九點圓 九点圆定理 指出：在平面中，對所有三角形 ，其三邊的中點 、三高的垂足、頂點 到垂心 的三條線段 的中點，必然共圆，这个圆被称为九點圓 ，又称歐拉圓 、費爾巴哈圓 。
九點圓具有以下性質：
1765年，萊昂哈德·歐拉 證明：「垂心三角形和垂足三角形有共同的外接圓（六點圓）。」許多人誤以為九點圓是由歐拉發現所以又稱乎此圓為歐拉圓 。而第一個證明九點圓的人是彭賽列 （1821年）。1822年，卡尔·威廉·費爾巴哈 也發現了九點圓，並得出「九點圓和三角形的內切圓 和旁切圓 相切」，因此德國 人稱此圓為費爾巴哈圓 ，並稱這四個切點 為費爾巴哈點 。柯立芝 與大上茂喬（Shigetaka Ooue）[ 1]
如圖：
D
{\displaystyle D}
E
{\displaystyle E}
F
{\displaystyle F}
G
{\displaystyle G}
H
{\displaystyle H}
I
{\displaystyle I}
J
{\displaystyle J}
K
{\displaystyle K}
L
{\displaystyle L}
頂點 到垂心的三條線段的中點。
容易得出
△
A
B
S
∼
△
A
F
J
{\displaystyle \triangle ABS\sim \triangle AFJ}
△
C
B
S
∼
△
C
D
L
{\displaystyle \triangle CBS\sim \triangle CDL}
S
A
S
{\displaystyle SAS}
因此
F
J
¯
/
/
B
H
¯
/
/
D
L
¯
{\displaystyle {\overline {FJ))//{\overline {BH))//{\overline {DL))}
同樣可得出
△
A
B
C
∼
△
F
B
D
{\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle FBD}
△
A
S
C
∼
△
J
S
L
{\displaystyle \triangle ASC\sim \triangle JSL}
S
A
S
{\displaystyle SAS}
因此
F
D
¯
/
/
A
C
¯
/
/
J
L
¯
{\displaystyle {\overline {FD))//{\overline {AC))//{\overline {JL))}
又
B
H
¯
⊥
A
C
¯
{\displaystyle {\overline {BH))\perp {\overline {AC))}
D
F
J
L
{\displaystyle DFJL}
矩形 （四點共圓） 同理可證
F
K
L
E
{\displaystyle FKLE}
D
K
F
J
E
L
{\displaystyle DKFJEL}
∠
J
L
D
=
∠
J
G
D
=
90
∘
{\displaystyle \angle JLD=\angle JGD=90^{\circ ))
G
{\displaystyle G}
圓周角 相等）同理可證
H
{\displaystyle H}
I
{\displaystyle I}
九點圓的半徑是外接圓 的一半，且九點圓平分垂心與外接圓上的任一點的連線。
在直角坐標系 中，已知圓 的方程為
(
x
−
x
0
)
2
+
(
y
−
y
0
)
2
=
r
2
{\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2))
r
{\displaystyle r}
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
(
x
S
,
y
S
)
{\displaystyle (x_{S},y_{S})}
軌跡 ，則此軌跡的方程式為：
(
x
−
x
0
+
x
S
2
)
2
+
(
y
−
y
0
+
y
S
2
)
2
=
(
r
2
)
2
{\displaystyle \left(x-{\frac {x_{0}+x_{S)){2))\right)^{2}+\left(y-{\frac {y_{0}+y_{S)){2))\right)^{2}=\left({\frac {r}{2))\right)^{2))
設
r
{\displaystyle r}
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
(
x
S
,
y
S
)
{\displaystyle (x_{S},y_{S})}
已知九點圓通過頂點 到垂心的三條線段的中點，故此軌跡圓就是九點圓，半徑是外接圓的一半，且平分垂心與外接圓上的任一點的連線。
同時還可以得出下面的性質： 圓心在歐拉線 上，且在垂心到外心的線段的中點。由此可知，給定三角形頂點座標，九點圓圓心為
(
|
x
1
2
+
y
1
2
−
2
(
x
2
x
3
+
y
2
y
3
)
y
1
1
x
2
2
+
y
2
2
−
2
(
x
3
x
1
+
y
3
y
1
)
y
2
1
x
3
2
+
y
3
2
−
2
(
x
1
x
2
+
y
1
y
2
)
y
3
1
|
4
|
x
1
y
1
1
x
2
y
2
1
x
3
y
3
1
|
,
|
x
1
x
1
2
+
y
1
2
−
2
(
x
2
x
3
+
y
2
y
3
)
1
x
2
x
2
2
+
y
2
2
−
2
(
x
3
x
1
+
y
3
y
1
)
1
x
3
x
3
2
+
y
3
2
−
2
(
x
1
x
2
+
y
1
y
2
)
1
|
4
|
x
1
y
1
1
x
2
y
2
1
x
3
y
3
1
|
)
{\displaystyle \left({\frac {\begin{vmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-2\left(x_{2}x_{3}+y_{2}y_{3}\right)&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-2\left(x_{3}x_{1}+y_{3}y_{1}\right)&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}-2\left(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\right)&y_{3}&1\\\end{vmatrix)){4{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix)))),{\frac {\begin{vmatrix}x_{1}&x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-2\left(x_{2}x_{3}+y_{2}y_{3}\right)&1\\x_{2}&x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-2\left(x_{3}x_{1}+y_{3}y_{1}\right)&1\\x_{3}&x_{3}^{2}+y_{3}^{2}-2\left(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\right)&1\\\end{vmatrix)){4{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix))))\right)}
圓周上四點任取三點做三角形，四個三角形的九點圓圓心共圓。 垂心四面体的12点共球九点圆是垂心四面体各棱的中点和垂足（相对于对棱）共球的特例，两者是同构的
主旁心三角形的九點圓是三角形的外接圓
中點三角形 的外接圓是三角形的九點圓三線坐標 中，九點圓的座標為
cos
(
B
−
C
)
:
cos
(
C
−
A
)
:
cos
(
A
−
B
)
{\displaystyle \cos(B-C)\,:\,\cos(C-A)\,:\,\cos(A-B)}
三線坐標 中，費爾巴哈點的座標為
1
−
cos
(
B
−
C
)
:
1
−
cos
(
C
−
A
)
:
1
−
cos
(
A
−
B
)
{\displaystyle 1-\cos(B-C)\,:\,1-\cos(C-A)\,:\,1-\cos(A-B)}
