如果c点属于曼德博集合M则为黑色,反之为白色 曼德博集合 (英語:Mandelbrot set ,或译為曼德布洛特复数集合 )是一种在复平面 上组成分形 的点的集合,以數學家本華·曼德博 的名字命名。曼德博集合與朱利亚集合 有些相似的地方,例如使用相同的复二次多项式來进行迭代 。
曼德博集合可以用複二次多项式来定义:
f
c
(
z
)
=
z
2
+
c
{\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c\,}
其中
c
{\displaystyle c}
是一个复数參数。
从
z
=
0
{\displaystyle z=0}
开始对
f
c
(
z
)
{\displaystyle f_{c}(z)}
进行迭代 :
z
n
+
1
=
z
n
2
+
c
,
n
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c,n=0,1,2,...}
z
0
=
0
{\displaystyle z_{0}=0\,}
z
1
=
z
0
2
+
c
=
c
{\displaystyle z_{1}=z_{0}^{2}+c=c\,}
z
2
=
z
1
2
+
c
=
c
2
+
c
{\displaystyle z_{2}=z_{1}^{2}+c=c^{2}+c\,}
每次迭代的值依序如以下序列 所示:
(
0
,
f
c
(
0
)
,
f
c
(
f
c
(
0
)
)
,
f
c
(
f
c
(
f
c
(
0
)
)
)
,
…
)
{\displaystyle (0,f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),f_{c}(f_{c}(f_{c}(0))),\ldots )}
不同的参数
c
{\displaystyle c}
可能使序列 的绝对值 逐漸發散到无限大,也可能收斂 在有限的區域内。
曼德博集合
M
{\displaystyle M}
就是使序列 不延伸至无限大的所有复数
c
{\displaystyle c}
的集合 。
若
|
c
|
≤
1
4
{\displaystyle |c|\leq {\frac {1}{4))}
,則
c
∈
M
{\displaystyle c\in {M))
假設
|
c
|
≤
1
4
{\displaystyle |c|\leq {\frac {1}{4))}
為真
則
|
z
1
|
=
|
c
|
≤
1
4
<
1
2
{\displaystyle |z_{1}|=|c|\leq {\frac {1}{4))<{\frac {1}{2))}
當
n
=
2
{\displaystyle n=2\,}
時
|
z
2
|
=
|
z
1
2
+
c
|
=
|
c
2
+
c
|
≤
|
c
2
|
+
|
c
|
=
|
c
|
2
+
|
c
|
{\displaystyle |z_{2}|=|z_{1}^{2}+c|=|c^{2}+c|\leq |c^{2}|+|c|=|c|^{2}+|c|}
因為
|
c
|
≤
1
4
{\displaystyle |c|\leq {\frac {1}{4))}
|
c
|
2
+
|
c
|
≤
1
16
+
1
4
<
1
2
{\displaystyle |c|^{2}+|c|\leq {\frac {1}{16))+{\frac {1}{4))<{\frac {1}{2))}
由以上可得知
|
z
2
|
<
1
2
{\displaystyle |z_{2}|<{\frac {1}{2))}
假設
|
z
n
|
<
1
2
{\displaystyle |z_{n}|<{\frac {1}{2))\,}
成立
|
z
n
+
1
|
=
|
z
n
2
+
c
|
≤
|
z
n
|
2
+
|
c
|
<
(
1
2
)
2
+
1
4
=
1
2
{\displaystyle |z_{n+1}|=|z_{n}^{2}+c|\leq |z_{n}|^{2}+|c|<\left({\frac {1}{2))\right)^{2}+{\frac {1}{4))={\frac {1}{2))}
由上式可得知
|
z
n
+
1
|
<
1
2
{\displaystyle |z_{n+1}|<{\frac {1}{2))}
由數學歸納法可得知對於所有的n(n=1,2,...),
|
z
n
|
{\displaystyle |z_{n}|\,}
皆比
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2))\,}
小。
當n趨近無限大時
|
z
n
|
{\displaystyle |z_{n}|\,}
依然沒有發散,所以
c
∈
M
{\displaystyle c\in {M))
,故得證。
若
c
∈
M
{\displaystyle c\in {M))
,則
|
c
|
≤
2
{\displaystyle |c|\leq {2))
假設
|
c
|
>
2
{\displaystyle |c|>2\,}
則
|
z
1
|
=
|
c
|
,
