三次函数
y
=
x
3
−
8
x
2
+
x
+
15
{\displaystyle y=x^{3}-8x^{2}+x+15}
的图像。该函数与x轴相交3次说明方程
x
3
−
8
x
2
+
x
+
15
{\displaystyle x^{3}-8x^{2}+x+15}
有3个实数根。 三次方程 是未知项總次数最高 为3的整式 方程 ,一元 三次方程一般形式為
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}
,其中
a
,
b
,
c
,
d
(
a
≠
0
)
{\displaystyle a,b,c,d(a\neq 0)}
是屬於一個域 的數字,通常這個域為ℝ 或ℂ 。
本條目只解釋一元三次方程,而且簡稱之為三次方程式。
中國唐朝 数学家王孝通 在武德九年(626年)前后所著的《緝古算經 》中建立了25个三次多项式方程 和提出三次方程实根的数值解法。[ 1]
波斯数学家欧玛尔·海亚姆 (1048年-1123年)通过用圆锥截面与圆相交的方法構建了三次方程的解法。他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案。
中国南宋 的数学家秦九韶 在他1247年编写的《数书九章 》一书中提出了高次方程的数值解法秦九韶算法 ,提出“商常为正,实常为负,从常为正,益常为负”的原则。
在十六世纪早期,意大利数学家费罗 找到了能解一种三次方程的方法,也就是形如
x
3
+
m
x
=
n
{\displaystyle x^{3}+mx=n}
的方程。事实上,如果我们允许
m
,
n
{\displaystyle m,n}
是複数,所有的三次方程都能变成这种形式,但在那个时候人们不知道複数。
尼科洛·塔爾塔利亞 被認為是最早得出三次方程式一般解的人。1553年他在一場數學競賽中解出所有三次方程式的問題。隨後卡尔丹诺 拜訪了塔爾塔利亞 請教三次方程式解法並得到了啟發。卡尔丹诺 注意到塔爾塔利亞 的方法有时需要他给复数开平方。他甚至在《数学大典》裡包括了这些複數 的计算,但他并不真正理解它。拉斐尔·邦贝利 (Rafael Bombelli)详细地研究了这个问题,并因此被人们认为是複数的发现者。
当
Δ
>
0
{\displaystyle \Delta >0}
时,方程有一个实根和两个共轭 複根;
当
Δ
=
0
{\displaystyle \Delta =0}
时,方程有三个实根:当
(
b
c
6
a
2
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
)
2
=
−
(
c
3
a
−
b
2
9
a
2
)
3
=
0
{\displaystyle \left({\frac {bc}{6a^{2))}-{\frac {b^{3)){27a^{3))}-{\frac {d}{2a))\right)^{2}=-\left({\frac {c}{3a))-{\frac {b^{2)){9a^{2))}\right)^{3}=0}
时,方程有一个三重实根;
当
(
b
c
6
a
2
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
)
2
=
−
(
c
3
a
−
b
2
9
a
2
)
3
≠
0
{\displaystyle \left({\frac {bc}{6a^{2))}-{\frac {b^{3)){27a^{3))}-{\frac {d}{2a))\right)^{2}=-\left({\frac {c}{3a))-{\frac {b^{2)){9a^{2))}\right)^{3}\neq 0}
时,方程的三个实根中有两个相等;
当
Δ
<
0
{\displaystyle \Delta <0}
时,方程有三个不等的实根。
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
,
a
≠
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,a\neq 0}
x
1
=
−
b
3
a
+
b
c
6
a
2
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
+
(
b
c
6
a
2
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
)
2
+
(
c
3
a
−
b
2
9
a
2
)
3
3
+
b
c
6
a
2
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
−
(
b
c
6
a
2
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
)
2
+
(
c
3
a
−
b
2
9
a
2
)
3
3
