約瑟·伯特蘭 在經典力學 裏,伯特蘭定理 闡明,只有兩種位勢
V
{\displaystyle V}
可以給出閉合軌道[ 1] :
V
(
r
)
=
−
k
r
{\displaystyle V(r)={\frac {-k}{r))}
。
V
(
r
)
=
1
2
k
r
2
{\displaystyle V(r)={\frac {1}{2))kr^{2))
。其中,
r
{\displaystyle r}
是徑向座標,
k
{\displaystyle k}
是正值常數。假若物體從某位置移動,經過一段路徑後,又回到原先位置,則稱此路徑為閉合軌道 。
1687年,物理学家艾薩克·牛頓 在著作《自然哲學的數學原理》裏提出了萬有引力定律 ,解釋了行星繞著太陽的公轉为何遵守克卜勒定律 。此后許多科學家開始研究,當行星的運動稍許偏離了這軌道時,可能會發生的狀況。其中一個問題為軌道是否仍舊閉合。但經過多年的探討亦無法給出合理的解答。直到1873年,法國數學家約瑟·伯特蘭 發表伯特蘭定理,才正確解析此問題。该定理對於經典天體力學 研究非常重要,伯特蘭定理給予實驗者一個精確的方法,來測試萬有引力的平方反比性質。
在現代物理學裏,理論物理學家發現由於廣義相對論 效應,引力與距離不再成精確的平方反比關係,因此軌道是非閉合的。天文學家作實驗觀測到,水星 繞著太陽 公轉的橢圓軌道,其近拱點 呈緩慢進動 狀態。
所有吸引性連心力 都可以產生圓形 的公轉軌道;這圓形軌道當然是閉合軌道;其形成的唯一條件是連心力恰巧地與離心力 等值;後者決定了維持某圓形半徑所需的角速度 。本篇文章不研究非連心力 。一般而言,非連心力不會產生圓形的公轉軌道。
採用極坐標
(
r
,
θ
)
{\displaystyle (r,\theta )}
,一個移動於連心勢
V
(
r
)
{\displaystyle V(r)}
的粒子,其拉格朗日量
L
{\displaystyle {\mathcal {L))}
是
L
=
1
2
m
r
˙
2
+
1
2
m
r
2
θ
˙
2
−
V
(
r
)
{\displaystyle {\mathcal {L))={\frac {1}{2))m{\dot {r))^{2}+{\frac {1}{2))mr^{2}{\dot {\theta ))^{2}-V(r)}
。其中,
m
{\displaystyle m}
是粒子質量,
r
˙
{\displaystyle {\dot {r))}
、
θ
˙
{\displaystyle {\dot {\theta ))}
分別表示
r
{\displaystyle r}
、
θ
{\displaystyle \theta }
對於時間
t
{\displaystyle t}
的導數。
這粒子的拉格朗日方程式 為
m
r
¨
−
m
r
θ
˙
2
+
d
V
d
r
=
0
{\displaystyle m{\ddot {r))-mr{\dot {\theta ))^{2}+{\frac {dV}{dr))=0}
、
d
d
t
(
m
r
2
θ
˙
)
=
0
{\displaystyle {\frac {d}{dt))(mr^{2}{\dot {\theta )))=0}
。由於角坐標
θ
{\displaystyle \theta }
顯性地跟拉格朗日量無關,
θ
{\displaystyle \theta }
是個可略坐標 ,其共軛動量 (角動量 )
ℓ
{\displaystyle \ell }
守恆,
ℓ
{\displaystyle \ell }
是個常數:
ℓ
=
∂
L
∂
θ
˙
=
m
r
2
θ
˙
{\displaystyle \ell ={\frac {\partial {\mathcal {L))}{\partial {\dot {\theta ))))=mr^{2}{\dot {\theta ))}
。將角動量的方程式代入徑向拉格朗日方程式,可以得到一個
r
{\displaystyle r}
的二次微分方程式 ,
m
r
¨
−
ℓ
2
m
r
3
+
d
V
d
r
=
0
{\displaystyle m{\ddot {r))-{\frac {\ell ^{2)){mr^{3))}+{\frac {dV}{dr))=0}
。假設軌道是圓形軌道,方程式左手邊第一個項目是零,則如同期待的,連心力
−
d
V
d
r
{\displaystyle -{\frac {dV}{dr))}
等值於離心力
−
ℓ
2
m
r
3
{\displaystyle -{\frac {\ell ^{2)){mr^{3))))
。
對於時間的導數與對於角變數的導數之間關係為
d
d
t
=
ℓ
m
r
2
d
d
θ
{\displaystyle {\frac {d}{dt))={\frac {\ell }{mr^{2))}{\frac {d}{d\theta ))}
