曲率半径与曲率中心 在微分几何 中,曲率半径 R 是曲率 的倒数。 对于曲线 上一点,曲率半径等于最贴近该点曲线的圆弧 半径 。 对于曲面上一点,曲率半径是最贴合该点的法向截面或其组合 的圆弧半径。 [1] [2] [3]
对于空间曲线 ,曲率半径是曲率矢量 的长度。
对于平面曲线 ,则曲率半径是曲线上固定一点的弧长的微分与切角的微分之比[3] 的绝对值
R
=
|
d
s
d
φ
|
=
1
κ
{\displaystyle R=\left\vert {ds \over d\varphi }\right\vert ={1 \over \kappa ))
而κ 是曲率 。
若曲线在笛卡尔坐标中为y (x ) 作为函数图,则其曲率半径为(假设曲线可进行二阶微分)
R
=
|
(
1
+
y
′
2
)
3
2
y
″
|
,
{\displaystyle R=\left|{\frac {\left(1+y'^{\,2}\right)^{\frac {3}{2))}{y''))\right|\,,}
其中
y
′
=
d
y
d
x
,
{\textstyle y'={\frac {dy}{dx))\,,}
y
″
=
d
2
y
d
x
2
,
{\textstyle y''={\frac {d^{2}y}{dx^{2))},}
|z | 为z 的绝对值。
如果曲线是关于函数x (t ) 和y (t ) 的参数方程,则其曲率半径为
R
=
|
d
s
d
φ
|
=
|
(
x
˙
2
+
y
˙
2
)
3
2
x
˙
y
¨
−
y
˙
x
¨
|
{\displaystyle R=\left|{\frac {ds}{d\varphi ))\right|=\left|{\frac {\left(((\dot {x))^{2}+{\dot {y))^{2))\right)^{\frac {3}{2))}((\dot {x)){\ddot {y))-{\dot {y)){\ddot {x))))\right|}
其中
x
˙
=
d
x
d
t
,
{\textstyle {\dot {x))={\frac {dx}{dt)),}
x
¨
=
d
2
x
d
t
2
,
{\textstyle {\ddot {x))={\frac {d^{2}x}{dt^{2))},}
y
˙
=
d
y
d
t
,
{\textstyle {\dot {y))={\frac {dy}{dt)),}
y
¨
=
d
2
y
d
t
2
.
{\textstyle {\ddot {y))={\frac {d^{2}y}{dt^{2))}.}
由此启发,该结果可以表示为[2]
R
=
|
v
|
3
|
v
×
v
˙
|
,
{\displaystyle R={\frac {\left|\mathbf {v} \right|^{3)){\left|\mathbf {v} \times \mathbf {\dot {v)) \right|))\,,}
其中
|
v
|
=
|
(
x
˙
,
y
˙
)
|
=
R
d
φ
d
t
.
{\displaystyle \left|\mathbf {v} \right|={\big |}({\dot {x)),{\dot {y))){\big |}=R{\frac {d\varphi }{dt))\,.}
若γ : ℝ → ℝn 是ℝn 中的参数方程曲线,则曲线上每个点的曲率半径ρ : ℝ → ℝ ,由[3] 此可知
ρ
=
|
γ
′
|
3
|
γ
′
|
2
|
γ
″
|
2
−
(
γ
′
⋅
γ
″
)
2
.
{\displaystyle \rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma ))'\right|^{3)){\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma ))'\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma ))''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma ))'\cdot {\boldsymbol {\gamma ))''\right)^{2))))\,.}
特殊情况下,若f (t ) 是从ℝ 映射到ℝ 的函数,则其图象的曲率半径γ (t ) = (t , f (t )) 为
ρ
(
t
)
=
|
1
+
f
′
2
(
t
)
|
3
2
|
f
″
(
t
)
|
.