{\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{3a))+{\sqrt[{3}]((\frac {bc}{6a^{2))}-{\frac {b^{3)){27a^{3))}-{\frac {d}{2a))+{\sqrt {\color {red}\left({\frac {bc}{6a^{2))}-{\frac {b^{3)){27a^{3))}-{\frac {d}{2a))\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a))-{\frac {b^{2)){9a^{2))}\right)^{3))))}+{\sqrt[{3}]((\frac {bc}{6a^{2))}-{\frac {b^{3)){27a^{3))}-{\frac {d}{2a))-{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2))}-{\frac {b^{3)){27a^{3))}-{\frac {d}{2a))\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a))-{\frac {b^{2)){9a^{2))}\right)^{3))))))
x
2
=
−
b
3
a
+
−
1
+
3
i
2
b
c
6
a
2
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
+
(
b
c
6
a
2
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
)
2
+
(
c
3
a
−
b
2
9
a
2
)
3
3
+
−
1
−
3
i
2
b
c
6
a
2
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
−
(
b
c
6
a
2
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
)
2
+
(
c
3
a
−
b
2
9
a
2
)
3
3
{\displaystyle x_{2}=-{\frac {b}{3a))+{\frac {-1+{\sqrt {3))\,{\rm {i))}{2)){\sqrt[{3}]((\frac {bc}{6a^{2))}-{\frac {b^{3)){27a^{3))}-{\frac {d}{2a))+{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2))}-{\frac {b^{3)){27a^{3))}-{\frac {d}{2a))\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a))-{\frac {b^{2)){9a^{2))}\right)^{3))))}+{\frac {-1-{\sqrt {3))\,{\rm {i))}{2)){\sqrt[{3}]((\frac {bc}{6a^{2))}-{\frac {b^{3)){27a^{3))}-{\frac {d}{2a))-{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2))}-{\frac {b^{3)){27a^{3))}-{\frac {d}{2a))\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a))-{\frac {b^{2)){9a^{2))}\right)^{3))))))
x
3
=
−
b
3
a
+
−
1
−
3
i
2
b
c
6
a
2
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
+
(
b
c
6
a
2
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
)
2
+
(
c
3
a
−
b
2
9
a
2
)
3
3
+
−
1
+
3
i
2
b
c
6
a
2
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
−
(
b
c
6
a
2
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
)
2
+
(
c
3
a
−
b
2
9
a
2
)
3
3
{\displaystyle x_{3}=-{\frac {b}{3a))+{\frac {-1-{\sqrt {3))\,{\rm {i))}{2)){\sqrt[{3}]((\frac {bc}{6a^{2))}-{\frac {b^{3)){27a^{3))}-{\frac {d}{2a))+{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2))}-{\frac {b^{3)){27a^{3))}-{\frac {d}{2a))\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a))-{\frac {b^{2)){9a^{2))}\right)^{3))))}+{\frac {-1+{\sqrt {3))\,{\rm {i))}{2)){\sqrt[{3}]((\frac {bc}{6a^{2))}-{\frac {b^{3)){27a^{3))}-{\frac {d}{2a))-{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2))}-{\frac {b^{3)){27a^{3))}-{\frac {d}{2a))\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a))-{\frac {b^{2)){9a^{2))}\right)^{3))))))
