2^{n))$ 个可能的极小项—这是因为在极小项表达式中，一个变量要么是其自身，要么是其逻辑否定形式— $n$ 个变量中的每个都有两种选择。

索引极小项

为了方便书写极小项，我们按照其中的每个变量是否含有逻辑非，为每一个可能的极小项指派一个索引值。

首先确保每个极小项中的变量都按照同样的次序排列（通常按拉丁字母序），从左到右，每个变量对应一个二进制位。一个带逻辑非的项，如 $a'$ ，对应的二进制位为 0，而一个不带逻辑非的项，如 $a$ ，对应的二进制位为 1。例如， $abc'$ 对应的二进制序列是（ ${\displaystyle 110_{2))$ ），因此，其索引是数字 6，这个极小项表达式写作 ${\displaystyle m_{6))$ 。与之相似，三个变量的 ${\displaystyle m_{0))$ 是 $a'b'c'$ （ ${\displaystyle 000_{2))$ ），而 ${\displaystyle m_{7))$ 则是 $abc$ （ ${\displaystyle 111_{2))$ ）。

函数等价

因为极小项由各变量的逻辑与组合而成，所以只有当所有含有逻辑非的变量取值都为0，且所有不含逻辑非的变量取值都为 1，该极小项才会输出 1。例如，极小项 $m_{5}=ab'c$ ，只在 a 和 c 都为 1 而 b 为 0 时输出 1。

如果你给出一个逻辑函数的真值表，就可以把这个函数写为"积之和"(由极小项OR起来的序列)。像这样组合出来的布尔表达式，其中任何一个极小项输出 1 时也输出 1，对其余输入其输出都是 0。由于每个极小项都只对一个输入输出 1，所以这个组合可以唯一地表示任何布尔函数。这是析取范式的特殊形式。例如，如果给出真值表

例：布尔函数 $f$ 的真值表
$a$	$b$	$f(a,b)$
0	0	1
0	1	0
1	0	1
1	1	0

观察到 $f$ 的输出仅在第一行和第三行为 1，所以我们可以把 $f$ 写为极小项 ${\displaystyle m_{0))$ 和 ${\displaystyle m_{2))$ 之和。

验证：

f(a,b)=m_{0}+m_{2}=(a'b')+(ab')

通过直接计算，结果和这个函数的真值表是一样的。

布尔函数表示为极小项之和的形式，叫做其主析取范式或极小项规范形式。

极大项

极大项是极小项的对偶。其中各变量（或其逻辑否定）由逻辑或运算符不重复地组合而成。例如：

a+b'+c

a'+b+c

$n$ 个变量同样也有 ${\displaystyle 2^{n))$ 个可能的极大项。

索引极大项

极大项的索引与极小项的相反：含逻辑非的变量对应的二进制位为 1，不含的对应二进制位为 0。例如，极大项 $a'+b'+c$ 的索引为 6（ ${\displaystyle 110_{2))$ ），记作 ${\displaystyle M_{6))$ 。同样，三个变量的 ${\displaystyle M_{0))$ 为 $a+b+c$ ， ${\displaystyle M_{0))$ 为 $a'+b'+c'$ 。