{\displaystyle \rho (t)={\frac {\left|1+f'^{\,2}(t)\right|^{\frac {3}{2))}{\left|f''(t)\right|)).}
令γ 如上,并固定t 。我们想要找到一个与t 处的γ 零阶、一阶和二阶导数相匹配的参数方程圆的半径ρ 。显然,半径与位置γ (t ) 无关,而与速度γ ′(t ) 和加速度γ ″(t ) 有关。 由向量v 和w 只能获得三个独立标量,即v · v 、 v · w 和w · w 。因此,曲率半径一定是关于这三个标量函数。即 |γ ′(t )|2 , |γ ″(t )|2 ,γ ′(t ) · γ ″(t ) 。 [3]
ℝn 中圆的一般参数方程为
g
(
u
)
=
a
cos
(
h
(
u
)
)
+
b
sin
(
h
(
u
)
)
+
c
{\displaystyle \mathbf {g} (u)=\mathbf {a} \cos(h(u))+\mathbf {b} \sin(h(u))+\mathbf {c} }
其中c ∈ ℝn 是圆心(无关,因为它在求导过程中消失), a ,b ∈ ℝn 是长度为ρ 的相互垂直的向量(即, a · a = b · b = ρ 2 ,a · b = 0 ), h : ℝ → ℝ 是在t 处可两次微分任意函数。
g 的相关导数为
|
g
′
|
2
=
ρ
2
(
h
′
)
2
g
′
⋅
g
″
=
ρ
2
h
′
h
″
|
g
″
|
2
=
ρ
2
(
(
h
′
)
4
+
(
h
″
)
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {g} '|^{2}&=\rho ^{2}(h')^{2}\\\mathbf {g} '\cdot \mathbf {g} ''&=\rho ^{2}h'h''\\|\mathbf {g} ''|^{2}&=\rho ^{2}\left((h')^{4}+(h'')^{2}\right)\end{aligned))}
若现在将g 的导数等同于t 处γ 的相应导数,可得
|
γ
′
(
t
)
|
2
=
ρ
2
h
′
2
(
t
)
γ
′
(
t
)
⋅
γ
″
(
t
)
=
ρ
2
h
′
(
t
)
h
″
(
t
)
|
γ
″
(
t
)
|
2
=
ρ
2
(
h
′
4
(
t
)
+
h
″
2
(
t
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}|{\boldsymbol {\gamma ))'(t)|^{2}&=\rho ^{2}h'^{\,2}(t)\\{\boldsymbol {\gamma ))'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma ))''(t)&=\rho ^{2}h'(t)h''(t)\\|{\boldsymbol {\gamma ))''(t)|^{2}&=\rho ^{2}\left(h'^{\,4}(t)+h''^{\,2}(t)\right)\end{aligned))}
关于三个未知数( ρ 、 h ′(t ) 和h ″(t ) )的三个方程可以求解其中的ρ ,可得曲率半径的公式为:
ρ
(
t
)
=
|
γ
′
(
t
)
|
3
|
γ
′
(
t
)
|
2
|
γ
″
(
t
)
|
2
−
(
γ
′
(
t
)
⋅
γ
″
(
t
)
)
2
,
{\displaystyle \rho (t)={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma ))'(t)\right|^{3)){\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma ))'(t)\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma ))''(t)\right|^{2}-{\big (}{\boldsymbol {\gamma ))'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma ))''(t){\big )}^{2))))\,,}
提高可读性省略参数t ,可得
ρ
=
|
γ
′
|
3
|
γ
′
|
2
|
γ
″
|
2
−
(
γ
′
⋅
γ
″
)
2
.
{\displaystyle \rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma ))'\right|^{3)){\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma ))'\right|^{2}\;\left|{\boldsymbol {\gamma ))''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma ))'\cdot {\boldsymbol {\gamma ))''\right)^{2))))\,.}
对于一个半径为a 的在上半平面的半圆
y
=
a
2
−
x
2
y
′
=
−
x
a
2
−
x
2
y
″
=
−
a
2
(
a
2
−
x
2
)
3
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}y&={\sqrt {a^{2}-x^{2))}\\y'&={\frac {-x}{\sqrt {a^{2}-x^{2))))\\y''&={\frac {-a^{2)){\left(a^{2}-x^{2}\right)^{\frac {3}{2))))\,.\end{aligned))}
椭圆(红线)及其渐屈线 (蓝线)。点是椭圆的顶点, 及最大或最小的曲率半径的点 对于一个半径为a 的在下半平面的半圆
y
=
−
a
2
−
x
2
.
{\displaystyle y=-{\sqrt {a^{2}-x^{2))}\,.}
该半径为a 的圆 有等于a 的曲率半径。
在长轴为2a 短轴为2b 的椭圆 中, 长轴的顶点 有该椭圆上最小的曲率半径,
R
=
b
2
a
{\textstyle R={b^{2} \over a))
; 并且短轴的顶点有该椭圆上最大的曲率半径 R = a 2 / b 。
令椭圆的曲率半径是关于参数t 的方程, 即[4]
R
(
t
)
=
(
b
2
cos
2
t
+
a
2
sin
2
t
)
3
/
2
a
b
,
{\displaystyle R(t)={\frac {(b^{2}\cos ^{2}t+a^{2}\sin ^{2}t)^{3/2)){ab))\,,}
其中
θ
=
tan
−
1
(
y
x
)
=
tan
−
1
(
b
a
tan
t
)
.
{\textstyle \theta =\tan ^{-1}{\Big (}{\frac {y}{x)){\Big )}=\tan ^{-1}{\Big (}{\frac {b}{a))\;\tan \;t{\Big )}\,.}
令椭圆的曲率半径是关于参数θ 的方程, 即
R
(
θ
)
=
a
2
b
(
1
−
e
2
(
2
−
e
2
)
(
cos
θ
)
2
)
1
−
e
2
(
cos
θ
)
2
)
3
/
2
,
{\displaystyle R(\theta )={\frac {a^{2)){b)){\biggl (}{\frac {1-e^{2}(2-e^{2})(\cos \theta )^{2})}{1-e^{2}(\cos \theta )^{2))}{\biggr )}^{3/2}\,,}
其中椭圆的偏心率e , 是
e
2
=
1
−
b
2
a
2
.
{\displaystyle e^{2}=1-{\frac {b^{2)){a^{2))}\,.}