红色 字体部分为判别式
Δ
{\displaystyle \Delta }
。
当
Δ
>
0
{\displaystyle \Delta >0}
时,方程有一个实根和两个共轭 複根;
当
Δ
=
0
{\displaystyle \Delta =0}
时,方程有三个实根:
当
(
b
c
6
a
2
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
)
2
=
−
(
c
3
a
−
b
2
9
a
2
)
3
=
0
{\displaystyle \left({\frac {bc}{6a^{2))}-{\frac {b^{3)){27a^{3))}-{\frac {d}{2a))\right)^{2}=-\left({\frac {c}{3a))-{\frac {b^{2)){9a^{2))}\right)^{3}=0}
时,方程有一个三重实根;
当
(
b
c
6
a
2
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
)
2
=
−
(
c
3
a
−
b
2
9
a
2
)
3
≠
0
{\displaystyle \left({\frac {bc}{6a^{2))}-{\frac {b^{3)){27a^{3))}-{\frac {d}{2a))\right)^{2}=-\left({\frac {c}{3a))-{\frac {b^{2)){9a^{2))}\right)^{3}\neq 0}
时,方程的三个实根中有两个相等;
当
Δ
<
0
{\displaystyle \Delta <0}
时,方程有三个不等的实根。
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
,
a
≠
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,a\neq 0}
x
=
−
b
3
a
+
2
3
(
b
2
−
3
a
c
)
3
a
(
−
1
+
3
i
2
)
k
9
a
b
c
−
27
a
2
d
−
2
b
3
+
(
9
a
b
c
−
27
a
2
d
−
2
b
3
)
2
−
4
(
b
2
−
3
a
c
)
3
3
+
(
−
1
+
3
i
2
)
k
9
a
b
c
−
27
a
2
d
−
2
b
3
+
(
9
a
b
c
−
27
a
2
d
−
2
b
3
)
2
−
4
(
b
2
−
3
a
c
)
3
3
3
2
3
a
,
k
=
0
,
1
,
2
{\displaystyle x=-((b} \over {3a))+(({\sqrt[{3}]{2))\left(b^{2}-3ac\right)} \over {3a\left(((-1+{\sqrt {3))i} \over {2))\right)^{k)){\sqrt[{3}]{9abc-27a^{2}d-2b^{3}+{\sqrt {\left(9abc-27a^{2}d-2b^{3}\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3))))))+((\left(((-1+{\sqrt {3))i} \over {2))\right)^{k)){\sqrt[{3}]{9abc-27a^{2}d-2b^{3}+{\sqrt {\left(9abc-27a^{2}d-2b^{3}\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3))))} \over {3{\sqrt[{3}]{2))a)),k=0,1,2}
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}
,其中
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
。
若令
Δ
=
(
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
+
b
c
6
a
2
)
2
+
(
c
3
a
−
b
2
9
a
2
)
3
=
α
2
+
β
3
<
0
{\displaystyle \Delta =\left({\frac {-b^{3)){27a^{3))}-{\frac {d}{2a))+{\frac {bc}{6a^{2))}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a))-{\frac {b^{2)){9a^{2))}\right)^{3}=\alpha ^{2}+\beta ^{3}<0}
,则
x
1
=
−
b
3
a
+
2
−
β
cos
[
arccos
α
(
−
β
)
3
2
3
]
{\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{3a))+2{\sqrt {-\beta ))\cos \left[{\frac {\arccos {\frac {\alpha }{(-\beta )^{\frac {3}{2))))}{3))\right]}
x
2
=
−
b
3
a
+
2
−
β
cos
[
arccos
α
(
−
β
)
3
2
+
2
π
3
]
