等幂和差，又称幂和差，指同是n次幂的a与b的和与差，即${\displaystyle a^{n}\pm b^{n))$。

当n为奇数时有：

${\displaystyle a^{n}+b^{n}=(a+b)\sum _{r=1}^{n}a^{n-r}(-b)^{r-1}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+...+b^{n-1})}$

因尾项必须为+b^n-1，故n不能取偶数。

首项为1、公比为q的等比数列求和后得出：

${\displaystyle \sum _{r=1}^{n}q^{r-1}=1+q+...+q^{n-1}={\frac {q^{n}-1}{q-1))}$

设q=a/b，换算后即有：

${\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)\sum _{r=1}^{n}a^{n-r}b^{r-1}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1})}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{n}a^{n-r}b^{r-1}=a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1}={\frac {a^{n}-b^{n)){a-b))}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{n}a^{n-r}(-b)^{r-1}=a^{n-1}-a^{n-2}b+...+b^{n-1}={\frac {a^{n}+b^{n)){a+b))}$

注意${\displaystyle \sum _{r=1}^{2n-1}a^{4n-2-2r}b^{2r-2))$可进行因式分解，例如：

${\displaystyle a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}={\frac {a^{6}-b^{6)){a^{2}-b^{2))}={\frac {(a^{3}+b^{3})(a^{3}-b^{3})}{(a+b)(a-b)))=(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})}$

另解：${\displaystyle a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}=a^{4}+2a^{2}b^{2}+b^{4}-a^{2}b^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2}-a^{2}b^{2}=(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})}$

• 卢卡斯数列
• 等幂求和

查 论 编 基本乘法公式及恒等式 （因式分解） 分配律 ${\displaystyle (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!}$ 二项式定理 和与差的平方 ${\displaystyle (a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2))$ 和与差的立方 ${\displaystyle (a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3))$ 多项式定理 三数和平方 ${\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca\,\!}$ 等幂和差 平方和 ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)}$ 平方差 ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=\left(a+b\right)\left(a-b\right)}$ 立方和和立方差 ${\displaystyle a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})\,\!}$ 等幂和差逆定理 ${\displaystyle a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}=(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}$ 对称多项式 ${\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}=(a+b+c)^{3}+3(a+b+c)(-ab-bc-ca)+3abc\,\!}$