卷积 、互相关 和自相关的图示比较。运算涉及函数
f
{\displaystyle f}
,并假定
f
{\displaystyle f}
的高度是1.0,在5个不同点上的值,用在每个点下面的阴影面积来指示。上面:100个随机数序列的图,其中隐含了一个正弦 函数。下面:自相关函数产生的相关图 显示出的正弦函数。 自相关 (英语:Autocorrelation ),也叫序列相关 [ 1] ,是一个信号 于其自身在不同时间点的互相关 。非正式地来说,它就是两次观察之间的相似度对它们之间的时间差的函数。它是找出重复模式(如被噪声掩盖的周期信号),或识别隐含在信号谐波 频率中消失的基频 的数学工具。它常用于信号处理 中,用来分析函数或一系列值,如时域 信号。
自相关函数在不同的领域的定义不完全等价。在某些领域,自相关函数等同于自协方差 。
将一个有序的随机变量序列与其自身相比较,这就是自相关函数在统计学中的定义。每个不存在相位差的序列,都与其自身相似,即在此情况下,自相关函数值最大。如果序列中的组成部分相互之间存在相关性(不再是随机的),则由以下相关值方程所计算的值不再为零,这样的组成部分为自相关。
R
(
k
)
=
E
[
(
X
i
−
μ
i
)
(
X
i
+
k
−
μ
i
+
k
)
]
σ
2
{\displaystyle R(k)={\frac {E[(X_{i}-\mu _{i})(X_{i+k}-\mu _{i+k})]}{\sigma ^{2))))
E
{\displaystyle E}
......... 期望。
X
i
{\displaystyle X_{i))
........ 在t(i)时的随机变量值。
μ
i
{\displaystyle \mu _{i))
........ 在t(i)时的预期值。
X
i
+
k
{\displaystyle X_{i+k))
.... 在t(i+k)时的随机变量值。
μ
i
+
k
{\displaystyle \mu _{i+k))
.... 在t(i+k)时的预期值。
σ
2
{\displaystyle \sigma ^{2))
......... 为方差。所得的自相关值R的取值范围为[-1,1],1为最大正相关值,-1则为最大负相关值,0为不相关。
在信号处理 中,上面的定义通常不进行归一化 ,即不减去均值并除以方差。当自相关函数由均值和方差归一化时,有时会被称作自相关系数 。[ 2]
给定一个信号
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
,连续自相关函数
R
f
f
(
τ
)
{\displaystyle R_{ff}(\tau )}
通常定义为
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
与其自身延迟
τ
{\displaystyle \tau }
的连续互相关。
R
f
f
(
τ
)
=
(
f
∗
g
−
1
(
f
¯
)
)
(
τ
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
u
+
τ
)
f
¯
(
u
)
d
u
=
∫
−
∞
∞
f
(
u
)
f
¯
(
u
−
τ
)
d
u
{\displaystyle R_{ff}(\tau )=(f*g_{-1}({\overline {f))))(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }f(u+\tau ){\overline {f))(u)\,{\rm {d))u=\int _{-\infty }^{\infty }f(u){\overline {f))(u-\tau )\,{\rm {d))u}
其中
f
¯
{\displaystyle {\overline {f))}
表示共轭复数 ,
g
−
1
{\displaystyle g_{-1))
是对函数
f
{\displaystyle f}
操作的一个函数,定义为
g
−
1
(
f
)
(
u
)
=
f
(
−
u
)
{\displaystyle g_{-1}(f)(u)=f(-u)}
而
∗
{\displaystyle *}
表示卷积 。
对于实值函数 ,
f
¯
=
f
{\displaystyle {\overline {f))=f}
。
注意积分中的参数
u
{\displaystyle u}
是一个虚变量,并且只对计算积分有用。没有具体含义。
离散信号
y
(
n
)
{\displaystyle y(n)}
的延迟为
l
{\displaystyle l}
的离散自相关
R
{\displaystyle R}
是
R
y
y
(
l
)
=
∑
n
∈
Z
y
(
n
)
y
¯
(
n
−
l
)
.
{\displaystyle R_{yy}(l)=\sum _{n\in Z}y(n)\,{\overline {y))(n-l).}
上述定义在信号平方可积或平方可和(即有限能量)的前提下才成立。但“永远持续”的信号被处理成随机过程,就需要使用基于期望的与之不同的定义。对于宽平稳随机过程 ,自相关函数定义为
R
f
f
(
τ
)
=
E
[
f
(
t
)
f
¯
(
t
−
τ
)
]
{\displaystyle R_{ff}(\tau )=\operatorname {E} \left[f(t){\overline {f))(t-\tau )\right]}
R
y
y
(
l
)
=
E
[
y
(
n
)
y
¯
(
n
−
l
)
]
.