{\displaystyle x_{2}=-{\frac {b}{3a))+2{\sqrt {-\beta ))\cos \left[{\frac {\arccos {\frac {\alpha }{(-\beta )^{\frac {3}{2))))+2\pi }{3))\right]}
x
3
=
−
b
3
a
+
2
−
β
cos
[
arccos
α
(
−
β
)
3
2
−
2
π
3
]
{\displaystyle x_{3}=-{\frac {b}{3a))+2{\sqrt {-\beta ))\cos \left[{\frac {\arccos {\frac {\alpha }{(-\beta )^{\frac {3}{2))))-2\pi }{3))\right]}
令
K
{\displaystyle K}
為域,可以進行開平方或立方運算。要解方程只需找到一個根
r
{\displaystyle r}
,然後把方程
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}
除以
x
−
r
{\displaystyle x-r}
,就得到一個二次方程 ,而我們已會解二次方程。
在一個代數封閉 域,所有三次方程都有三個根。複數域就是這樣一個域,這是代數基本定理 的結果。
解方程步驟:
把原來方程除以首項係數
a
(
a
≠
0
)
{\displaystyle a\left(a\neq 0\right)}
,得到:
x
3
+
b
′
x
2
+
c
′
x
+
d
′
=
0
{\displaystyle x^{3}+b'x^{2}+c'x+d'=0}
,其中
b
′
=
b
a
{\displaystyle b'={\frac {b}{a))}
,
c
′
=
c
a
{\displaystyle c'={\frac {c}{a))}
,
d
′
=
d
a
{\displaystyle d'={\frac {d}{a))}
。代換未知項
x
=
z
−
b
′
3
{\displaystyle x=z-{\frac {b'}{3))}
,以消去二次項。當展開
(
z
−
b
′
3
)
3
{\displaystyle \left(z-{\frac {b'}{3))\right)^{3))
,會得到
−
b
′
z
2
{\displaystyle -b'z^{2))
這項,正好抵消掉出現於
b
′
(
z
−
b
′
3
)
2
{\displaystyle b'\left(z-{\frac {b'}{3))\right)^{2))
的項
b
′
z
2
{\displaystyle b'z^{2))
。故得:
z
3
+
p
z
+
q
=
0
{\displaystyle z^{3}+pz+q=0}
,其中
p
{\displaystyle p}
和
q
{\displaystyle q}
是域中的數字。
p
=
c
′
−
b
′
2
3
{\displaystyle p=c'-{\frac {b'^{2)){3))}
;
q
=
2
b
′
3
27
−
b
′
c
′
3
+
d
′
{\displaystyle q={\frac {2b'^{3)){27))-{\frac {b'c'}{3))+d'}
。設
u
,
v
{\displaystyle u,v}
滿足
3
u
v
=
−
p
,
u
3
+
v
3
=
−
q
{\displaystyle 3uv=-p,u^{3}+v^{3}=-q}
,則
u
+
v
{\displaystyle u+v}
為解 這個假設的hint如下:
記
z
=
u
+
υ
{\displaystyle z=u+\upsilon }
。前一方程化為
(
u
+
υ
)
3
+
p
(
u
+
υ
)
+
q
=
0
{\displaystyle (u+\upsilon )^{3}+p(u+\upsilon )+q=0}
。
展開:
u
3
+
3
u
2
υ
+
3
u
υ
2
+
υ
3
+
p
u
+
p
υ
+
q
=
0
{\displaystyle u^{3}+3u^{2}\upsilon +3u\upsilon ^{2}+\upsilon ^{3}+pu+p\upsilon +q=0}
。
重組:
(
u
3
+
υ
3
+
q
)
+
(
3
u
υ
2
+
3
u
2
υ
+
p
u
+
p
υ
)
=
0
{\displaystyle (u^{3}+\upsilon ^{3}+q)+(3u\upsilon ^{2}+3u^{2}\upsilon +pu+p\upsilon )=0}
。
分解:
(
u
3
+
υ
3
+
q
)
+
(
u
+
υ
)
(
3
u
υ
+
p
)
=
(
u
3
+
υ
3
+
q
)
+
z
(
3
u
υ
+
p
)
=
0
{\displaystyle (u^{3}+\upsilon ^{3}+q)+(u+\upsilon )(3u\upsilon +p)=(u^{3}+\upsilon ^{3}+q)+z(3u\upsilon +p)=0}
。 設
U
=
u
3
{\displaystyle U=u^{3))
和
V
=
υ
3
{\displaystyle V=\upsilon ^{3))
。我們有
U
+
V
=
−
q
{\displaystyle U+V=-q}
和
U
V
=
−
p
3
27
{\displaystyle UV=-{\frac {p^{3)){27))}