|
z
1
|
>
2
{\displaystyle |z_{1}|=|c|,|z_{1}|>2\,}
當
n
=
2
{\displaystyle n=2\,}
時
|
z
2
|
=
|
z
1
2
+
c
|
=
|
c
2
+
c
|
≥
|
c
2
|
−
|
c
|
=
|
c
|
2
−
|
c
|
{\displaystyle |z_{2}|=|z_{1}^{2}+c|=|c^{2}+c|\geq |c^{2}|-|c|=|c|^{2}-|c|}
由
|
c
|
>
2
{\displaystyle |c|>2\,}
,左右同乘
|
c
|
{\displaystyle |c|\,}
再減去
|
c
|
{\displaystyle |c|\,}
可得到下式
|
c
|
2
−
|
c
|
>
2
|
c
|
−
|
c
|
=
|
c
|
{\displaystyle |c|^{2}-|c|>2|c|-|c|=|c|\,}
由以上可得知
|
z
2
|
>
|
c
|
{\displaystyle |z_{2}|>|c|\,}
假設
|
z
n
|
>
|
c
|
{\displaystyle |z_{n}|>|c|\,}
成立,則
|
z
n
|
>
2
{\displaystyle |z_{n}|>2\,}
|
z
n
+
1
|
=
|
z
n
2
+
c
|
≥
|
z
n
2
|
−
|
c
|
=
|
z
n
|
2
−
|
c
|
{\displaystyle |z_{n+1}|=|z_{n}^{2}+c|\geq |z_{n}^{2}|-|c|=|z_{n}|^{2}-|c|}
因為
|
z
n
|
>
|
c
|
{\displaystyle |z_{n}|>|c|\,}
|
z
n
|
2
−
|
c
|
>
|
z
n
|
2
−
|
z
n
|
{\displaystyle |z_{n}|^{2}-|c|>|z_{n}|^{2}-|z_{n}|\,}
由
|
z
n
|
>
2
{\displaystyle |z_{n}|>2\,}
,左右同乘
|
z
n
|
{\displaystyle |z_{n}|\,}
再減去
|
z
n
|
{\displaystyle |z_{n}|\,}
可得到下式
|
z
n
|
2
−
|
z
n
|
>
2
|
z
n
|
−
|
z
n
|
=
|
z
n
|
{\displaystyle |z_{n}|^{2}-|z_{n}|>2|z_{n}|-|z_{n}|=|z_{n}|\,}
由以上可得知
|
z
n
+
1
|
>
|
z
n
|
{\displaystyle |z_{n+1}|>|z_{n}|\,}
由數學歸納法可得知
2
<
|
z
1
|
<
|
z
2
|
<
.
.
.
<
|
z
n
|
<
|
z
n
+
1
|
<
|
z
n
+
2
|
{\displaystyle 2<|{z_{1))|<|{z_{2))|<...<|{z_{n))|<|z_{n+1}|<|z_{n+2}|\,}
,可看出隨著迭代次數增加
|
z
n
|
{\displaystyle |z_{n}|\,}
逐漸遞增並發散。
假如
|
z
n
|
{\displaystyle |z_{n}|\,}
不发散,则收敛于某个常数
a
>
|
c
|
>
2
{\displaystyle a>|c|>2}
,
由
|
z
n
+
1
|
≥
|
z
n
|
2
−
|
c
|
{\displaystyle |z_{n+1}|\geq |z_{n}|^{2}-|c|}
再取极限得
a
≥
a
2
−
|
c
|
{\displaystyle a\geq a^{2}-|c|}
即
a
2
−
a
≤
|
c
|
{\displaystyle a^{2}-a\leq |c|}
。
又
a
2
−
a
=
a
(
a
−
1
)
≥
a
>
|
c
|
{\displaystyle a^{2}-a=a(a-1)\geq a>|c|}
,矛盾,故
|
z
n
|
{\displaystyle |z_{n}|\,}
发散。
所以若
|
c
|
>
2
{\displaystyle |c|>2\,}
,則
c
∉
M
{\displaystyle c\notin {M))
,故得證。
若
c
∈
M
{\displaystyle c\in {M))
,則
|
z
n
|
≤
2
,
(
n
=
1
,
2
,
.
.
.
)
{\displaystyle |z_{n}|\leq {2},(n=1,2,...)}
要證明若
|
z
n
|
>
2
,
(
n
=
1
,
2
,
.
.
.
)
{\displaystyle |z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,}
,則
c
∉
M
{\displaystyle c\notin {M))
首先分別探討
|
c
|
>
2
{\displaystyle |c|>2\,}
與
|
c
|
≤
2
{\displaystyle |c|\leq 2}
兩種情形
由定理二可知道
|
z
n
|
>
2
,
(
n
=
1
,
2
,
.
