小角度近似
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小角度近似(small-angle approximations)可以在角度以弧度表示,且角度很小的情形下,近似部份三角函数的值:
上述的近似常用在物理学和工程学的各分支學科中,包括力学、电磁学、光学、地图学、天文學和计算机科学[1][2]。近似的一個理由是可以大幅簡化微分方程的計算,可以用在不需要精確解的情形下。
小角度近似可以用許多的方式說明,最直接的是用三角函數的馬克勞林級數,依照逼近的階數不同,可以近似為或.[3]。
理由
[编辑]繪圖
[编辑]圖1和圖2可以看出此近似的精度。在角度趨近零時,原始函數和近似函數的差也趨近零。
-
圖1:基本的奇三角函數的比較,當角度θ趨近0時,近似函數很接近原函數。
-
圖2:cos θ和1 − θ2/2的比較。當角度θ趨近0時,兩函數相當接近。
幾何學
[编辑]右圖中紅色部份d,是斜邊長度H和鄰邊長度A的差。如圖所示,H和A幾乎一樣長,意思是cos θ接近1,利用θ2/2可以減去紅色的部份
- 。
其對邊O長度近似於藍色圓弧的長度s。根據幾何學,s = Aθ,根據三角函數,sin θ = O/H和tan θ = O/A,根據圖上O ≈ s且H ≈ A可得:
簡化後可得
微積分
[编辑]利用夾擠定理[4],可以證明 這是在小角度θ時,近似式的正式敘述。
比較小心的應用夾擠定理可得 ,因此可以得到在小角度θ時,。
最後,利用洛必达法则可得可以整理為,在小角度θ時成立。也可以用倍角公式。令,可得。
代數
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將正弦函數進行馬克勞林展開(在零附近的泰勒展開)可得[5]
其中θ是以弧度表示的角度,上式也可以改寫如下:
可以看出在θ很小時,第二項(三次方項)會非常小。用θ為0.01為例,第二項的數量級為第一項的 001或 0.0001/000 10。因此可以單純的近似為:
另外,因為小角度的餘弦函數接近1,因此正切函數(正弦函數除以餘弦函數)可以表示如下
- ,
近似的誤差
[编辑]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Small_angle_compare_error.svg/440px-Small_angle_compare_error.svg.png)
圖3是小角度近似的誤差,若以誤差在1%為準,以下是各近似函數誤差超過1%的角度:
- cos θ ≈ 1,約為 0.1408 弧度 (8.07°)
- tan θ ≈ θ,約為 0.1730 弧度 (9.91°)
- sin θ ≈ θ,約為 0.2441 弧度 (13.99°)
- cos θ ≈ 1 − θ2/2,約為 0.6620 弧度 (37.93°)
和角和差角
[编辑]三角恒等式中的和角公式和差角公式,當其中一個角度很小時(β ≈ 0),可以簡化為下式:
cos(α + β) ≈ cos(α) − β sin(α), cos(α − β) ≈ cos(α) + β sin(α), sin(α + β) ≈ sin(α) + β cos(α), sin(α − β) ≈ sin(α) − β cos(α).
應用
[编辑]天文學
[编辑]在天文學上,天體的角直徑多半只有幾個角秒,其角度很小,因此可以用小角度近似[6]。線性大小(D)和角直徑(X)以及與觀察者距離(d)之間有以下的公式:
其中X是用角秒表示。
數字265是圓用角秒表示的值( 206296000),除以 12π。
精確的公式是
若tan X改為X,上式也適用。
擺的運動
[编辑]在計算擺的势能时,二次餘弦近似非常的好用,可以應用在拉格朗日力学上,找到運動的間接方程(能量方程)。
在計算擺的頻率時,可以用正弦函數的小角度近近,將擺的微分方程轉換為簡諧運動的微分方程。
光學
[编辑]在光學上,小角度近似是近軸近似的基礎。
波干涉
[编辑]正弦和正切的小角度近似可以用在雙縫實驗或衍射光栅中,以簡化計算[7]。
結構力學
[编辑]小角度近似常用在結構力學上,特別是和穩定性和分岔分析上(主要是軸向受壓力的柱,是否會產生挫曲的分析)。這部份簡化的程度很大。不過不過用在精確的分析上。
導航
[编辑]空中導航中的1 in 60 rule就是以小角度近似為基礎,加上一個弧度近似於60度的事實。
內插
[编辑]例如:sin(0.755)
sin(0.755) = sin(0.75 + 0.005) ≈ sin(0.75) + (0.005) cos(0.75) ≈ (0.6816) + (0.005)(0.7317) [sin(0.75)和cos(0.75)的值是由三角函數表求得] ≈ 0.6853.
相關條目
[编辑]參考資料
[编辑]- ^ Holbrow, Charles H.; et al, Modern Introductory Physics 2nd, Springer Science & Business Media: 30–32, 2010 [2021-06-12], ISBN 0387790799, (原始内容存档于2021-08-04).
- ^ Plesha, Michael; et al, Engineering Mechanics: Statics and Dynamics 2nd, McGraw-Hill Higher Education: 12, 2012 [2021-06-12], ISBN 0077570618, (原始内容存档于2021-08-04).
- ^ Small-Angle Approximation | Brilliant Math & Science Wiki. brilliant.org. [2020-07-22]. (原始内容存档于2020-07-22) (美国英语).
- ^ Larson, Ron; et al, Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions 4th, Cengage Learning: 85, 2006 [2021-06-12], ISBN 0618606254, (原始内容存档于2021-08-04).
- ^ Boas, Mary L. Mathematical Methods in the Physical Sciences. Wiley. 2006: 26. ISBN 978-0-471-19826-0.
- ^ Green, Robin M., Spherical Astronomy, Cambridge University Press: 19, 1985 [2021-06-12], ISBN 0521317797, (原始内容存档于2021-08-04).
- ^ 存档副本. [2021-06-12]. (原始内容存档于2021-08-04).
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