因為
U
V
=
(
u
υ
)
3
=
(
−
p
3
)
3
{\displaystyle UV=(u\upsilon )^{3}=(-{\frac {p}{3)))^{3))
。所以
U
{\displaystyle U}
和
V
{\displaystyle V}
是輔助方程
X
2
+
q
X
−
p
3
27
=
0
{\displaystyle \mathrm {X} ^{2}+q\mathrm {X} -{\frac {p^{3)){27))=0}
的根,可代一般二次方程公式得解。 接下來,
u
{\displaystyle u}
和
v
{\displaystyle v}
是
U
{\displaystyle U}
和
V
{\displaystyle V}
的立方根,適合
u
v
=
−
p
3
{\displaystyle uv=-{\frac {p}{3))}
,
z
=
u
+
v
{\displaystyle z=u+v}
,最後得出
x
=
z
−
b
′
3
{\displaystyle x=z-{\frac {b'}{3))}
。
在域
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
裡,若
u
0
{\displaystyle u_{0))
和
v
0
{\displaystyle v_{0))
是立方根,其它的立方根就是
ω
u
0
{\displaystyle \omega u_{0))
和
ω
2
u
0
{\displaystyle \omega ^{2}u_{0))
,當然還有
ω
v
0
{\displaystyle \omega v_{0))
和
ω
2
v
0
{\displaystyle \omega ^{2}v_{0))
,其中
ω
=
e
2
i
π
3
=
−
1
+
3
i
2
{\displaystyle \omega =e^{\frac {2i\pi }{3))={\frac {-1+{\sqrt {3))i}{2))}
,是1的一个复数立方根。
因為乘積
u
v
=
−
p
3
{\displaystyle uv=-{\frac {p}{3))}
固定,所以可能的
(
u
,
v
)
{\displaystyle (u,v)}
是
(
u
0
,
v
0
)
{\displaystyle (u_{0},v_{0})}
,
(
ω
u
0
,
ω
2
v
0
)
{\displaystyle (\omega u_{0},\omega ^{2}v_{0})}
和
(
ω
2
u
0
,
ω
v
0
)
{\displaystyle (\omega ^{2}u_{0},\omega v_{0})}
。因此三次方程的其它根是
ω
u
0
+
ω
2
v
0
−
b
′
3
{\displaystyle \omega u_{0}+\omega ^{2}v_{0}-{\frac {b'}{3))}
和
ω
2
u
0
+
ω
v
0
−
b
′
3
{\displaystyle \omega ^{2}u_{0}+\omega v_{0}-{\frac {b'}{3))}
。
最先嘗試解的三次方程是實係數(而且是整數)。因為實數域並非代數封閉,方程的根的數目不一定是3個。所遺漏的根都在
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
裡,就是
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
的代數閉包。其中差異出現於
U
{\displaystyle U}
和
V
{\displaystyle V}
的計算中取平方根時。取立方根時則沒有類似問題。
可以證明實數根數目依賴於輔助方程的判別式
Δ
=
q
2
4
+
p
3
27
{\displaystyle \Delta ={\frac {q^{2)){4))+{\frac {p^{3)){27))}
,
若
Δ
>
0
{\displaystyle \Delta >0}
,方程有一个实根和两个共轭 複根;
若
Δ
=
0
{\displaystyle \Delta =0}
,方程有三个实根:当
q
2
4
=
−
p
3
27
=
0
{\displaystyle {\frac {q^{2)){4))=-{\frac {p^{3)){27))=0}
时,方程有一个三重实根;当
q
2
4
=
−
p
3
27
≠
0
{\displaystyle {\frac {q^{2)){4))=-{\frac {p^{3)){27))\neq 0}
时,方程的三个实根中有两个相等;
若
Δ
<
0
{\displaystyle \Delta <0}
,方程有三个不等的实根:
x
1
=
2
Q
cos
θ
3
−
b
3
a
,
x
2
,
3
=
2
Q
cos
θ
±
2
π
3
−
b
3
a
,
{\displaystyle x_{1}=2{\sqrt {Q))\cos {\frac {\theta }{3))-{\frac {b}{3a)),x_{2,3}=2{\sqrt {Q))\cos {\frac {\theta \pm 2\pi }{3))-{\frac {b}{3a)),}
其中
θ
=
arccos
R
Q
Q
,
Q
=
−
p
3
,
R
=
q
2