。將這公式代入,可推導出一個跟角度有關,跟時間無關的軌道方程式:
ℓ
r
2
d
d
θ
(
ℓ
m
r
2
d
r
d
θ
)
−
ℓ
2
m
r
3
=
−
d
V
d
r
{\displaystyle {\frac {\ell }{r^{2))}{\frac {d}{d\theta ))\left({\frac {\ell }{mr^{2))}{\frac {dr}{d\theta ))\right)-{\frac {\ell ^{2)){mr^{3))}=-{\frac {dV}{dr))}
。設定變數
u
=
1
r
{\displaystyle u={\frac {1}{r))}
,改換方程式的變數為
u
{\displaystyle u}
,同時將方程式兩邊乘以
m
ℓ
2
u
2
{\displaystyle {\frac {m}{\ell ^{2}u^{2))))
,可以得到一個常係數非齊次線性全微分方程式 :
d
2
u
d
θ
2
+
u
=
−
m
ℓ
2
d
d
u
V
(
1
/
u
)
{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2))}+u=-{\frac {m}{\ell ^{2))}{\frac {d}{du))V(1/u)}
。如同前面所說,給予粒子適當的初始速度,任何連心力都能產生標準圓形軌道。可是,假設給予粒子某徑向速度,則這些軌道可能不穩定(穩定 在這裏定義為長久地公轉於同一條軌道),也可能不閉合。本段落會證明,穩定的閉合軌道只發生於平方反比連心勢或徑向諧振子勢(一個必要條件 )。下一個段落會證明,這些位勢的確會產生穩定的閉合軌道(一個充分條件 )。
為了簡化標記,設定
J
(
u
)
=
−
m
ℓ
2
d
d
u
V
(
1
/
u
)
=
−
m
ℓ
2
u
2
f
(
1
/
u
)
{\displaystyle J(u)=-{\frac {m}{\ell ^{2))}{\frac {d}{du))V(1/u)=-{\frac {m}{\ell ^{2}u^{2))}f(1/u)}
;(1) 其中,
f
(
1
/
u
)
{\displaystyle f(1/u)}
是連心力函數。
則軌道方程式為
d
2
u
d
θ
2
+
u
=
J
(
u
)
{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2))}+u=J(u)}
。如果要得到半徑為
r
0
≡
1
u
0
{\displaystyle r_{0}\equiv {\frac {1}{u_{0))))
的圓形運動軌道,必要條件是軌道方程式左邊第一項等於零,方程式變為
u
0
=
J
(
u
0
)
{\displaystyle u_{0}=J(u_{0})}
。思考對於標準圓形運動軌道的變數
u
{\displaystyle u}
的微擾
η
≡
u
−
u
0
{\displaystyle \eta \equiv u-u_{0))
,函數
J
(
u
)
{\displaystyle J(u)}
在
u
0
{\displaystyle u_{0))
的泰勒級數 為
J
(
u
)
≈
u
0
+
η
J
′
(
u
0
)
+
1
2
η
2
J
′
′
(
u
0
)
+
1
6
η
3
J
′
′
′
(
u
0
)
+
…
{\displaystyle J(u)\approx u_{0}+\eta J^{\prime }(u_{0})+{\frac {1}{2))\eta ^{2}J^{\prime \prime }(u_{0})+{\frac {1}{6))\eta ^{3}J^{\prime \prime \prime }(u_{0})+\ldots }
。將此展開示代入軌道方程式:
d
2
η
d
θ
2
+
η
=
η
J
′
(
u
0
)
+
1
2
η
2
J
′
′
(
u
0
)
+
1
6
η
3
J
′
′
′
(
u
0
)
…
{\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2))}+\eta =\eta J^{\prime }(u_{0})+{\frac {1}{2))\eta ^{2}J^{\prime \prime }(u_{0})+{\frac {1}{6))\eta ^{3}J^{\prime \prime \prime }(u_{0})\ldots }
。設定常數
β
2
≡
1
−
J
′
(
u
0
)
{\displaystyle \beta ^{2}\equiv 1-J^{\prime }(u_{0})}
(
β
=
0
{\displaystyle \beta =0}
的解答為標準圓形運動軌道):
d
2
η
d
θ
2
+
β
2
η
=
1
2
η
2
J
′
′
(
