理想中(图左)电子在导体中以平均分布的方式传导 流通,集肤效应(图右)则是电子集中在导体的近外肤位置上流通,使横切面的核心部位呈现空泛状态,进而使电流输送量减少。 集肤效应 (又称趋肤效应 或直译作表皮效应 ,英语:Skin effect )是指导体 中有交流电 或者交变电磁场时,导体内部的电流 分布不均匀的一种现象。随着与导体表面的距离逐渐增加,导体内的电流密度 呈指数衰减 ,即导体内的电流会集中在导体的表面。从与电流方向垂直 的横切面来看,导体的中心部分几乎没有电流流过,只在导体边缘的部分会有电流。简单而言就是电流集中在导体的“皮肤”部分,所以称为集肤效应 。产生这种效应的原因主要是变化的电磁场 在导体内部产生涡旋电场,与原来的电流相抵消。
简介
集肤效应最早在英国应用数学家贺拉斯·兰姆 (Horace Lamb)1883年发表的一份论文 中提及,只限于球壳状的导体。1885年,英国物理学家奥利弗·赫维赛德 (Oliver Heaviside)将其推广到任何形状的导体。集肤效应使得导体的电阻 随着交流电的频率 增加而增加,并导致导线传输电流时效率减低,耗费金属资源。在无线电 频率的设计、微波 线路和电力传输系统方面都要考虑到集肤效应的影响。
理论
当单色平面电磁波从真空垂直射入表面为平面的无限大导体中时,随着与导体表面的距离逐渐增加,导体内的电流密度 J 呈指数衰减
J
=
J
0
exp
(
−
x
δ
)
{\displaystyle J=J_{0}\exp(-{x \over \delta })}
其中,
J
0
{\displaystyle J_{0))
是导体表面的电流密度,
x
{\displaystyle x}
表示电流与导体表面的距离,
δ
{\displaystyle \delta }
是一个和导体的电阻率 以及交流电的频率有关的系数,称为集肤深度 (skin depth)。
δ
=
2
ρ
ω
μ
{\displaystyle \delta ={\sqrt ((2\rho } \over {\omega \mu ))))
其中:
ρ =导体的电阻率
ω = 交流电的角频率 = 2π ×频率
μ = 导体的磁导率 =
μ
0
⋅
μ
r
{\displaystyle \mu _{0}\cdot \mu _{r))
,其中
μ
0
{\displaystyle \mu _{0))
是真空磁导率 ,
μ
r
{\displaystyle \mu _{r))
是导体的相对磁导率 对于很长的圆柱形 导体,比如导线 来说,如果它的直径
D
{\displaystyle D}
比
δ
{\displaystyle \delta }
大很多的话,它对于交流电的电阻将会相当于一个中空的厚度为
δ
{\displaystyle \delta }
的圆柱导体对直流电 的电阻。
R
=
ρ
δ
(
L
π
(
D
−
δ
)
)
≈
ρ
(
L
π
D
δ
)
{\displaystyle R=((\rho \over \delta }\left({L \over {\pi (D-\delta )))\right)}\approx ((\rho }\left({L \over {\pi D\delta ))\right)))
其中:
L=导线的长度
D=导线直径 具体来说,假设
I
(
r
)
{\displaystyle I(r)}
是从离导线中心r 处到导线表面的截面上通过的电流,
I
{\displaystyle I}
为截面上的总电流,那么有:
I
(
r
)
I
=
B
e
r
(
2
a
δ
)
−
B
e
r
(
2
r
δ
)
+
i
[
B
e
i
(
2
a
δ
)
−
B
e
i
(
2
r
δ
)
]
B
e
r
(
2
a
δ
)
+
i
B
e
i
(
2
a
δ
)
{\displaystyle {\frac {I(r)}{I))={\frac {Ber({\frac ((\sqrt {2))\,a}{\delta )))-Ber({\frac ((\sqrt {2))\,r}{\delta )))+i\,[Bei({\frac ((\sqrt {2))\,a}{\delta )))-Bei({\frac ((\sqrt {2))\,r}{\delta )))]}{Ber({\frac ((\sqrt {2))\,a}{\delta )))+i\,Bei({\frac ((\sqrt {2))\,a}{\delta )))))}