{\displaystyle \theta =\arccos {\frac {R}{Q{\sqrt {Q)))),Q=-{\frac {p}{3)),R={\frac {q}{2))}
(注意,由於此公式應對於
x
3
+
p
x
=
q
{\displaystyle x^{3}+px=q}
的形式,因此這裡的
q
{\displaystyle q}
實際上是前段的
−
q
{\displaystyle -q}
,應用時務必注意取負號即
R
=
−
q
2
{\displaystyle R=-{\frac {q}{2))}
)。 注意到实系数三次方程有一實根存在,這是因為非常數多項式 在
+
∞
{\displaystyle +\infty }
和
−
∞
{\displaystyle -\infty }
的極限 是無窮大 ,對奇次多項式這兩個極限異號,又因为多項式是連續函數 ,所以從介值定理 可知它在某點的值為0。
解
2
t
3
+
6
t
2
+
12
t
+
10
=
0
{\displaystyle 2t^{3}+6t^{2}+12t+10=0}
。
我們依照上述步驟進行:
t
3
+
3
t
2
+
6
t
+
5
=
0
{\displaystyle t^{3}+3t^{2}+6t+5=0}
(全式除以
2
{\displaystyle 2}
)
設
t
=
x
−
1
{\displaystyle t=x-1}
,代換:
(
x
−
1
)
3
+
3
(
x
−
1
)
2
+
6
(
x
−
1
)
+
5
=
0
{\displaystyle (x-1)^{3}+3(x-1)^{2}+6(x-1)+5=0}
,再展開
x
3
+
3
x
+
1
=
0
{\displaystyle x^{3}+3x+1=0}
。
x
=
u
+
v
{\displaystyle x=u+v}
,
U
=
u
3
{\displaystyle U=u^{3))
,
V
=
v
3
{\displaystyle V=v^{3))
。設
U
+
V
=
−
1
{\displaystyle U+V=-1}
和
U
V
=
−
1
{\displaystyle UV=-1}
。
U
{\displaystyle U}
和
V
{\displaystyle V}
是
X
2
+
X
−
1
=
0
{\displaystyle X^{2}+X-1=0}
的根。
U
=
−
1
−
5
2
{\displaystyle U={\frac {-1-{\sqrt {5))}{2))}
和
V
=
−
1
+
5
2
{\displaystyle V={\frac {-1+{\sqrt {5))}{2))}
,
u
=
−
1
−
5
2
3
{\displaystyle u={\sqrt[{3}]{\frac {-1-{\sqrt {5))}{2))))
和
v
=
−
1
+
5
2
3
{\displaystyle v={\sqrt[{3}]{\frac {-1+{\sqrt {5))}{2))))
。
t
=
x
−
1
=
u
+
v
−
1
{\displaystyle t=x-1=u+v-1}
,
=
−
1
−
5
2
3
+
−
1
+
5
2
3
−
1
≈
−
1.3221853546
{\displaystyle ={\sqrt[{3}]{\frac {-1-{\sqrt {5))}{2))}+{\sqrt[{3}]{\frac {-1+{\sqrt {5))}{2))}-1\approx -1.3221853546}
该方程的另外两个根:
t
2
≈
−
0.838907
+
1.75438
i
{\displaystyle t_{2}\approx -0.838907+1.75438i}
,
t
3
≈
−
0.838907
−
1.75438
i
{\displaystyle t_{3}\approx -0.838907-1.75438i}
,这是一个历史上的例子,因为它是邦别利 考虑的方程。
方程是
x
3
−
15
x
−
4
=
0
{\displaystyle x^{3}-15x-4=0}
。
从函数
x
↦
x
3
−
15
x
−
4
{\displaystyle x\mapsto x^{3}-15x-4}
算出判别式的值
Δ
=
−
13068
<
0
{\displaystyle \Delta =-13068<0}
,知道这方程有三实根,所以比上例更容易找到一个根。
前两步都不需要做,做第三步:
x
=
u
+
v
{\displaystyle x=u+v}
,
U
=
u
3
{\displaystyle U=u^{3))
,
V
=
v
3
{\displaystyle V=v^{3))
。
U
+
V
=
4
{\displaystyle U+V=4}
和
U
V
=
125
{\displaystyle UV=125}
。
U
{\displaystyle U}
和
V
{\displaystyle V}
是
X
2
−
4
X
+
125
=
0
{\displaystyle X^{2}-4X+125=0}
的根。这方程的判别式已算出是负数,所以只有实根。很吊诡地,这方法必须用到复数求出全是实数的根。这是发明复数的一个理由:复数是解方程必需工具,即使方程或许只有实根。
我们解出
U
=
2
−
11
i
{\displaystyle U=2-11{\mathrm {i} ))
和
V
=
2
+
11
i
{\displaystyle V=2+11{\mathrm {i} ))
