光線轉換矩陣分析(又稱ABCD矩陣分析),是用於某些光學系統,特別是雷射領域的一種光線追蹤技術。它包含一個描述光學系統的光線轉化矩陣(ray transfer matrix),這個矩陣與一代表光線的向量相乘之後,可以得到光線在該系統中的運行軌跡。這類的分析也被應用於加速器物理(accelerator physics)中,用以追蹤通過粒子加速器中磁鐵裝置的粒子,詳情請見电子光学。
以下介紹的技術使用了近軸逼近法,此逼近法意即假設所有光線相對於系統的光軸(optical axis)都處於小角度(θ為徑度)、短距離(x)。[1]
光線追蹤技術以兩個平面為參考面,分別為輸入平面與輸出平面,這兩個平面均垂直於系統的光軸。此外,為了理論的一般性,我們定義系統的光軸即直角坐標系的z軸。一光線與輸入面呈θ1,從距離光軸 x1 的入射面進入系統,並在距光軸的x2的輸出面呈θ2射出,而n1, n2分別是在輸入面與輸出面中介質的折射率。
這些參數可表成下列關係式:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix)){\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/267d8a28d863821428a9fca2f887d49115850499)
當
![{\displaystyle A={x_{2} \over x_{1)){\bigg |}_{\theta _{1}=0}\qquad B={x_{2} \over \theta _{1)){\bigg |}_{x_{1}=0))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c710ae6a36a5f2048f38de1f21e4b87c2cd61c1b)
且
![{\displaystyle C={\theta _{2} \over x_{1)){\bigg |}_{\theta _{1}=0}\qquad D={\theta _{2} \over \theta _{1)){\bigg |}_{x_{1}=0))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9645bb98b3987eaefe75af52568ffa19d8ef3d0)
這個關係式以光線轉化矩陣(RTM, M)將光線向量與輸入、輸出面互相連結,M代表的是在這兩個平面之間的光學系統。根据折射定律与几何关系,可以證明RTM行列式值(determinant)即是兩個折射率的比值。
![{\displaystyle \det(\mathbf {M} )=AD-BC={n_{1} \over n_{2))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be1b59eaf4ed2a57011aaa757770d6f7bd240560)
因此,若是輸入面與輸出面在同一個介質中,或是在具有同一個折射率的不同介質中,M等於1,相似的技術可以應用於電路學上,見二埠網路。
若兩個面中有空間存在,光線轉換矩陣可以表示成:
![{\displaystyle \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/986cb67b61222ce0b99018a5fc5051c163b0dfa5)
其中d表示兩參考平面的距離(沿著光軸測量),此矩陣有下列關係:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix))=\mathbf {S} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/309c8a2e82cf7ccdd28b6ff5c447a14ab02d12bb)
兩光線各別的參數可表示如下:
![{\displaystyle {\begin{matrix}x_{2}&=&x_{1}+d\theta _{1}\\\theta _{2}&=&\theta _{1}\end{matrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6d361539d2a36da5e2f1b395b3053419ac4154d)
另一個範例為一薄透鏡,其光線轉畫矩陣為:
![{\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{f))&1\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bedefeaadffaf8ec200d75d89f3b804b20874952)
其中f為透鏡的焦距。若遇表示依複合光學系統,光線轉化矩陣可以交互相乘,形成一總括光線轉化矩陣,以下範例唯為一長度為d的空間與薄透鏡的複合系統:
![{\displaystyle \mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{f))&1\end{bmatrix)){\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f))&1-{\frac {d}{f))\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2582f1066ee448b846450b6d6b984267a353763)
注意,矩陣的乘法並沒有交換率,因此下面的系統先為一薄透鏡,後為一空間。
![{\displaystyle \mathbf {SL} ={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix)){\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{f))&1\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}1-{\frac {d}{f))&d\\{\frac {-1}{f))&1\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bccdbf1343c15d08823c0e334546a82ff308d52c)
因此,矩陣必須照順序排好。不同的矩陣可以代表不同折射率的介質,或者是面鏡的反射等等。
簡易的光學元素
RTM在模擬光學共振系統的時候特別有用,像是雷射。在最簡單的情況下由兩個完全相同,具100%反射率、曲率半徑R相互距離為d的面鏡組成。為了達到光學追蹤的目的,上述的系統可以等同於由一系列焦距為R/2,彼此間的距離為d的薄透鏡所組成的系統,此結構又被稱為a lens equivalent duct或lens equivalent waveguide. 上述系統每一個波導下的RTM如下:
![{\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f))&1-{\frac {d}{f))\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/138c367d4dcfadb5525321f9afbb637467dbbeae)
光學轉化矩陣分析此時就可以決定一個波導的穩定性(等同於共振器),意即RTM可以找出光可以週期性地再聚焦,並待在波導內的狀況。我們可以找到系統中所有光的”eigenrays”,入射向量在每個mentioned sections的波導乘上一個實數或是複數的 λ 將會等於1。 使得:
![{\displaystyle \mathbf {M} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix))=\lambda {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be58f5989c045c206a99e47af25141358a6a173f)
此為一本徵方程式:
![{\displaystyle \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix))=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/681ee27a27c9163b389649865a0ff87dee9916e8)
其中I為一2x2單位矩陣。
我們可以進一步計算此轉化矩陣的本徵值:
![{\displaystyle \operatorname {det} \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48436add260bfbba0d8555ad1c04b38d4cdf47b7)
可導出以下特徵方程式:
![{\displaystyle \lambda ^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {M} )\lambda +\operatorname {det} (\mathbf {M} )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc3daf9b6bae3a6a373605184b41b74c2da30042)