其中Ber 和Bei 为0阶的开尔文-贝塞尔函数 的相应原函数 (具体见下)。
圆柱形导体的模型
考虑一个半径为a ,长度无限大的圆柱形导体。假设电磁场是时变场,则在圆柱中有频率为ω 的正弦 交流 电流。由麦克斯韦方程组 ,
麦克斯韦-法拉第方程:
∇
×
E
=
−
i
ω
B
{\displaystyle \nabla \times \,\mathbf {E} =-i\,\omega \,\mathbf {B} }
麦克斯韦-安培方程:
∇
×
B
=
μ
0
J
{\displaystyle \nabla \times \,\mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }
其中:
在导体中,欧姆定律 的微分形式为:
J
=
σ
E
{\displaystyle \mathbf {J} =\sigma \,\mathbf {E} }
σ 是导体的电导率 。
我们假设导体是均匀的,于是导体各处的μ 和σ 都相同。于是有:
∇
×
J
=
−
i
ω
σ
B
{\displaystyle \nabla \times \,\mathbf {J} =-i\,\omega \,\sigma \,\mathbf {B} }
∇
×
B
=
μ
J
{\displaystyle \nabla \times \,\mathbf {B} =\mu \,\mathbf {J} }
在圆柱坐标系 (r , θ, z )(z 为圆柱导体的轴心)中,设电磁波随z 轴前进,由对称性,电流密度是一个只和r 有关的函数:
J
=
(
0
0
j
(
r
)
)
{\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{pmatrix}0\\0\\j(r)\end{pmatrix))}
取麦克斯韦-法拉第方程两边的旋度 ,就有:
∇
×
(
∇
×
J
)
=
−
i
ω
σ
(
∇
×
B
)
{\displaystyle \nabla \times \,(\nabla \times \,\mathbf {J} )=-i\,\omega \,\sigma \,(\nabla \times \,\mathbf {B} )}
也就是:
∇
d
i
v
J
−
Δ
J
=
−
i
ω
σ
μ
J
{\displaystyle \nabla \,\mathrm {div} \,\mathbf {J} -\Delta \mathbf {J} =-i\,\omega \,\sigma \,\mu \,\mathbf {J} }
由之前对电流密度的假设,
d
i
v
J
=
0
{\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {J} =0}
,因此有:
Δ
J
=
i
ω
σ
μ
J
{\displaystyle \Delta \mathbf {J} =i\,\omega \,\sigma \,\mu \,\mathbf {J} }
在圆柱坐标系中,拉普拉斯算子
Δ
{\displaystyle \Delta }
写作:
d
2
j
d
r
2
(
r
)
+
1
r
d
j
d
r
(
r
)
=
i
ω
σ
μ
j
(
r
)
{\displaystyle {\frac {d^{2}\,j}{dr^{2))}(r)+{\frac {1}{r))\,{\frac {d\,j}{dr))(r)=i\,\omega \,\sigma \,\mu \,j(r)}
令
k
2
=
i
ω
σ
μ
{\displaystyle k^{2}=i\,\omega \,\sigma \,\mu }
,再将方程两边乘上r 2 就得到电流密度应该满足的方程:
r
2
d
2
j
d
r
2
(
r
)
+
r
d
j
d
r
(
r
)
−
r
2
k
2
j
(
r
)
=
0
{\displaystyle r^{2}\,{\frac {d^{2}\,j}{dr^{2))}(r)+r\,{\frac {d\,j}{dr))(r)-r^{2}\,k^{2}\,j(r)=0}
在进行代换
ξ
=
i
k
r
{\displaystyle \xi =i\,k\,r}
后,方程变为一个齐次的贝塞尔方程 :