.
.
)
{\displaystyle |z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,}
且
|
c
|
>
2
{\displaystyle |c|>2\,}
時,
c
∉
M
{\displaystyle c\notin {M))
。
接著要證明
|
c
|
≤
2
{\displaystyle |c|\leq 2}
時的情況:
假設
|
z
n
|
>
2
{\displaystyle |z_{n}|>2\,}
,因為
|
c
|
≤
2
{\displaystyle |c|\leq 2}
,所以
|
z
n
|
>
|
c
|
{\displaystyle |z_{n}|>|c|\,}
,而
|
z
n
+
1
|
=
|
z
n
2
+
c
|
≥
|
z
n
2
|
−
|
c
|
=
|
z
n
|
2
−
|
c
|
{\displaystyle |z_{n+1}|=|z_{n}^{2}+c|\geq |z_{n}^{2}|-|c|=|z_{n}|^{2}-|c|}
因為
|
z
n
|
>
|
c
|
{\displaystyle |z_{n}|>|c|\,}
|
z
n
|
2
−
|
c
|
>
|
z
n
|
2
−
|
z
n
|
{\displaystyle |z_{n}|^{2}-|c|>|z_{n}|^{2}-|z_{n}|\,}
由
|
z
n
|
>
2
{\displaystyle |z_{n}|>2\,}
,左右同乘
|
z
n
|
{\displaystyle |z_{n}|\,}
再減去
|
z
n
|
{\displaystyle |z_{n}|\,}
可得到下式
|
z
n
|
2
−
|
z
n
|
>
2
|
z
n
|
−
|
z
n
|
=
|
z
n
|
{\displaystyle |z_{n}|^{2}-|z_{n}|>2|z_{n}|-|z_{n}|=|z_{n}|\,}
由以上可得知
|
z
n
+
1
|
>
|
z
n
|
{\displaystyle |z_{n+1}|>|z_{n}|\,}
由數學歸納法可得知
2
<
|
z
n
|
<
|
z
n
+
1
|
<
|
z
n
+
2
|
<
.
.
.
{\displaystyle 2<|{z_{n))|<|z_{n+1}|<|z_{n+2}|<...\,}
,可看出隨著迭代次數增加
|
z
n
|
{\displaystyle |z_{n}|\,}
逐漸遞增並發散。
所以在
|
z
n
|
>
2
,
(
n
=
1
,
2
,
.
.
.
)
{\displaystyle |z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,}
且
|
c
|
≤
2
{\displaystyle |c|\leq 2}
的情況下也是
c
∉
M
{\displaystyle c\notin {M))
。
綜合上述可得知不論
|
c
|
{\displaystyle |c|\,}
為多少
若
|
z
n
|
>
2
,
(
n
=
1
,
2
,
.
.
.
)
{\displaystyle |z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,}
,則
c
∉
M
{\displaystyle c\notin {M))
,故得證。
利用定理三可以在程式計算時快速地判斷
|
z
n
|
{\displaystyle |z_{n}|\,}
是否會發散。
曼德博集合一般用计算机程序 计算。对于大多数的分形软件,例如Ultra fractal,内部已经有了比较成熟的例子。下面的程序是一段伪代码 ,表达了曼德博集合的计算思路。
For Each c in Complex
repeats = 0
z = 0
Do
z = z ^ 2 + c
repeats = repeats + 1
Loop until abs ( z ) > EscapeRadius or repeats > MaxRepeats '根据定理三,EscapeRadius可设置为2。
If repeats > MaxRepeats Then
Draw c , Black '如果迭代次数超过MaxRepeats,就将c认定为属于曼德博集合,并设置为黑色。
Else
Draw c , color ( z , c , repeats ) 'color函数用来决定颜色。
End If
Next
直接利用循环终止时的Repeats
综合利用z和Repeats
Orbit Traps
mand = Compile [ (( z0 , _Complex }, { nmax , _Integer )),
Module [ { z = z0 , i = 1 },
While [ i < nmax && Abs [ z ] <= 2 , z = z ^ 2 + z0 ; i ++] ; i ]] ;
ArrayPlot [
Reverse@Transpose@
Table [ mand [ x + y I , 500 ] , { x , - 2 , 2 , 0.01 }, { y , - 2 , 2 , 0.01 } ]]
動畫 點擊此圖像可觀看動態影像。
最原始圖片
放大等級1
放大等級2
放大等級3
放大等級4
放大等級5
放大等級6
放大等級7
放大等級8
放大等級9
放大等級10
放大等級11
放大等級12
放大等級13
放大等級14