其中
![{\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {M} )=A+D=2-{d \over f))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbd5c72e8c603d82586379923c98143a4646f1ee)
是RTM的軌跡,且
![{\displaystyle \operatorname {det} (\mathbf {M} )=AD-BC=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fdd83403848b0dd71dd6ec887a7e967b87eb821)
是RTM行列式值的倒數,帶入消去後我們可以得到:
![{\displaystyle \lambda ^{2}-2g\lambda +1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89826b307d1d3192f243aed1618d8f8b52a24206)
其中
![{\displaystyle g\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=))\ {\operatorname {tr} (\mathbf {M} ) \over 2}=1-{d \over 2f))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c91b46cb573e4f85351086b20909e4de137ca8f7)
是穩定參數。本徵值是本徵方程式的解,由一元二次方程式可以解出:
![{\displaystyle \lambda _{\pm }=g\pm {\sqrt {g^{2}-1))\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae69835ccab71a60ce34ed172b00f24fff4b49be)
現在,考慮一個光線通過系統N次:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{N}\\\theta _{N}\end{bmatrix))=\lambda ^{N}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c8c7bb8e8f0f377b00079cceca56a3598eae646)
如果此波導是穩定的,所有的光都不會被隨意的引道到偏離主軸很遠的地方,意即λN必須是有限的。吾人假設g2>1,則兩本徵值均為實數,又因為λ*λ- = 1 ,因此其中一個的絕對值必須大於1,這也暗示了代表本徵向量的光線不會收斂。因此在依穩定的波導中,g2≤1,以及本徵值可以用複數形式表示:
![{\displaystyle \lambda _{\pm }=g\pm i{\sqrt {1-g^{2))}=\cos(\phi )\pm i\sin(\phi )=e^{\pm i\phi ))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce2dd3640f2a81bbd6212197456a9e36ed7952f9)
以g=cos(φ)表示。
假設
且
,
是
,
的本徵向量,此兩向量橫跨所有向量空間,因為他們是正交
因此輸入的向量可以被表示成:
,
and
為某常數
再通過N個波導後,輸出則為:
![{\displaystyle \mathbf {M} ^{N}(c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-})=\lambda _{+}^{N}c_{+}r_{+}+\lambda _{-}^{N}c_{-}r_{-}=e^{iN\phi }c_{+}r_{+}+e^{-iN\phi }c_{-}r_{-))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4297889dcccb6db7645eefee9b05651e45fe5851)
這代表一個週期函數。
光線轉化矩陣的建立也可以用於描述高斯光束(Gaussian beams),若有一高斯光束波長為λ0,曲率半徑為R,光點大小w,折射率n,我們可以定義出一複數光束參數(complex beam parameter) q:
![{\displaystyle {\frac {1}{q))={\frac {1}{R))-{\frac {i\lambda _{0)){\pi nw^{2))))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5172ada580656cde4da2bdb874873ad0acf2c0f)
此光束可以轉移至一具有下列光線轉化矩陣的光學系統:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}q_{2}\\1\end{bmatrix))=k{\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix)){\begin{bmatrix}q_{1}\\1\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00ddb86c6b4728e88db59c8188c578ff26e73bb5)
其中k為標準化常數,此常數可以讓光束向量的第二個成分為1,利用矩陣乘法:
![{\displaystyle q_{2}=k(Aq_{1}+B)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0af0fa494f8b243e2fee2a7f5f304571c4ee825)
且
![{\displaystyle 1=k(Cq_{1}+D)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/540e01de4f15682dfacb8660251e1b1971186c55)
由上式除以下式可得:
![{\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c3d684b38f105b55348da0b5a50e5a83ab8fa9)
此方程式常以倒數形式表示:
![{\displaystyle {1 \over q_{2))={C+D/q_{1} \over A+B/q_{1))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/959843b73ed09b02b7706ee96b476a1c9e14514c)
假設一光束通過一距離為d的空間,光線轉化矩陣為:
因此
![{\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D))={\frac {q_{1}+d}{1))=q_{1}+d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b6830cf30a378fe80966953369b955079019427)
這表示,通過一空間會增加半徑d。
假設一光束通過一焦距為f的薄透鏡,光線轉化矩陣為:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}1&0\\-1/f&1\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f9661cb6a53c6061e4b5d94a12a12fea87c52ca)
因此
![{\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D))={\frac {q_{1)){-{\frac {q_{1)){f))+1))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37a7d4aa8937f0c4314f474aeb55876603e73599)
![{\displaystyle {\frac {1}{q_{2))}={\frac {-{\frac {q_{1)){f))+1}{q_{1))}={\frac {1}{q_{1))}-{\frac {1}{f))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c60e9815cbbcac2cc7ce21bd15e7d82301e0d47)
再次強調,只有q的實部會被影響,曲率半徑會減少1/f。
- Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich. Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons. 1991. Section 1.4, pp. 26 – 36.