u
0
)
+
1
6
η
3
J
′
′
′
(
u
0
)
…
{\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2))}+\beta ^{2}\eta ={\frac {1}{2))\eta ^{2}J^{\prime \prime }(u_{0})+{\frac {1}{6))\eta ^{3}J^{\prime \prime \prime }(u_{0})\ldots }
。(2) 取至
η
{\displaystyle \eta }
的1次方:
d
2
η
d
θ
2
+
β
2
η
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2))}+\beta ^{2}\eta =0}
。
β
2
{\displaystyle \beta ^{2))
必須是個非負數;否則,軌道的半徑會呈指數方式遞增。一階微擾解答為
η
(
θ
)
=
h
1
cos
(
β
θ
)
{\displaystyle \eta (\theta )=h_{1}\cos(\beta \theta )}
;其中,振幅
h
1
{\displaystyle h_{1))
是個積分常數。
假若這軌道是閉合軌道,則
β
{\displaystyle \beta }
必須是有理數 。繼續運算,從方程式(1),取對於
u
{\displaystyle u}
的導數:
J
′
(
u
0
)
=
−
m
ℓ
2
(
−
2
f
(
1
/
u
)
u
3
|
u
0
+
1
u
2
d
f
(
1
/
u
)
d
u
|
u
0
)
=
−
2
J
(
u
)
u
|
u
o
+
J
(
u
)
f
(
1
/
u
)
d
f
d
u
|
u
0
=
−
2
+
u
0
f
(
1
/
u
0
)
d
f
d
u
|
u
0
=
1
−
β
2
{\displaystyle {\begin{aligned}J^{\prime }(u_{0})&=-{\frac {m}{\ell ^{2))}\left(-\left.{\frac {2f(1/u)}{u^{3))}\right|_{u_{0))+\left.{\frac {1}{u^{2))}{\frac {df(1/u)}{du))\right|_{u_{0))\right)\\&=-\left.{\frac {2J(u)}{u))\right|_{u_{o))+{\frac {J(u)}{f(1/u)))\left.{\frac {df}{du))\right|_{u_{0))=-2+{\frac {u_{0)){f(1/u_{0})))\left.{\frac {df}{du))\right|_{u_{0))=1-\beta ^{2}\\\end{aligned))}
。 這方程式對於任意
u
0
{\displaystyle u_{0))
值都必須成立,因此可以將
u
0
{\displaystyle u_{0))
認定為函數
d
f
d
u
|
u
0
{\displaystyle \left.{\frac {df}{du))\right|_{u_{0))}
的參數。用符號
u
{\displaystyle u}
來代替
u
0
{\displaystyle u_{0))
,
d
f
d
u
=
−
(
β
2
−
3
)
f
(
1
/
u
)
u
{\displaystyle {\frac {df}{du))=-(\beta ^{2}-3){\frac {f(1/u)}{u))}
。將方程式的變數換回為
r
{\displaystyle r}
,
d
f
d
r
=
(
β
2
−
3
)
f
r
{\displaystyle {\frac {df}{dr))=\left(\beta ^{2}-3\right){\frac {f}{r))}
。這意味著作用力必須遵守冪定律 :
f
(
r
)
=
−
k
r
3
−
β
2
{\displaystyle f(r)=-{\frac {k}{r^{3-\beta ^{2))))}
。代入方程式 (1) ,
J
{\displaystyle J}
的一般形式為
J
(
u
)
=
m
k
ℓ
2
u
1
−
β
2
{\displaystyle J(u)={\frac {mk}{\ell ^{2))}u^{1-\beta ^{2))}
。(3) 假設實際軌道與圓形有更大的差別(也就是說,不能忽略
J
{\displaystyle J}
函數的泰勒級數的更高次方項目),則可以用傅立葉級數 來展開
η
{\displaystyle \eta }
:
η
(
θ
)
=
h
0
+
h
1
cos
(
β
θ
)
+
h
2
cos
(
2
β
θ
)
+
h
3
cos
(
3
β
θ
)
+
…
