在数学中，微分算子（英语：Differential operator）是定义为微分运算之函数的算子。首先在记号上，将微分考虑为一个抽象运算是有帮助的，它接受一个函数得到另一个函数^{[注 1][注 2]}。

记号

最常用的微分算子是取导数自身。这个算子的常用记号包括：${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x))$、${\displaystyle D}$（在不会搞混哪个变量微分时），以及${\displaystyle D_{x))$（指明了变量）。

一阶导数如上所示，但当取更高阶n-次导数时，下列替代性记号是有用的：${\displaystyle \mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n))$、${\displaystyle D^{n))$、${\displaystyle D_{x}^{n))$。

记号D的发明与使用归于奥利弗·亥维赛，他在研究微分方程中考虑了如下形式的微分算子

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k))$

另一个最常见的微分算子是拉普拉斯算子，定义为

${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2))}$

另一个微分算子是Θ算子，定义为

${\displaystyle \Theta =z{\mathrm {d} \over \mathrm {d} z))$

有时候这也称为齐次算子，因为它的本征函数是关于z的单项式：

${\displaystyle \Theta (z^{k})=kz^{k},\quad k=0,1,2,\dots }$

在n个变量中齐次算子由

${\displaystyle \Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k))))$

给出。与单变量一样，Θ的本征空间是齐次多项式空间。

一个算子的伴随

给定一个线性微分算子T

${\displaystyle Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u}$，

这个算子的伴随定义为算子${\displaystyle T^{*))$使得

${\displaystyle \langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle }$

这里记号${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$表示数量积或点积。从而此定义取决于数乘的定义。

单变量中的形式伴随

在平方可积函数空间中，数量积定义为

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)\,{\overline {g(x)))\,\mathrm {d} x}$

如果另外增添要求f或g当${\displaystyle x\to a}$与${\displaystyle x\to b}$等于零，我们也可定义T的伴随为

${\displaystyle T^{*}u=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}[a_{k}(x)u]}$

此公式不明显地取决于数量积的定义，故有时作为伴随算子的一个定义。当${\displaystyle T^{*))$用这个公式定义时，它称为T的形式伴随。

一个（形式）自伴算子是与它的（形式）伴随相等的算子。

多变量

如果Ω是Rⁿ中一个区域，而P是Ω上一个微分算子，则P在L²(Ω)中的伴随由对偶性以类似的方式定义：

${\displaystyle \langle f,P^{*}g\rangle _{L^{2}(\Omega )}=\langle Pf,g\rangle _{L^{2}(\Omega )))$

对所有光滑L²函数f与g。因为光滑函数在L²中是稠密的，这在L²的一个稠密子集上定义了伴随：: P^*是一个稠定算子。

例子

施图姆-刘维尔算子是形式自伴算子一个熟知的例子。这个二阶微分算子L可以写成如下形式

${\displaystyle Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.\;\!}$

这个性质可用上面的形式自伴的定义来证明。

${\displaystyle {\begin{aligned}L^{*}u&{}=(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[(-p')u]+(-1)^{0}(qu)\\&{}=-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\\&{}=-(pu)''+(p'u)'+qu\\&{}=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\&{}=-p'u'-pu''+qu\\&{}=-(pu')'+qu\\&{}=Lu\end{aligned))}$

这个算子在施图姆-刘维尔理论（Sturm–Liouville theory） 中的关键，其中考虑了这个算子本征函数（类比于本征向量）。

微分算子的性质

微分是线性的，即

${\displaystyle D(f+g)=(Df)+(Dg)}$

${\displaystyle D(af)=a(Df)}$

这里f和g是函数，而a是一个常数。

任何以函数为系数之D的多项式也是一个微分算子。我们也可以通过法则

${\displaystyle (D_{1}\circ D_{2},f)=D_{1}(D_{2}(f))}$

复合微分算子。需要一些注意：首先算子D₂中的任何函数系数必须具有D₁所要求的可微次数。为了得到这样运算的一个环，我们必须假设所用的系数的所有阶导数。第二，这个环不是交换的：一个算子gD一般与Dg不同。事实上我们有例，如在量子力学中的基本关系：

${\displaystyle Dx-xD=1}$

但这些算子的子环：D的常系数多项式是交换的。它可以另一种方式刻画：它由平移不变算子组成。

微分算子也服从移位定理（shift theorem）。

多变量

同样的构造可对偏导数也成立，关于不同的变量微分给出可交换的算子^{[注 3]}。

坐标无关描述以及与交换代数的关系

在微分几何与代数几何中，通常习惯于对两个向量丛之间的微分算子有一个坐标无关描述。设${\displaystyle E}$与${\displaystyle F}$是流形${\displaystyle M}$上两个向量丛。截面的一个${\displaystyle \mathbb {R} }$-线性映射${\displaystyle P:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (F)}$称为一个k-阶微分算子，如果它分解穿过节丛${\displaystyle J^{k}(E)}$。换句话说，存在一个向量丛的线性映射

${\displaystyle i_{P}:J^{k}(E)\rightarrow F}$

使得

${\displaystyle P={\hat {i))_{P}\circ j^{k))$

这里${\displaystyle {\hat {i))_{P))$表示由${\displaystyle i_{P))$，在截面上诱导的映射，而${\displaystyle j^{k}:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (J^{k}(E))}$，是典范（或通用）k-阶微分算子。

这恰好意味着对一个给定的截面${\displaystyle s}$ of ${\displaystyle E}$，${\displaystyle P(s)}$在一个点${\displaystyle x\in M}$的值完全由${\displaystyle s}$在${\displaystyle x}$的k-阶无穷小行为决定。特别地这蕴含着${\displaystyle P(s)(x)}$由${\displaystyle s}$在${\displaystyle x}$的芽决定，这说明了微分算子是局部的。一个基本的结果是皮特定理（Peetre theorem）证明了逆命题也是正确的：任何局部算子是微分。

线性微分算子的一个等价的，但纯代数的描述如下： 一个${\displaystyle \mathbb {R} }$-线性映射${\displaystyle P}$是一个k-阶微分算子，如果对任何(k + 1)阶光滑函数${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{k}\in C^{\infty }(M)}$我们有

${\displaystyle [f_{k}[f_{k-1}[\cdots [f_{0},P]\cdots ]]=0}$

这里括号${\displaystyle [f,P]:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (F)}$定义为交换子

${\displaystyle [f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P(s)}$

线性算子的这个刻画说明，它们是一个交换代数上的模之间的一个特殊映射，使这个概念可视为交换代数的一部分。

例子

• 在物理学的应用中，像拉普拉斯算子在建立与求解偏微分方程中起着主要的作用。

• 在微分拓扑中，外导数与李导数算子有内蕴意义。

• 在抽象代数中，导子的概念是微分算子不要求分析的一个推广。通常这样的推广用于代数几何与交换代数。另见节。

注释

参见

• 差分算子
• 德尔塔算子（英语：Delta operator）
• 分数微积分