。取复数立方根不同于实数,有两种方法:几何方法,用到辐角和模(把辐角除以3 取模的立方根);代数方法,分开复数的实部和虚部:
现设
u
=
a
+
b
i
{\displaystyle u=a+b{\mathrm {i} ))
。
u
3
=
2
−
11
i
{\displaystyle u^{3}=2-11{\mathrm {i} ))
等价于:
a
3
−
3
a
b
2
=
2
{\displaystyle a^{3}-3ab^{2}=2}
(实部)
3
a
2
b
−
b
3
=
−
11
{\displaystyle 3a^{2}b-b^{3}=-11}
(虚部)
a
2
+
b
2
=
5
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=5}
(模)得到
a
=
2
{\displaystyle a=2}
和
b
=
−
1
{\displaystyle b=-1}
,也就是
u
=
2
−
i
{\displaystyle u=2-{\mathrm {i} ))
,而
v
{\displaystyle v}
是其共轭:
v
=
2
+
i
{\displaystyle v=2+{\mathrm {i} ))
。
归结得
x
=
u
+
v
=
(
2
−
i
)
+
(
2
+
i
)
=
4
{\displaystyle x=u+v=(2-{\mathrm {i} })+(2+{\mathrm {i} })=4}
,可以立时验证出来。
其它根是
x
′
=
j
(
2
−
i
)
+
j
2
(
2
+
i
)
=
−
2
+
3
{\displaystyle x'=j(2-{\mathrm {i} })+j^{2}(2+{\mathrm {i} })=-2+{\sqrt {3))}
和
x
″
=
j
2
(
2
−
i
)
+
j
(
2
+
i
)
=
−
2
−
3
{\displaystyle x''=j^{2}(2-{\mathrm {i} })+j(2+{\mathrm {i} })=-2-{\sqrt {3))}
,其中
j
=
−
1
+
3
i
2
{\displaystyle j={\frac {-1+{\sqrt {3))i}{2))}
。
当
Δ
{\displaystyle \Delta }
是负,
U
{\displaystyle U}
和
V
{\displaystyle V}
共轭,故此
u
{\displaystyle u}
和
v
{\displaystyle v}
也是(要适当选取立方根,记得
u
v
=
−
p
3
{\displaystyle uv=-{\frac {p}{3))}
);所以我们可确保
x
{\displaystyle x}
是实数,还有
x
′
{\displaystyle x'}
和
x
″
{\displaystyle x''}
。
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
,
a
≠
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,a\neq 0}
,其中系数皆为实数。
重根判别式:
A
=
b
2
−
3
a
c
,
B
=
b
c
−
9
a
d
,
C
=
c
2
−
3
b
d
{\displaystyle A=b^{2}-3ac,\ B=bc-9ad,\ C=c^{2}-3bd}
;
总判别式:
Δ
=
B
2
−
4
A
C
{\displaystyle \Delta =B^{2}-4AC}
。
情况1:
A
=
B
=
0
{\displaystyle A=B=0}
[ 编辑 ]
x
1
=
x
2
=
x
3
=
−
b
3
a
=
−
c
b
=
−
3
d
c
{\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}={\frac {-b}{3a))={\frac {-c}{b))={\frac {-3d}{c))}
。
情况2:
Δ
>
0
{\displaystyle \Delta >0}
[ 编辑 ] 让
y
1
,
2
=
A
b
+
3
a
(
−
B
±
B
2
−
4
A
C
2
)
{\displaystyle y_{1,2}=Ab+3a\left({\frac {-B\pm {\sqrt {B^{2}-4AC))}{2))\right)}
,得:
x
1
=
−
b
−
(
y
1
3
+
y
2
3
)
3
a
{\displaystyle x_{1}={\frac {-b-\left({\sqrt[{3}]{y_{1))}+{\sqrt[{3}]{y_{2))}\right)}{3a))}
;
x
2
=
−
2
b
+
(
y
1
3
+
y
2
3
)
+
3
(
y
1
3
−
y
2
3
)
i
6
a
{\displaystyle x_{2}={\frac {-2b+\left({\sqrt[{3}]{y_{1))}+{\sqrt[{3}]{y_{2))}\right)+{\sqrt {3))\left({\sqrt[{3}]{y_{1))}-{\sqrt[{3}]{y_{2))}\right){\rm {i))}{6a))}
;
x
3
=
−
2
b
+
(
y
1
3
+
y
2
3
)
−
3
(
y
1
3
−
y
2
3
)
i
6
a