{\displaystyle \eta (\theta )=h_{0}+h_{1}\cos(\beta \theta )+h_{2}\cos(2\beta \theta )+h_{3}\cos(3\beta \theta )+\ldots }
。因為高頻率項目的係數太小,傅立葉級數只取至
3
β
{\displaystyle 3\beta }
項目。方程式 (2)也只取至
η
{\displaystyle \eta }
的三次方。注意到
h
0
{\displaystyle h_{0))
與
h
2
{\displaystyle h_{2))
的數量級為
h
1
2
{\displaystyle h_{1}^{2}\!}
,超小於
h
1
{\displaystyle h_{1))
;
h
3
,
{\displaystyle h_{3},\!}
的數量級為
h
1
3
{\displaystyle h_{1}^{3))
,超小於
h
0
{\displaystyle h_{0))
與
h
2
{\displaystyle h_{2))
。將上述傅立葉級數代入方程式 (2),匹配方程式兩邊同頻率項目的係數。這樣,可以得到一系列方程式:
h
0
=
h
1
2
J
′
′
(
u
0
)
4
β
2
{\displaystyle h_{0}=h_{1}^{2}{\frac {J^{\prime \prime }(u_{0})}{4\beta ^{2))))
,(4)
0
=
(
2
h
1
h
0
+
h
1
h
2
)
J
′
′
(
u
0
)
2
+
h
1
3
J
′
′
′
(
u
0
)
8
{\displaystyle 0=(2h_{1}h_{0}+h_{1}h_{2}){\frac {J^{\prime \prime }(u_{0})}{2))+h_{1}^{3}{\frac {J^{\prime \prime \prime }(u_{0})}{8))}
,(5)
h
2
=
−
h
1
2
J
′
′
(
u
0
)
12
β
2
{\displaystyle h_{2}=-h_{1}^{2}{\frac {J^{\prime \prime }(u_{0})}{12\beta ^{2))))
。(6) 求
J
(
u
)
{\displaystyle J(u)}
在
u
0
{\displaystyle u_{0))
對於
u
{\displaystyle u}
的微分:
J
′
(
u
0
)
=
(
1
−
β
2
)
m
k
ℓ
2
u
0
−
β
2
=
1
−
β
2
{\displaystyle J^{\prime }(u_{0})=(1-\beta ^{2}){\frac {mk}{\ell ^{2))}u_{0}^{-\beta ^{2))=1-\beta ^{2))
J
′
′
(
u
0
)
=
(
1
−
β
2
)
(
−
β
2
)
m
k
ℓ
2
u
0
−
β
2
−
1
=
−
β
2
(
1
−
β
2
)
u
0
{\displaystyle J^{\prime \prime }(u_{0})=(1-\beta ^{2})(-\beta ^{2}){\frac {mk}{\ell ^{2))}u_{0}^{-\beta ^{2}-1}=-{\frac {\beta ^{2}(1-\beta ^{2})}{u_{0))))
。(7)
J
′
′
′
(
u
0
)
=
(
1
−
β
2
)
(
−
β
2
)
(
−
β
2
−
1
)
m
k
ℓ
2
u
0
−
β
2
−
2
=
β
2
(
1
−
β
2
)
(
1
+
β
2
)
u
0
2
{\displaystyle J^{\prime \prime \prime }(u_{0})=(1-\beta ^{2})(-\beta ^{2})(-\beta ^{2}-1){\frac {mk}{\ell ^{2))}u_{0}^{-\beta ^{2}-2}={\frac {\beta ^{2}(1-\beta ^{2})(1+\beta ^{2})}{u_{0}^{2))))
。(8) 將方程式(7)、(8)代入方程式(4)、(6):
h
0
=
−
(
1
−
β
2
)
h
1
2
4
u
0
{\displaystyle h_{0}=-{\frac {(1-\beta ^{2})h_{1}^{2)){4u_{0))))
,(9)
h
2
=
(
1
−
β
2
)
h
1
2
12
u
0
{\displaystyle h_{2}={\frac {(1-\beta ^{2})h_{1}^{2)){12u_{0))))
。(10) 再將方程式 (7)、(8)、(9)、(10)代入方程式 (5),經過一番運算,可以得到伯特蘭定理的重要結果:
β
2
(
1
−
β
2
)
(
4
−
β
2
)
=
0