ξ
2
d
2
j
d
ξ
2
(
ξ
)
+
ξ
d
j
d
ξ
(
ξ
)
+
ξ
2
j
(
ξ
)
=
0
{\displaystyle \xi ^{2}\,{\frac {d^{2}\,j}{d\xi ^{2))}(\xi )+\xi \,{\frac {d\,j}{d\xi ))(\xi )+\xi ^{2}\,j(\xi )=0}
由电流密度在r = 0的连续性,方程的解具有
J
0
(
ξ
)
{\displaystyle J_{0}(\xi )}
的形式,其中J 0 是零阶的第一类贝塞尔函数 。于是:
j
(
r
)
=
j
0
J
0
(
i
k
r
)
{\displaystyle j(r)=j_{0}\,J_{0}(i\,k\,r)}
其中j 0 是一个常数 ,k 为:
k
=
i
ω
σ
μ
=
1
+
i
2
ω
σ
μ
=
1
+
i
δ
{\displaystyle k={\sqrt {i))\,{\sqrt {\omega \,\sigma \,\mu ))={\frac {1+i}{\sqrt {2))}\,{\sqrt {\omega \,\sigma \,\mu ))={\frac {1+i}{\delta ))}
其中δ 是集肤深度,
δ
=
2
ω
σ
μ
{\displaystyle \delta ={\sqrt {\frac {2}{\omega \,\sigma \,\mu ))))
,
i
k
=
−
1
+
i
δ
=
e
i
3
π
/
4
2
δ
{\displaystyle i\,k={\frac {-1+i}{\delta ))=e^{i\,3\,\pi /4}\,{\frac {\sqrt {2)){\delta ))}
最后,电流密度为:
j
(
r
)
=
j
0
J
0
(
e
i
3
π
/
4
2
r
δ
)
=
j
0
(
b
e
r
(
2
r
δ
)
+
i
b
e
i
(
2
r
δ
)
)
{\displaystyle {\begin{matrix}j(r)&=&j_{0}\,J_{0}(e^{i\,3\,\pi /4}\,{\frac ((\sqrt {2))\,r}{\delta )))\\&=&j_{0}\,(ber({\frac ((\sqrt {2))\,r}{\delta )))+i\,bei({\frac ((\sqrt {2))\,r}{\delta ))))\end{matrix))}
其中ber 和bei 是0阶的开尔文-贝塞尔函数 。
于是通过整个截面的电流总和就是:
I
=
∫
0
a
j
(
r
)
2
π
r
d
r
=
2
π
j
0
∫
0
a
J
0
(
e
i
3
π
/
4
2
r
δ
)
r
d
r
=
π
δ
2
j
0
∫
0
2
a
/
δ
(
b
e
r
(
x
)
+
i
b
e
i
(
x
)
)
x
d
x
{\displaystyle {\begin{matrix}I&=&\int _{0}^{a}j(r)\,2\,\pi \,r\,dr\\&=&2\,\pi \,j_{0}\int _{0}^{a}J_{0}(e^{i\,3\,\pi /4}\,{\frac ((\sqrt {2))\,r}{\delta )))\,r\,dr\\&=&\pi \,\delta ^{2}\,j_{0}\,\int _{0}^((\sqrt {2))\,a/\delta }(ber(x)+i\,bei(x))\,x\,dx\end{matrix))}
记Ber 和Bei 为相应的原函数 :
B
e
r
(
x
)
=
∫
0
x
b
e
r
(
x
′
)
x
′
d
x
′
et
B
e
i
(
x
)
=
∫
0
x
b
e
i
(
x
′
)
x
′
d
x
′
{\displaystyle Ber(x)=\int _{0}^{x}ber(x^{\prime })\,x^{\prime }\,dx^{\prime }\qquad {\mbox{ et ))\qquad Bei(x)=\int _{0}^{x}bei(x^{\prime })\,x^{\prime }\,dx^{\prime ))
便有如下更简洁的形式:
I
=
π
δ
2
j
0
(
B
e
r
(
2
a
δ
)
+
i
B
e
i
(
2
a
δ
)
)
