在交换代数中，准素分解将一个交换环的理想（或模的子模）唯一地表成准素理想（或准素子模）之交。这是算术基本定理的推广，能用以处理代数几何中的情况。

陈述

设 ${\displaystyle R}$ 为交换诺特环，${\displaystyle M}$ 为有限生成之 ${\displaystyle R}$-模。对任一子模 ${\displaystyle N\subset M}$，存在有限多个准素子模 ${\displaystyle M_{i))$ 使得

${\displaystyle N=\bigcap _{i}M_{i))$

事实上，可以要求此分解是最小的（即：无法省去任何 ${\displaystyle M_{i))$），且诸准素子模 ${\displaystyle M_{i))$ 对应到的素理想彼此相异。满足上述条件的准素分解是唯一确定的。

最常见的情形是取 ${\displaystyle M=R}$，并取 ${\displaystyle N=I}$ 为一理想。任取一准素分解 ${\displaystyle I=\bigcap _{i}Q_{i))$，这些 ${\displaystyle Q_{i))$ 中的极小者称为 ${\displaystyle I}$ 的孤立素理想，否则称为镶嵌素理想；孤立素理想是 ${\displaystyle I\subset R}$ 的一组不变量。

几何意义

在几何上，${\displaystyle I}$ 的孤立素理想对应到仿射概形 ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$ 的闭子集 ${\displaystyle V(I)}$ 之不可约成分。

历史

伊曼纽·拉斯克在1905年证明了${\displaystyle R}$ 为多项式环的情形。埃米·诺特在1921年证明上述的推广版本。职是之故，准素分解的存在性也被称为拉斯克-诺特定理。

文献

• M.F. Atiyah, I.G. Macdonald, Introduction to commutative algebra , Addison-Wesley (1969)
• O. Zariski, P. Samuel, Commutative algebra, Volume 1 and 2, Springer (1975)
• N. Bourbaki, Elements of mathematics. Commutative algebra , Addison-Wesley (1972)
• V. T. Markov, Primary Decomposition, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4