{\displaystyle \beta ^{2}(1-\beta ^{2})(4-\beta ^{2})=0}
。解答
β
=
0
{\displaystyle \beta =0}
是標準圓形軌道。只有平方反比連心勢 (
β
=
1
{\displaystyle \beta =1}
)與徑向諧振子勢 (
β
=
2
{\displaystyle \beta =2}
)能夠造成穩定的,閉合的,非圓形的公轉軌道。
平方反比連心力給出的連心勢,像重力勢或靜電勢,以方程式表示為
V
(
r
)
=
−
k
r
=
−
k
u
{\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {-k}{r))=-ku}
。處於這種連心勢的粒子,其一般軌道方程式寫為
d
2
u
d
θ
2
+
u
=
−
m
ℓ
2
d
d
u
V
(
1
/
u
)
=
k
m
ℓ
2
{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2))}+u=-{\frac {m}{\ell ^{2))}{\frac {d}{du))V(1/u)={\frac {km}{\ell ^{2))))
。其解答為軌道函數
u
(
θ
)
{\displaystyle u(\theta )}
:
u
=
k
m
ℓ
2
[
1
+
e
cos
(
θ
−
θ
0
)
]
{\displaystyle u={\frac {km}{\ell ^{2))}\left[1+e\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)\right]}
;其中,
e
{\displaystyle e}
是橢圓軌道的離心率 ,
θ
0
{\displaystyle \theta _{0))
是相位差,是一個積分常數。
這是焦點 位於原點的圓錐曲線 的一般方程式。當
e
=
0
{\displaystyle e=0}
時,這軌道對應於圓形 軌道;
當
e
<
1
{\displaystyle e<1}
時,這軌道是橢圓形軌道;當
e
=
1
{\displaystyle e=1}
時,這軌道是拋物線 軌道;當
e
>
1
{\displaystyle e>1}
時,這軌道是雙曲線 軌道。
離心率與粒子能量
E
{\displaystyle E}
的關係為
e
=
1
+
2
E
ℓ
2
k
2
m
{\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2E\ell ^{2)){k^{2}m))))}
。所以,當
E
=
−
k
2
m
2
ℓ
2
{\displaystyle E=-{\frac {k^{2}m}{2\ell ^{2))))
時,這軌道是圓形軌道;
當
E
<
0
{\displaystyle E<0}
時,這軌道是橢圓形軌道;當
E
=
0
{\displaystyle E=0}
時,這軌道是拋物線軌道;當
E
>
0
{\displaystyle E>0}
時,這軌道是雙曲線軌道。
為了方便解析這問題,採用直角坐標
r
=
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}
。勢能可以寫為
V
(
r
)
=
1
2
k
r
2
=
1
2
k
(
x
2
+
y
2
+
z
2
)
{\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {1}{2))kr^{2}={\frac {1}{2))k(x^{2}+y^{2}+z^{2})}
。處於徑向諧振子位勢的粒子,其拉格朗日量
L
{\displaystyle {\mathcal {L))}
是
L
=
1
2
m
(
x
˙
2
+
y
˙
2
+
z
˙
2
)
+
1
2
k
(
x
2
+
y
2
+
z
2
)
{\displaystyle {\mathcal {L))={\frac {1}{2))m({\dot {x))^{2}+{\dot {y))^{2}+{\dot {z))^{2})+{\frac {1}{2))k(x^{2}+y^{2}+z^{2})}
。這粒子的拉格朗日方程式為
d
2
x
d
t
2
+
ω
0
2
x
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2))}+\omega _{0}^{2}x=0}
、
d
2
y
d
t
2
+
ω
0
2
y
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2))}+\omega _{0}^{2}y=0}
、
d
2
z
d
t
2
+
ω
0
2
z
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2))}+\omega _{0}^{2}z=0}