{\displaystyle I=\pi \,\delta ^{2}\,j_{0}\,\left(Ber({\frac ((\sqrt {2))\,a}{\delta )))+i\,Bei({\frac ((\sqrt {2))\,a}{\delta )))\right)}
我们还可以计算从圆柱表面到离轴心距离r 处的电流总和:
I
(
r
)
=
∫
a
−
r
a
j
(
r
′
)
2
π
r
′
d
r
′
=
π
δ
2
j
0
(
B
e
r
(
2
a
δ
)
−
B
e
r
(
2
r
δ
)
+
i
[
B
e
i
(
2
a
δ
)
−
B
e
i
(
2
r
δ
)
]
)
{\displaystyle {\begin{matrix}I(r)&=&\int _{a-r}^{a}j(r^{\prime })\,2\,\pi \,r^{\prime }\,dr^{\prime }\\&=&\pi \,\delta ^{2}\,j_{0}\,\left(Ber({\frac ((\sqrt {2))\,a}{\delta )))-Ber({\frac ((\sqrt {2))\,r}{\delta )))+i\,[Bei({\frac ((\sqrt {2))\,a}{\delta )))-Bei({\frac ((\sqrt {2))\,r}{\delta )))]\right)\end{matrix))}
于是有电流的分布函数 :
I
(
r
)
I
=
B
e
r
(
2
a
δ
)
−
B
e
r
(
2
r
δ
)
+
i
[
B
e
i
(
2
a
δ
)
−
B
e
i
(
2
r
δ
)
]
B
e
r
(
2
a
δ
)
+
i
B
e
i
(
2
a
δ
)
{\displaystyle {\frac {I(r)}{I))={\frac {Ber({\frac ((\sqrt {2))\,a}{\delta )))-Ber({\frac ((\sqrt {2))\,r}{\delta )))+i\,[Bei({\frac ((\sqrt {2))\,a}{\delta )))-Bei({\frac ((\sqrt {2))\,r}{\delta )))]}{Ber({\frac ((\sqrt {2))\,a}{\delta )))+i\,Bei({\frac ((\sqrt {2))\,a}{\delta )))))}
一般来说,在给定的频率下,使得导线对交流电的电阻增加百分之十的直径大约是:
D
W
=
200
m
m
f
/
H
z
{\displaystyle D_{\mathrm {W} }={\frac {200~\mathrm {mm} }{\sqrt {f/\mathrm {Hz} ))))
以上的导线对交流电的电阻只对于孤立的导线成立。对于两根邻近的导线,交流电阻会受到邻近效应 的影响而显著增大。
减缓集肤效应的方法
一种减缓集肤效应的方法是采用所谓的利兹线 (源自德语 :Litzendraht ,意为“编织起来的线”)。利兹线采用将多条金属导线相互缠绕的方法,使得电磁场能够比较均匀地分布,这样各导线上的电流分布就会较为平均。使用利兹线后,产生显著集肤效应的频率可以从数千赫兹 提高到数兆赫兹 。利兹线一般应用在高频交流电的传输中,可以同时减缓集肤效应和邻近效应。
高电压大电流的架空电力线路 通常使用钢芯铝绞线 ,这样能使铝质部分的工作部分温度降低,减低电阻率 ,并且由于集肤效应,电阻率较大的钢芯上承载极少的电流,因而无关紧要。
还有将实心导线换成空心导线管,中间补上绝缘材料的方法,这样可以减轻导线的重量。
在传输的频率在甚高频 或微波 级别时,一般会使用镀 银 (已知的除超导体 外最好的导体)的导线,因为这时集肤深度非常的浅,使用更厚的银层已是浪费。
其它应用
集肤效应使交流电只通过导体的表面,因此电流只在其表面产生热效应。钢铁 工业中利用集肤效应来为钢 进行表面淬火,使钢材表面的硬度 增大。
集肤效应也可以描述为:导体中变电磁场 的强度随着进入导体的深度而呈指数递减,因此在防晒霜 中混入导体微粒(一般是氧化锌 和氧化钛 ),就能使阳光中的紫外线 (高频电磁波 )的强度减低。这便是物理防晒的原理之一。此外,集肤效应也是电磁屏蔽 的方法之一,利用集肤效应可以阻止高频电磁波透入良导体而作成电磁屏蔽装置[1] ,这也是电梯里手机信号不好的原因。