{\displaystyle x_{3}={\frac {-2b+\left({\sqrt[{3}]{y_{1))}+{\sqrt[{3}]{y_{2))}\right)-{\sqrt {3))\left({\sqrt[{3}]{y_{1))}-{\sqrt[{3}]{y_{2))}\right){\rm {i))}{6a))}
。
情况3:
Δ
=
0
{\displaystyle \Delta =0}
[ 编辑 ] 让
k
=
B
A
(
A
≠
0
)
{\displaystyle k={\frac {B}{A))\ (A\neq 0)}
,得:
x
1
=
−
b
a
+
k
{\displaystyle x_{1}={\frac {-b}{a))+k}
;
x
2
=
x
3
=
−
k
2
{\displaystyle x_{2}=x_{3}={\frac {-k}{2))}
。
情况4:
Δ
<
0
{\displaystyle \Delta <0}
[ 编辑 ] 让
t
=
2
A
b
−
3
a
B
2
A
A
(
A
>
0
,
−
1
<
t
<
1
)
,
θ
=
arccos
t
{\displaystyle t={\frac {2Ab-3aB}{2A{\sqrt {A))))\ (A>0,-1<t<1),\theta =\arccos t}
,得:
x
1
=
−
b
−
2
A
cos
θ
3
3
a
{\displaystyle x_{1}={\frac {-b-2{\sqrt {A))\cos {\frac {\theta }{3))}{3a))}
;
x
2
=
−
b
+
A
(
cos
θ
3
+
3
sin
θ
3
)
3
a
{\displaystyle x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {A))\left(\cos {\frac {\theta }{3))+{\sqrt {3))\sin {\frac {\theta }{3))\right)}{3a))}
;
x
3
=
−
b
+
A
(
cos
θ
3
−
3
sin
θ
3
)
3
a
{\displaystyle x_{3}={\frac {-b+{\sqrt {A))\left(\cos {\frac {\theta }{3))-{\sqrt {3))\sin {\frac {\theta }{3))\right)}{3a))}
。
设
y
=
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
{\displaystyle y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}
将其微分,可得
d
y
d
x
=
3
a
x
2
+
2
b
x
+
c
{\displaystyle {\frac {dy}{dx))=3ax^{2}+2bx+c}
d
2
y
d
x
2
=
6
a
x
+
2
b
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2))}=6ax+2b}
设
d
2
y
d
x
2
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2))}=0}
,可得
y
{\displaystyle y}
。
x
=
−
b
3
a
{\displaystyle x=-{\frac {b}{3a))}
由函数取极值的充分条件 可知:
f
′
′
(
x
e
)
<
0
{\displaystyle f^{\prime \prime }(x_{e})<0}
,
x
e
{\displaystyle x_{e))
是
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
的极大值点;
f
′
′
(
x
e
)
>
0
{\displaystyle f^{\prime \prime }(x_{e})>0}
,
x
e
{\displaystyle x_{e))
是
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
的极小值点;
f
′
′
(
x
e
)
=
0
{\displaystyle f^{\prime \prime }(x_{e})=0}
,
x
e
{\displaystyle x_{e))
是
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
的拐点 。
d
2
y
d
x
2
=
6
a
x
+
2
b
=
2
(
3
a
x
+
b
)
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2))}=6ax+2b=2(3ax+b)}
可知:
3
a
x
e
+
b
<
0
{\displaystyle 3ax_{e}+b<0}
,
y
{\displaystyle y}
的驻点为极大值点;
3
a
x
e
+
b
>
0
{\displaystyle 3ax_{e}+b>0}
,
y
{\displaystyle y}
的驻点为极小值点;
3
a
x
e
+
b
=
0
{\displaystyle 3ax_{e}+b=0}
,
y
{\displaystyle y}
的驻点为拐点。
^ 三上义夫 《中国算学之特色》 34页 商务印书馆。