;其中,
ω
0
=
k
/
m
{\displaystyle \omega _{0}=k/m}
是振動頻率 。
常數
k
{\displaystyle k}
必須為正值;否則,粒子會朝著無窮遠飛離。這些微分方程式的解答為
x
=
A
x
cos
(
ω
0
t
+
ϕ
x
)
{\displaystyle x=A_{x}\cos \left(\omega _{0}t+\phi _{x}\right)}
、
y
=
A
y
cos
(
ω
0
t
+
ϕ
y
)
{\displaystyle y=A_{y}\cos \left(\omega _{0}t+\phi _{y}\right)}
、
z
=
A
z
cos
(
ω
0
t
+
ϕ
z
)
{\displaystyle z=A_{z}\cos \left(\omega _{0}t+\phi _{z}\right)}
;其中,
A
x
{\displaystyle A_{x))
、
A
y
{\displaystyle A_{y))
、
A
z
{\displaystyle A_{z))
分別為x、y、z方向的振幅,
ϕ
x
{\displaystyle \phi _{x))
、
ϕ
y
{\displaystyle \phi _{y))
、
ϕ
z
{\displaystyle \phi _{z))
分別為其相位
由於上述方程式經過整整一周期
T
≡
2
π
/
ω
0
{\displaystyle T\equiv {2\pi }/{\omega _{0))}
後,會重複自己,軌道解答
r
(
t
)
=
[
x
(
t
)
,
y
(
y
)
,
z
(
t
)
]
{\displaystyle \mathbf {r} (t)=\left[x(t),y(y),z(t)\right]}
是閉合軌道。
牛頓旋轉軌道定理 表明,對於一個感受到線性作用力或平方反比作用力的移動中的粒子,假設再增添立方反比力於此粒子,只要因子
α
{\displaystyle \alpha }
是有理數 ,則粒子的軌道仍舊是閉合軌道。根據牛頓旋轉軌道定理的方程式,增添的立方反比力
Δ
F
(
r
)
=
k
r
3
{\displaystyle \Delta F(r)={\frac {k}{r^{3))))
為
Δ
F
(
r
)
=
L
1
2
m
r
3
(
1
−
α
2
)
{\displaystyle \Delta F(r)={\frac {L_{1}^{2)){mr^{3))}\left(1-\alpha ^{2}\right)}
;其中,
ℓ
1
{\displaystyle \ell _{1))
是粒子原本的角動量,
m
{\displaystyle m}
是粒子的質量。
所以,
α
2
=
1
−
m
k
ℓ
1
2
{\displaystyle \alpha ^{2}=1-{\frac {mk}{\ell _{1}^{2))))
。
由於
α
{\displaystyle \alpha }
是有理數,
α
{\displaystyle \alpha }
可以寫為分數
m
/
n
{\displaystyle m/n}
;其中,
m
{\displaystyle m}
和
n
{\displaystyle n}
都是整數 。對於這案例,增添立方反比力使得粒子完成
m
{\displaystyle m}
圈公轉的時間等於原本完成
n
{\displaystyle n}
圈公轉的時間。這種產生閉合軌道的方法不違背伯特蘭定理,因為,增添的立方反比力與粒子的原本角動量有關。
^ Bertrand, J. Théorème relatif au mouvement d'un point attiré vers un centre fixe. C. R. Acad. Sci. 1873, 77 : 849–853.
Goldstein, Herbert . Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 89–92. ISBN 0201657023 (英语) .
Grandati, Yves; Bérard, Alain, Inverse problem and Bertrand's theorem , American Journal of Physics, August 2008, 76 (8): pp. 782–787
Tikochinsky, Yoel, A simplified proof of Bertrand's theorem , American Journal of Physics, December 1988, 56 (12): pp. 1063–1157
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