建立曲線族的包絡線。 包絡線 (Envelope)是幾何學 裡的概念,代表一條曲線 與某個曲線族中的每條線都有至少一點相切 。(曲線族即一些曲線的無窮集 ,它們有一些特定的關係。)
設一個曲線族的每條曲線
C
s
{\displaystyle C_{s))
可表示為
t
↦
(
x
(
s
,
t
)
,
y
(
s
,
t
)
)
{\displaystyle t\mapsto (x(s,t),y(s,t))}
,其中
s
{\displaystyle s}
是曲線族的參數 ,
t
{\displaystyle t}
是特定曲線的參數。若包絡線存在,它是由
s
↦
(
x
(
s
,
h
(
s
)
)
,
y
(
s
,
h
(
s
)
)
)
{\displaystyle s\mapsto (x(s,h(s)),y(s,h(s)))}
得出,其中
h
(
s
)
{\displaystyle h(s)}
以以下的方程求得:
∂
y
∂
h
∂
x
∂
s
=
∂
y
∂
s
∂
x
∂
h
{\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial h)){\frac {\partial x}{\partial s))={\frac {\partial y}{\partial s)){\frac {\partial x}{\partial h))}
若曲線族以隱函數 形式
F
(
x
,
y
,
s
)
=
0
{\displaystyle F(x,y,s)=0}
表示,其包絡線的隱方程,便是求下面兩個方程的解x和y之隱函數關係。
{
F
(
x
,
y
,
s
)
=
0
∂
F
(
x
,
y
,
s
)
∂
s
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}F(x,y,s)=0\\{\frac {\partial F(x,y,s)}{\partial s))=0\end{cases))}
繡曲線 是包絡線的例子。直線族
(
A
−
s
)
x
+
s
y
=
(
A
−
s
)
(
s
)
{\displaystyle (A-s)x+sy=(A-s)(s)}
(其中
A
{\displaystyle A}
是常數,
s
{\displaystyle s}
是直線族的變數)的包絡線為拋物線 。[1] (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 )
設曲線族的每條曲線
C
s
{\displaystyle C_{s))
為
t
↦
(
x
(
s
,
t
)
,
y
(
s
,
t
)
)
{\displaystyle t\mapsto (x(s,t),y(s,t))}
。
設存在包絡線。由於包絡線的每點都與曲線族的其中一條曲線的其中一點相切,對於任意的
s
{\displaystyle s}
,設
(
x
(
s
,
h
(
s
)
)
,
y
(
s
,
h
(
s
)
)
)
{\displaystyle (x(s,h(s)),y(s,h(s)))}
表示
C
s
{\displaystyle C_{s))
和包絡線相切的那點。由此式可見,
s
{\displaystyle s}
是包絡線的變數。要求出包絡線,就即要求出
h
(
s
)
{\displaystyle h(s)}
。
在
C
s
{\displaystyle C_{s))
的切向量為
<
∂
x
∂
t
,
∂
y
∂
t
>
{\displaystyle <{\frac {\partial x}{\partial t)),{\frac {\partial y}{\partial t))>}
,其中
t
=
h
(
s
)
{\displaystyle t=h(s)}
。
在E的切向量為
<
d
x
d
s
,
d
y
d
s
>
{\displaystyle <{\frac {dx}{ds)),{\frac {dy}{ds))>}
。因為
x
{\displaystyle x}
是
s
{\displaystyle s}
和
t
{\displaystyle t}
的函數,而此處
t
=
h
(
s
)
{\displaystyle t=h(s)}
,局部求導有:
d
x
d
s
=
∂
x
∂
h
d
h
d
s
+
∂
x
∂
s
d
s
d
s
=
∂
x
∂
h
h
′
(
s
)
+
∂
x
∂
s
{\displaystyle {\frac {dx}{ds))={\frac {\partial x}{\partial h)){\frac {dh}{ds))+{\frac {\partial x}{\partial s)){\frac {ds}{ds))={\frac {\partial x}{\partial h))h'(s)+{\frac {\partial x}{\partial s))}
類似地得
d
y
d
s
=
∂
y
∂
h
h
′
(
s
)
+
∂
y
∂
s
{\displaystyle {\frac {dy}{ds))={\frac {\partial y}{\partial h))h'(s)+{\frac {\partial y}{\partial s))}
。
因為
E
{\displaystyle E}
和
C
s
{\displaystyle C_{s))
在該點相切,因此其切向量應平行,故有
∂
x
∂
t
=
λ
(
∂
x
∂
h
h
′
(
s
)
+
∂
x
∂
s
)
{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial t))=\lambda ({\frac {\partial x}{\partial h))h'(s)+{\frac {\partial x}{\partial s)))}
∂
y
∂
t
=
λ
(
∂
y
∂
h
h
′
(
s
)
+
∂
y
∂
s
)
{\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial t))=\lambda ({\frac {\partial y}{\partial h))h'(s)+{\frac {\partial y}{\partial s)))}
其中
λ
≠
0
{\displaystyle \lambda \neq 0}
。可用此兩式消去
h
′
(
s
)
{\displaystyle h'(s)}
。整理後得:
∂
y
∂
h
∂
x
∂
s
=
∂
y
∂
s
∂
x
∂
h
{\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial h)){\frac {\partial x}{\partial s))={\frac {\partial y}{\partial s)){\frac {\partial x}{\partial h))}