在抽象代数中，一个域上的代数元 ${\displaystyle \alpha }$ 之极小多项式（或最小多项式）是满足 ${\displaystyle P(\alpha )=0}$ 的最低次首一多项式(多项式内最高次项之系数为1) ${\displaystyle P}$。此概念对线性代数与代数扩张的研究极有助益。

形式定义

设 ${\displaystyle k}$ 为一个域，${\displaystyle A}$ 为有限维 ${\displaystyle k}$-代数。对任一元素 ${\displaystyle \alpha \in A}$，集合 ${\displaystyle \{1,\alpha ,\alpha ^{2},\ldots \))$ 张出有限维向量空间，所以存在非平凡的线性关系 ：

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}c_{i}\alpha ^{i}=0\quad (c_{i}\in k)}$

可以假设 ${\displaystyle c_{n}=1}$，此时多项式 ${\displaystyle f(X):=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i))$ 满足 ${\displaystyle f(\alpha )=0}$。根据多项式环里的除法，可知这类多项式中只有一个次数最小者，称之为 ${\displaystyle \alpha }$ 的极小多项式。

由此可导出极小多项式的次数等于 ${\displaystyle \dim _{k}k[\alpha ]}$，而且 ${\displaystyle \alpha }$ 可逆当且仅当其极小多项式之常数项非零，此时 ${\displaystyle \alpha ^{-1))$ 可以表成 ${\displaystyle \alpha }$ 的多项式。

矩阵的极小多项式

考虑所有 ${\displaystyle n\times n}$ 矩阵构成的 ${\displaystyle k}$-代数 ${\displaystyle M_{n}(k)}$，由于 ${\displaystyle \dim M_{n}(k)=n^{2))$，此时可定义一个${\displaystyle n\times n}$ 矩阵之极小多项式，而且其次数至多为 ${\displaystyle n^{2))$；事实上，根据凯莱-哈密顿定理，可知其次数至多为 ${\displaystyle n}$，且其根属于该矩阵的特征值集。

极小多项式是矩阵分类理论（若尔当标准型、有理标准形）的关键。

极小多项式与代数扩张

设 ${\displaystyle k'}$ 为 ${\displaystyle k}$ 的有限扩张，此时可视 ${\displaystyle k'}$ 为有限维 ${\displaystyle k}$-代数。根据域的性质，极小多项式必为素多项式。元素的迹数及范数等不变量可以从极小多项式的系数读出。