{\displaystyle R_{yy}(l)=\operatorname {E} \left[y(n)\,{\overline {y))(n-l)\right].}
对于非平稳过程 ,这些也会是
t
{\displaystyle t}
或者
n
{\displaystyle n}
的函数。
对于还是可遍历 的过程, 期望会被换成时间平均的极限。各态历经过程的自相关函数有时定义为或等于[ 2]
R
f
f
(
τ
)
=
lim
T
→
∞
1
T
∫
0
T
f
(
t
+
τ
)
f
¯
(
t
)
d
t
{\displaystyle R_{ff}(\tau )=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{T))\int _{0}^{T}f(t+\tau ){\overline {f))(t)\,{\rm {d))t}
R
y
y
(
l
)
=
lim
N
→
∞
1
N
∑
n
=
0
N
−
1
y
(
n
)
y
¯
(
n
−
l
)
.
{\displaystyle R_{yy}(l)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N))\sum _{n=0}^{N-1}y(n)\,{\overline {y))(n-l).}
这些定义的优点是,它们合理定义了周期函数的单变量结果,甚至当那些函数不是平稳各态历经过程时。
此外,“永远持续”的信号可以通过短时距自相关函数使用有限时间积分来处理(相关过程参见短时距傅里叶变换 。)
多维 自相关定义类似。例如,在三维 中, 平方可和的离散信号 的自相关就会是
R
(
j
,
k
,
ℓ
)
=
∑
n
,
q
,
r
x
n
,
q
,
r
x
n
−
j
,
q
−
k
,
r
−
ℓ
.
{\displaystyle R(j,k,\ell )=\sum _{n,q,r}x_{n,q,r}\,x_{n-j,q-k,r-\ell }.}
若在求自相关函数之前从信号中减去均值,得出的函数通常称为自协方差函数。
以下以一维自相关函数为例说明其性质,多维的情况可方便地从一维情况推广得到。
对称性:从定义显然可以看出R (i ) = R (−i )。连续型自相关函数为偶函数 当f为实函数 时,有:
R
f
(
−
τ
)
=
R
f
(
τ
)
{\displaystyle R_{f}(-\tau )=R_{f}(\tau )\,}
当f是复函数 时,该自相关函数是厄米函数 ,满足:
R
f
(
−
τ
)
=
R
f
∗
(
τ
)
{\displaystyle R_{f}(-\tau )=R_{f}^{*}(\tau )\,}
其中星号表示共轭 。 连续型实自相关函数的峰值在原点 取得,即对于任何延时 τ ,均有
|
R
f
(
τ
)
|
≤
R
f
(
0
)
{\displaystyle |R_{f}(\tau )|\leq R_{f}(0)}
。该结论可直接有柯西-施瓦茨不等式 得到。离散型自相关函数亦有此结论。 周期函数 的自相关函数是具有与原函数相同周期的函数。两个相互无关的函数(即对于所有 τ,两函数的互相关 均为0)之和的自相关函数等于各自自相关函数之和。 由于自相关函数是一种特殊的互相关函数,所以它具有后者的所有性质。 连续时间白噪声 信号的自相关函数是一个δ函数 ,在除 τ = 0 之外的所有点均为0。
R
(
τ
)
=
∫
−
∞
∞
S
(
f
)
e
j
2
π
f
τ
d
f
{\displaystyle R(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)e^{j2\pi f\tau }\,df}
S
(
f
)
=
∫
−
∞
∞
R
(
τ
)
e
−
j
2
π
f
τ
d
τ
.
{\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau .}
实值、对称的自相关函数具有实对称的变换函数,因此此时维纳-辛钦定理 中的复指数项可以写成如下的余弦形式:
R
(
τ
)
=
∫
−
∞
∞
S
(
f
)
cos
(
2
π
f
τ
)
d
f
{\displaystyle R(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cos(2\pi f\tau )\,df}
S
(
f
)
=
∫
−
∞
∞
R
(
τ
)
cos
(
2
π
f
τ
)
d
τ
.
{\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R(\tau )\cos(2\pi f\tau )\,d\tau .}
白噪声 的自相关函数为δ 函数:
r
n
n
=
E
{
n
(
t
)
n
(
t
−
τ
)
}
=
δ
(
τ
)
{\displaystyle r_{nn}=\mathbb {E} \{n(t)n(t-\tau )\}=\delta (\tau )}
信号处理中,自相关可以提供关于重复事件的信息,例如音乐节拍(例如,确定节奏)或脉冲星的频率(虽然它不能告诉我们节拍的位置)。另外,它也可以用来估计乐音的音高。
^ Zovko, Ilija I. Topics in Market Microstructure . Amsterdam University Press. 2008-09-01. ISBN 9789056295387 (英语) .
^ 2.0 2.1 Dunn, Patrick F. Measurement and Data Analysis for Engineering and Science . New York: McGraw–Hill. 2005. ISBN 0-07-282538-3 .